Следствие 2.2.1. В любом сепарабельном евклидовом пространстве L существует ортонормированный базис.

Доказательство. Пусть f~1; : : : ; f~n; : : : – счетное всюду плотное множество в L. Выберем из него счетную полную систему линейно независимых элементов ffng. Применив к полученной системе векторов процесс ортогонализации Грама-Шмидта, мы и построим ортонормированный базис f ng, поскольку полнота системы f ng

следует из полноты системы ffng и теоремы 2.2.1.

2.2.2Коэффициенты Фурье. Неравенство Бесселя

Как известно из курса линейной алгебры, зафиксировав в Rn ортонормированный базис fejgnj=1, можно любой вектор x 2 Rn записать в виде

n

X

x = cjej;

j=1

где cj = (x; ej).

Выясним, можно ли получить аналогичное разложение в бесконечномерном евклидовом пространстве.

Пусть 1; : : : ; n; : : : – ортонормированная система в евклидовом пространстве L. Сопоставим элементу x 2 L последователь-

70

и ряд (пока формальный)

k=1

Определение 2.2.5. Числа ck будем называть координатами, или коэффициентами Фурье элемента x по системе f ng. Ряд (x)

назовем рядом Фурье элемента x по системе f ng.

Предложение 2.2.3. (Неравенство Бесселя) Для всех x 2 L

мы имеем:

k=1

Pn

Доказательство. Пусть Sn = k=1 bk k, где bk – какиенибудь действительные числа. Подберем их таким образом, чтобы расстояние (x; Sn) было минимально. Так как система f ng ортонормирована, то

XX

kxk2 2 bj cj(x) + b2k =

j=1 k=1

71

Ясно, что минимум этого выражения достигается при bk = ck(x). В этом случае

k=1

Следовательно,

n

X

c2k(x) kxk2:

k=1

В силу произвольности n мы и получаем неравенство Бесселя. Из неравенства Бесселя следует, что сходится ряд P1k=1 c2k(x), а значит, и ряд Фурье (x) сходится в пространстве L, по крайней

мере, если пространство является полным (см. доказательство теоремы Рисса-Фишера ниже). Естественно возникает вопрос: к какому элементу пространства L сходится этот ряд?

Определение 2.2.6. Система f ng называется замкнутой,

если для любого x 2 L выполнено равенство Парсеваля:

1

X

c2k(x) = kxk2:

k=1

Предложение 2.2.4. Система f ng замкнута в том и только том случае, когда ряд Фурье (x) сходится к x для всякого x 2 L.

Доказательство. Немедленно следует из формулы (2.2.4).

Теорема 2.2.2. В сепарабельном евклидовом пространстве ортогональная система является замкнутой в том и только том случае, когда она полна.

Доказательство. Пусть f ng – замкнутая система в евклидовом пространстве L. Тогда согласно предложению 2.2.4 для всякого

72

элемента x 2 L последовательность частичных сумм его ряда Фурье сходится к x. Это означает, что линейные комбинации элементов системы f ng плотны в L, т.е. эта система полна.

Обратно, если система f ng полна в L, то любой вектор x можно сколь угодно точно аппроксимировать линейными комбинациями

Pn

вида j=1 bk k. С другой стороны, при доказательстве неравенства Бесселя (см. предложение 2.2.3) мы видели, что частичные суммы

Итак, мы построили разложение вектора по базису в виде схо-

дящегося ряда, т.е. с привлечением анализа. Уместно отметить, что к данному вопросу можно также подойти алгебраически, т.е. искать такую систему векторов fb g 2A в L, чтобы для каждого вектора x 2 L существовал номер N = N(x), набор элементов fb j gNj=1

и констант fcjgNj=1, для которых выполнено соотношение

Такие системы называются базисами Гамеля. Поскольку суммы в разложении конечны, то не нужно заботиться о сходимости, однако мощность индексного множества может быть слишком велика для конструктивной работы с такими базисами.