59

[a; b] образует собственное линейное многообразие (подпространство) в пространстве C[a; b].

Пример 2.1.13. Пространство l2 образует линейное многообразие (подпространство) в пространстве M.

Пример 2.1.14. Пространство M0 образует линейное многообразие (подпространство) в пространстве M.

Пример 2.1.15. Пусть fx g 2B – некоторое непустое подмножество линейного пространства L. Минимальное линейное многообразие (подпространство) L(fx g), содержащее систему fx g 2B, называется линейной оболочкой множества fx g 2B. По крайней мере, одно подпространство, содержащее fx g 2B, существует: это все пространство L. Так как пересечение подпространств снова есть подпространство, то L(fx g) всегда существует и является пересечением всех подпространств, содержащих fx g 2B.

2.1.2Нормированные пространства

В геометрии и, в частности, в аналитической геометрии, важное значение имело понятие длины отрезка (вектора). Мы постараемся обобщить это понятие.

Определение 2.1.8. Однозначная неотрицательная функция kxk, заданная на линейном пространстве L, называется нормой,

если

1) kxk = 0 в том и только том случае, когда x = 0 (разделение точек);

61

Пример 2.1.19. Пространство Cp[a; b] является нормированным с нормой

Определение 2.1.9. Полное нормированное пространство называется банаховым.

Определение 2.1.10. Подмножество нормированного пространства L называется подпространством, если оно замкнуто и является линейным многообразием (подпространством) в L.

Заметим, что в конечномерном пространстве любое линейное подпространство замкнуто. Для бесконечномерного пространства это не так. Например, подпространство многочленов в пространстве

C[a; b] не замкнуто.

Определение 2.1.11. Две нормы k:k1 и k:k2 называются

эквивалентными, если существуют такие неотрицательные постоянные c1 и c2, что для всех x 2 L

c1kxk1 kxk2 c2kxk1:

Пример 2.1.20. Нормы k:kp (1 p 1) на пространстве Rn эквивалентны. На самом деле, любые две нормы на всяком конечномерном пространстве являются эквивалентными. Докажите это самостоятельно с использованием теоремы Вейерштрасса о максимумах и минимумах непрерывных функций на компактах.

62

Пример 2.1.21. На пространстве непрерывных функций

на отрезке [a; b] нормы kxk = maxt2[a;b] jx(t)j и kxkp =

Rab jx(t)jp dt не являются эквивалентными, поскольку с первой нормой получаем полное пространство, а со второй – неполное.

2.1.3Пополнение нормированного пространства

Следствие 2.1.1. Каждое нормированное пространство L

имеет пополнение, которое также является нормированным пространством.

Доказательство. Конструкция пополнения метрического пространства подробно рассмотрена нами на лекции 1.6. Нужно только

заметить, что если L – нормированное пространство, то

~

1) пространство L (состоящее из классов фундаментальных по-

следовательностей метрического пространства X = (L; X(x; y) = kx ykL) и описанное в доказательстве теоремы 1.6.1) является линейным;

~

2) норму на пространстве L можно задать следующим образом:

kx~k~ = lim kx kL;

L !1

где fx g – какая-нибудь фундаментальная последовательность из

2.1.4Евклидовы пространства

Кроме длины вектора, в классической геометрии часто используется понятие угла между векторами. В нормированных пространствах определить угол между векторами, вообще говоря, нельзя. Для того чтобы это сделать нам придется еще сузить класс рассматриваемых пространств.

63

Определение 2.1.12. Скалярным произведением на линей-

ном пространстве L над полем R называется действительнозначная

функция (x; y), удовлетворяющая следующим условиям:

1)(x; y) = (y; x) для всех x; y 2 L;

2)(x + y; z) = (x; z) + (y; z) для всех x; y; z 2 L;

3)( x; y) = (x; y) для всех x; y 2 L и всех 2 R;

4)(x; x) 0, причем (x; x) = 0 только при x = 0. Линейное пространство L со скалярным произведением (x; y) называется евклидовым пространством.

Предложение 2.1.2. Всякое евклидово пространство является

p

нормированным с нормой kxk = (x; x).

Доказательство. Аксиомы 1) и 2) нормы немедленно вытекают из аксиом скалярного произведения. Для доказательства аксиомы 3) нам понадобится следующая лемма.

Лемма 2.1.1. (Неравенство Коши-Буняковского. ) Для любых x; y в евклидовом пространстве L мы имеем

Доказательство. Пусть 2 R. Тогда

0 ( x + y; x + y) = 2(x; x) + 2 (x; y) + (y; y) =

kxk2 2 + 2(x; y) + kyk2:

Таким образом, мы получили неотрицательный квадратный трехчлен относительно переменной . Следовательно, дискриминант этого квадратного трехчлена не превосходит нуля, то есть 4(x; y)2

4kxk2kyk2 0.

2.1.5Пополнение евклидова пространства

Следствие 2.1.2. Каждое евклидово пространство L имеет пополнение, которое также является евклидовым пространством.

Доказательство. Конструкция пополнения метрического пространства подробно рассмотрена нами на лекции 1.6. Нужно только заметить, что если L – евклидово пространство, то

~

1) пространство L (состоящее из классов фундаментальных последовательностей метрического пространства X = (L; X(x; y) =

p

(x y; x y)L) и описанное в доказательстве теоремы 1.6.1) является линейным;

~

2) скалярное произведение на пространстве L можно задать следующим образом:

(~x; y~)~ = lim (x ; y )L;

L !1

где fx g, fy g – какие-нибудь фундаментальные последовательно-