239
4.9Лекция 33
4.9.1Линейные интегральные уравнения второго рода
В этом параграфе мы рассмотрим в качестве примера применения теории, разработанной выше, к интегральным уравнениям "второго рода":
|
b |
|
(4.9.1) |
x(s) Z |
K(s; t)x(t)dt = y(s); (s 2 [a; b]) |
a
где y(s) – заданная функция на отрезке [a; b], K(s; t) – заданная функция на квадрате [a; b] [a; b], а x(s) – неизвестная функция. Функция K(s; t) называется ядром уравнения (4.9.1), а функция y(s) – его правой частью.
Для того чтобы применить теоремы Фредгольма к исследованию уравнения (4.9.1), нам необходимо подходящим образом выбрать полное евклидово пространство, в котором действует соответствующий уравнению оператор.
4.9.2Операторы Гильберта-Шмидта в L2[a; b]
Мы положим H = L2[a; b]; относительно ядра и правой части уравнения (4.9.1) мы будем предполагать, что они измеримы и принадлежат L2([a; b] [a; b]) и L2[a; b] соответственно:
bb
Z Z
(4.9.2) jK(s; t)j2dt ds < 1;
aa
b
Z
jy(t)j2dt < 1:
a
Ядра класса L2 называются ядрами Гильберта-Шмидта.
240
Сопоставим уравнению (4.9.1) оператор в пространстве H =
L2[a; b]:
|
b |
|
(4.9.3) |
(Ax)(s) = Z |
K(s; t)x(t) dt (s 2 [a; b]): |
a
Операторы с ядрами класса L2 называются операторами ГильбертаШмидта.
Теорема 4.9.1. Если ядро K(s; t) удовлетворяет условию (4.9.2), то равенство (4.9.3) определяет в пространстве L2[a; b]
компактный линейный оператор A, норма которого удовлетворяет неравенству
bb
Z Z
(4.9.4) kAk2 jK(s; t)j2dt ds:
aa
Доказательство. Прежде всего заметим, что в силу теоремы Фубини и условия (4.9.2) интеграл
b
Z
jK(s; t)j2dt:
a
существует для почти всех s 2 [a; b]. Иначе говоря, K(s; t) как функция от t принадлежит L2[a; b]. Так как произведение функций класса L2[a; b] принадлежит L1[a; b], то интеграл (Ax)(s) существует для почти всех s 2 [a; b], если только x 2 L2[a; b]. Покажем, что (Ax) 2 L2[a; b]. В силу неравенства Коши-Буняковского
|
|
(Ax)(s) |
2 = |
|
b |
K(s; t)x(t) dt |
|
||
|
j |
j |
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
Za |
jK(s; t)j2dt Za |
|
|
|
|
Za |
|
|
|
jx(t)j2dt = kxk2 |
jK(s; t)j2dt: |
||||||||
241
Интегрируя по s и заменяя повторный интеграл двойным, получим
k |
(Ax)(s) |
k |
2 |
= |
b |
|
b |
K(s; t)x(t) dt 2 ds |
k |
x |
k |
2 |
b |
b |
j |
K(s; t) |
2dt; |
|
|
|
Z |
Z |
|
|
Za |
|
Z |
j |
|
||||||
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которое дает и интегрируемость j(Ax)(s)j2 и оценку (4.9.4) для нормы оператора kAk. Поскольку линейность оператора A, очевидно, следует из линейности интеграла, то остается доказать, что оператор A компактен.
Пусть fbkg – какой-нибудь ортонормированный базис в пространстве L2[a; b]. Тогда система fgkm(s; t) = bk(s)bm(t)g является ортонормированным базисом в L2([a; b] [a; b]). В самом деле, в силу теоремы Фубини
bb
Z Z
gkm(s; t)gij(s; t)ds dt = ki mj;
aa
откуда следует ортонормированность. Предположим, что система fgkmg неполна в L2([a; b] [a; b]). Тогда найдется функция f 2 L2([a; b] [a; b]), ортогональная всем функциям gkm. Положим
b
Z
Fm(s) = f(s; t)bm(t)dt:
a
Ясно, что Fm 2 L2[a; b] и (по теореме Фубини)
b
Z
Fm(s)bk(s)dt = 0
a
для всех k 2 N. Из полноты системы fbkg следует, что Fm(s) = 0
почти всюду на [a; b]. Но тогда
b
Z
f(s; t)bm(t)dt = 0
a
244
b |
b |
K(s; t)u(t)v(s)dsdt = |
b 0 b |
K(s; t)v(s)ds1 u(t)dt = |
||||||
Z |
Z |
|
|
|
Z |
Z |
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
a |
@a |
|
|
|
A |
|
|
b |
0 b |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
Z |
|
Z |
|
|
|
|
|
|
u(t)@ K(s; t)v(s)dsAdt = (u; A v);
aa
откуда и следует утверждение теоремы.
Таким образом, данная теорема позволяет легко применять теорему об итерациях для построения решений операторных уравнений как первого, так и второго рода для операторов Гильберта-Шмидта в пространстве L2[a; b] (см. следствия 4.6.5 и 4.8.3).
Замечание 4.9.1. В частности, оператор Гильберта-Шмидта
самосопряжен в L2[a; b] тогда и только тогда, когда K(s; t) =
K(t; s).