168

3.5Лекция 22

3.5.1Сопряженный оператор

Определение 3.5.1. Оператор A : Y ! X называется

сопряженным к оператору A : X ! Y если

(3.5.1) < g; Ax >:= g(Ax) = (A g)(x) =< A g; x >

для всех x 2 X и g 2 Y .

Сопряженный оператор всегда существует, поскольку для всякого g 2 Y равенство 3.5.1 определяет элемент X . В самом деле, по определению,

(A g)(ax + by) = g(A(ax + by) = g(aAx + bAy) =

ag(Ax) + bg(Ay) = a(A g)(x) + b(A g)(y);

т.е. функционал A g линеен. Он непрерывен, так как

jA g(x)j = jg(Ax)j kgkkAkkxkX:

Пример 3.5.1. Пусть X = Rn, Y = Rm, где n < 1, m < 1. Тогда линейный оператор A : X ! Y задается (m n)-матрицей (aij), т.е.

n

X

yi = (Ax)i = aijxj:

j=1

Так как всякий линейный функционал g 2 Y задается в виде

m

X

g(y) = giyi;

i=1

169

то

Предложение 3.5.1. Если A, B – ограниченные линейные операторы, то (A + B) = A + B , ( A) = A для всех

2 R:

Доказательство. Вытекает непосредственно из определения:

<g; (A + B)x >=< g; Ax > + < g; Bx >=

<A g; x > + < B g; x >=< (A + B) g; x >;

<g; Ax >= < g; Ax >=< A g; x > :

Теорема 3.5.1. Пусть A – ограниченный линейный оператор, отображающий банахово пространство X в банахово пространство Y . Тогда оператор A линеен, ограничен и kA k = kAk.

Доказательство. Как мы уже видели, в силу свойств нормы

jA g(x)j = jg(Ax)j kgkkAkkxk;

т.е. kA gk kAkkgk, а значит, kA k kAk.

Пусть x 2 X и Ax 6= 0. Положим y0 = kAxAxk 2 Y ; очевидно, что ky0k = 1. По теореме Хана-Банаха существует такой функционал g 2 Y , что kgk = 1 и g(y0) = 1. Тогда

(A g)(x) = g(Ax) = kAxk kA kkgkkxk = kA kkxk:

170

3.5.2Операторные уравнения

В дальнейшем нас в первую очередь будет интересовать следующая задача.

Задача 3.5.1. По заданному y 2 Y найти такой элемент x 2 X, что

Уравнение (3.5.2) называется линейным операторным уравнением первого рода. Как мы уже отмечали в разделе 1, в такой общности данная задача необозрима. Мы ограничимся непрерывными отображениями в полных нормированных пространствах.

Естественно возникают следующие вопросы:

1)Всегда ли и если нет, то при каких условиях существуют решения задачи 3.5.1?

2)Является ли решение единственным и если нет, то при каких условиях это так?

3)Как "малые" изменения "начальных" данных y повлияют на изменение решения x?

Определение 3.5.2. Задача 3.5.1 называется корректной по

Адамару, если выполнены следующие три условия:

1)для всякого y 2 Y существует ее решение x 2 X (существование),

2)задача имеет не более одного решения (единственность),

3)для всяких x0 2 Y и " > 0 существует > 0 такое, что для всех x 2 X, для которых Ax 2 B(x0; ), мы имеем kx

x0kX < " (непрерывная зависимость от начальных данных или

устойчивость).

171

Традиционно (и объективно), именно корректные задачи наибо-

лее важны для приложений. Мы постараемся получить информацию

ио некорректных задачах.

Вцелом, описание условий разрешимости операторного уравнения (3.5.2) есть описание образа R(A) этого оператора. Следующее утверждение представляет собой грубую аппроксимацию такого описания и выделяет простое необходимое условие разрешимости данного операторного уравнения.

Лемма 3.5.1. (об аннуляторе ядра) Пусть A : X ! Y –

ограниченный линейный оператор. Тогда R(A) (ker A )?, где

(ker A )? = fy 2 Y : f(y) = 0 для всех f 2 ker A g:

Доказательство. Покажем сначала, что R(A) (ker A )?. Если y 2 R(A), то существует такой элемент x 2 X, что Ax = y, и для всех f 2 ker A мы имеем:

f(y) = f(Ax) = (A f)(x) = 0(x) = 0;

т.е. y 2 (ker A )?.

Если y 2 R(A), то найдется такая последовательность

fxkgk2N X, что limk!1 Axk = y. Тогда, в силу непрерывности

(ker A )?. Однако у нас недостаточно инструментов, чтобы доказать это строго для произвольных банаховых пространств. Мы сделаем это в следующем разделе для операторов в пространствах Гильберта.