86
2.4Лекция 11
2.4.1Функционалы: основные определения и примеры
Определение 2.4.1. Числовая функция f : L ! R (C) на некотором линейном пространстве L называется функционалом. Функционал называется аддитивным, если f(x + y) = f(x) + f(y)
для всех x; y 2 L; функционал называется однородным, если f(x) = af(x) для всех x 2 L, 2 R (C). Аддитивный однородный функционал называется линейным. Функционал g : L ! R называется положительно-однородным, если g(ax) = ag(x) для всех x 2 L и a > 0.
Мы будем изучать, в основном, свойства линейных функционалов.
Пример 2.4.1. Пусть x и a – два вектора из Rn. Функция
n
X
f(x) = ajxj
j=1
является линейным функционалом на Rn.
Пример 2.4.2. Пусть x – вектор из l2. Функция fj(x) = xj
является линейным функционалом на l2.
Пример 2.4.3. Пусть x(t) и a(t) – две функции из C[a; b]. Функционал
b
Z
f(x) = x(t)a(t) dt
a
является линейным на C[a; b].
87
Выясним геометрический смысл линейного функционала в конечномерных пространствах.
Определение 2.4.2. Ядром функционала f : L ! R называется подмножество ker f элементов x пространства L таких, что f(x) = 0.
Предложение 2.4.1. Пусть f – линейный функционал. Тогда множество ker f является подпространством пространства L и, более того, если dim L = n < 1 и f 6 0, то dim ker f = n 1.
Доказательство. В силу линейности функционала,
f(ax + by) = af(x) + bf(y) = 0 + 0 = 0
для всех x; y 2 L. Поэтому ker f – подпространство пространства L.
Далее, поскольку f 6 0, то найдется такая точка x0 2 L, что
f(x0) 6= 0. Тогда для y0 = x0 мы имеем f(y0) = 1.
f(x0)
Пусть x – произвольный элемент L. Пoставим ему в соответ-
ствие элемент y = x f(x)y0. Тогда f(y) = f(x)+f(x)f(y0) = 0, т.е. y 2 ker f. Итак, мы представили элемент x в виде x = y + ay0 (a = f(x)). Покажем, что другой выбор элемента y 2 ker f и
скаляра невозможен. В самом деле, если x = y0+by0, (y0 2 ker f), то f(x) = bf(y0) = b и y0 = x by0 = y.
Поскольку dim L = n < 1, то dim ker f = m n < 1. Зафиксируем какой-нибудь базис fyjgmj=1 в ker f. Тогда элемент x
представим единственным образом в виде x = ay0 + |
jm=1 ajyj. |
||||||||
Осталось заметить, что вектора |
y |
; y |
; : : : ; y |
|
линейно независи- |
||||
0 |
1 |
|
m |
|
P |
||||
|
|
j=1 j j |
, а в силу |
|
P |
|
|
|
|
мы. Действительно, если 0 = ay0 + |
jm=1 ajyj, то a = f(ay0) = |
||||||||
|
f( |
P |
|
линейной независимости системы |
|||||
|
m a y ) = 0 |
|
|||||||
88
fyjgmj=1 мы имеем aj = 0 для всех 1 j m. Итак, мы доказали, что система y0; y1; : : : ; ym является базисом в L, а значит,
m + 1 = n. Таким образом, всякий ненулевой линейный функционал определяет гиперплоскость ker f в конечномерном пространстве. Ядро ненулевого линейного функционала на бесконечномерном пространстве также можно трактовать как гиперплоскость (см. [1], с. 147–
148).
В основном, мы изучим некоторые свойства непрерывных функционалов на метрических пространствах. Мы уже давали определение непрерывного отображения метрических пространств (см. определение 1.2.1). Переформулируем это определение для функционалов.
Определение 2.4.3. Функционал f : L ! R называется
непрерывным в точке x0 2 L, если для всякого " > 0 существует такое > 0, что для всех x 2 L, удовлетворяющих (x; x0) <, выполняется неравенство jf(x) f(x0)j < ". Функционал f назовем непрерывным на L, если он непрерывен в каждой точке пространства L.
2.4.2Компактные множества в метрическом пространстве.
Непрерывные функционалы на компактах
Зададимся вопросом, на каких подмножествах непрерывный функционал на метрическом (нормированном, евклидовом и т.д.) пространстве достигает своего максимума или минимума. В этой связи мы приходим к такому важному понятию, как компактность.
Определение 2.4.4. Множество M в метрическом пространстве
89
X называется предкомпактным, если из всякой последовательности fxngn=11 M можно извлечь фундаментальную подпоследовательность. Множество M компактно, если из всякой последовательности fxng1n=1 M можно извлечь сходящуюся в M подпоследовательность.
Предложение 2.4.2. В метрическом пространстве всякое компактное множество является замкнутым.
Доказательство. Пусть x0 – предельная точка множества M. Тогда существует последовательность fxng1n=1 M, сходящаяся к x0. Так как всякая ее подпоследовательность также сходится к x0, то в силу компактности x0 2 M. Следовательно, M замкнуто.
Предложение 2.4.3. В полном метрическом пространстве всякое предкомпактное множество является ограниченным.
Доказательство. Пусть M неограничено. Зафиксируем какую-нибудь точку x0 2 M. Тогда существует такая последовательность fxng1n=1 M, что (xn; x0) > n. В силу предкомпактности M, последовательность fxng1n=1 содержит фундаментальную подпоследовательность fxnkg. Теперь полнота пространства гарантирует, что подпоследовательность fxnkg
сходится к некоторому элементу x1 2 X.
Значит, найдется такая постоянная C > 0, что
(xnk; x0) (xnk; x1) + (x0; x1) C
для всех nk. Но это невозможно, т.к. (xnk; x0) > nk. Полученное противоречие и доказывает лемму. Напомним, что в пространстве Rn2 множество компактно в том и только том случае, когда оно замкнуто и ограничено. В общем
случае это, вообще говоря, неверно.
90
Пример 2.4.4. Последовательность fsin ntg1 является огра-
n=1 p
ниченной в пространстве C2[ ; ], так как k sin ntk = . Лег- p
ко вычислить, что (sin kt; sin nt) = k sin kt sin nt)k = 2, поэтому это множество не имеет предельных точек, а значит, замкнуто. Однако по этой же причине fsin ntg1n=1 не может содержать ни одной фундаментальной подпоследовательности, т.е. это множество не является даже предкомпактным.
Теорема 2.4.1. Пусть M – компактное множество в метрическом пространстве X. Тогда всякий непрерывный функционал на M ограничен.
Доказательство. Покажем, что f ограничен сверху, т.е. найдется такая постоянная C > 0, что f(x) C для всех x 2 M. Допустим противное. Тогда существует такая последовательность fxng M, что f(xn) > n. Так как M компактно, то существует сходящаяся в M подпоследовательность fxnkg последовательности fxng. Пусть limn!1 xnk = x0 2 M. Тогда по непрерывности функционала мы имеем: limn!1 f(xnk) = f(x0). Значит, ff(xnk)g ограничена. С другой стороны, f(xnk) > nk, т.е. ff(xnk)g неограничена сверху. Таким образом, мы получили противоречие.
Аналогично доказывается ограниченность снизу.
Теорема 2.4.2. Пусть M – компактное множество в метрическом пространстве X. Тогда всякий непрерывный функционал на M достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.
Доказательство. Обозначим через m1 = infx2M f(x); m2 =