202

функций c равномерно ограниченными интегралами, Rab xn(t) dt

п.в.

C. Если xn ! x(t) при n ! 1, то x(t) 2 L1[a; b] и

Rab x(t) dt C.

Доказательство. Как в доказательстве теоремы Лебега об ограниченной сходимости, положим

'n(t) = inffxn(t); xn+1(t); : : :g:

4.2.3Кратный интеграл Лебега

Если при построении пространства и интеграла Лебега начать не

то мы получим пространство интегрируемых по Лебегу функций нескольких переменных L1(P ), а интеграл Римана на Le1(P ) продолжится до интеграла Лебега на L1(P ). Все доказанные выше теоремы для случая интеграла Лебега на [a; b] либо дословно переносятся, либо легко обобщаются на случай кратного интеграла Лебега. Но следующая важная теорема описывает новую, часто встречающуюся в приложениях, ситуацию.

Теорема 4.2.6. (Фубини) Если x(t; s) 2 L1([a1; b1]