228

4.7Лекция 31

4.7.1Операторные уравнения второго рода

Пусть B – произвольный компактный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве H. Мы будем исследовать разрешимость уравнения (4.3.1) для A = I B, т.е. уравнения

(ср. с теоремой о сжимающем отображении!). Такие уравнения называются операторными уравнениями второго рода или уравнениями Фредгольма.

Мы уже знаем, что для исследования разрешимости операторных уравнений нужно изучать ядро оператора, а также сопряженный оператор и его ядро (см. лемму об аннуляторе ядра). Так как

A = (I B) = I B , то, наряду с уравнением (4.7.1), мы будем рассматривать однородное уравнение

Мы получим гораздо более сильное утверждение, чем лемма об аннуляторе ядра, используя специальный вид оператора A.

4.7.2Теоремы Фредгольма

Теорема 4.7.1. I. Неоднородное уравнение (4.7.1) разрешимо при тех и только тех y 2 H, которые ортогональны каждому решению сопряженного однородного уравнения (4.7.4).

229

II. Либо уравнение (4.7.1) имеет при любом y 2 H одно и только одно решение, либо однородное уравнение (4.7.2) имеет ненулевое решение.

III. Однородные уравнения (4.7.2) и (4.7.4) имеют одно и то же, и притом конечное, число линейно независимых решений.

Доказательство. Докажем сначала, что образ оператора A = (I B) замкнут. Пусть yn 2 R(I B) и y = limn!1 yn. По предположению существуют такие xn 2 H, что

(4.7.5) yn = (I B)xn:

Мы можем считать, что xn 2 (ker(I B))?, вычитая, если необходимо, из xn его проекцию на ker(I B).

Далее, можно считать, что kxnk ограничены в совокупности. Действительно, в противном случае, переходя к подпоследовательности, мы имели бы limn!1 kxnk = 1 и, разделив (4.7.5) на kxnk,

компактен, то, снова переходя к подпоследовательности, можно

(I B)z = limn!1(I B)xn=kxnk = 0, т.е. z 2 ker(I B). Однако мы считаем, что xn 2 (ker(I B))?, и, следовательно, z 2 (ker(I B))?. В частности, это означает, что z = 0. Полученное противоречие и позволяет считать, что kxnk ограничены в совокупности.

Теперь в силу компактности B можно считать последовательность fBxng сходящейся, а тогда, как это следует из (4.7.5), будет сходящейся и последовательность fxng. Если через x обозначить предел этой последовательности, то из (4.7.5) вытекает, что y = (I B)x.

Отсюда и из леммы 4.3.1 об аннуляторе ядра сразу следует первая теорема Фредгольма.

230

Для дальнейших рассуждений нам понадобится еще несколько лемм.

Лемма 4.7.1. Сопряженный к компактному оператору компактен.

Доказательство. Это утверждение справедливо и для операторов в пространствах Банаха, но нам оно нужно только для случая евклидовых пространств.

Итак, пусть C : H1 ! H2 – какой-нибудь компактный оператор в гильбертовых пространствах. Согласно лемме 4.4.1 нам нужно проверить, что C переводит всякую слабо сходящуюся последовательность в сходящуюся. Зафиксируем последовательность fyngn2N 2 H2 слабо сходящуюся к некоторому элементу y 2 H2. Тогда последовательность fC yngn2N 2 H1 слабо сходится к

C y 2 H1. В силу компактности оператора C : H1 ! H2 и леммы 4.4.1, последовательность fC yngn2N 2 H2 сходится к C y 2 H1. Кроме того, из неравенства Коши-Буняковского следует, что

kC yn C yk21 = (CC (yn y); (yn y))2 kCC yn CC yk2 kyn yk2; n 2 N:

Наконец, поскольку всякая слабо сходящаяся последовательность ограничена, мы заключаем, что kC yn C yk21 ! 0 при n ! 1, что и требовалось. Далее, для каждого k 2 N положим (I B)k = (I B) : : : (I B) (k раз) и Hk = Im (I B)k, так что, в частности, H1 =

Im (I B). По доказанному, множества Hk образуют цепочку вложенных (замкнутых!) подпространств

H H1 H2 : : : ;

при этом (I B)(Hk) = Hk+1.

231

Лемма 4.7.2. Существует такой номер j, что Hk+1 = Hk

для всех k j.

Доказательство. Если такого номера j не существует, то, очевидно, все Hk различны. В этом случае найдется такая ортонормированная последовательность fxkg H, что xk 2 Hk \(Hk+1)?. Пусть m > k. Тогда (xm + (I B)xk (I B)xm) 2 Hk+1,

kBxm Bxkk2 = k xk + (xm + (I B)xk (I B)xm)k =

kxkk + k(xm + (I B)xk (I B)xm)k 1:

Поэтому из последовательности fBxkg нельзя извлечь фундаментальную подпоследовательность, что противоречит компактности

оператора A. Лемма доказана.

Лемма 4.7.3. Если ker(I B) = 0, то R(I B) = H.

Доказательство. Если ker(I B) = 0, то оператор (I B)

взаимно однозначен. Если при этом R(I B) 6= H, то цепочка fHkg состоит из различных подпространств. В самом деле, тогда R(I B) = H1 6= H, т.е. существует y 2 H n H1, а значит, (I B)y 2 H1 n H2, (I B)ky 2 Hk n Hk+1. Поскольку это

противоречит лемме 4.7.2, то лемма 4.7.3 доказана.

Лемма 4.7.4. Если R (I B) = H, то ker(I B) = 0.

Доказательство. Так как Im (I B) = H, то по лемме 3.5.1 об аннуляторе ядра ker(I B) = 0. Так как оператор B также компактен, то применяя лемму 4.7.3 к оператору I B = (I B) ;

заключаем, что если ker(I B) = 0, то R(I B) = H. Снова по лемме 3.5.1 об аннуляторе ядра мы видим, что ker(I B) = 0.

232

Совокупность лемм 4.7.3 и 4.7.4 составляет содержание второй теоремы Фредгольма.

Докажем, наконец, третью теорему Фредгольма. Предположим, что подпространство ker(I B) бесконечномер-

но. Тогда в нем найдется бесконечная ортонормированная система fxkg. При этом Bxkp= xk и, следовательно, при m 6= k имеем kBxm Bxkk = 2. Но тогда из последовательности fBxkg

нельзя извлечь фундаментальную подпоследовательность, что противоречит компактности оператора B, т.е. ker(I B) конечномерно.

Рассуждая аналогичным образом для оператора I B = (I B) , мы заключаем, что и подпространство ker(I B) ко-

нечномерно.

Пусть теперь dim ker(I B) = , dim ker(I B) = . Предположим, что < . Пусть f kgk=1 – ортонормированный базис в ker(I B) и f kgk=1 – ортонормированный базис в ker(I

компактен. Таким образом, для оператора (I C) справедливы первая и вторая теоремы Фредгольма. Покажем, что уравнение (I C) имеет только тривиальное решение. Действительно, пусть (I

C)x = 0. Так как в силу леммы об аннуляторе ядра векторы j 2 ker(I B) ортогональны всем векторам вида (I B)x, то из равенства

X

0 = (I C)x = (I B)x + (x; j) j

j=1

и ортогональности векторов j следует, что (I B)x = 0 и (x; j) = 0 при 1 j . Поэтому x 2 ker(I B) \ (ker(I B))?, а значит, x = 0.

Теперь из второй теоремы Фредгольма вытекает, что существует

233

такой вектор y 2 H, что (I C)y = +1 и

1 = k m+1k2 = ((I C)y; +1) = 0;

поскольку (I B)? ker(I B) . Следовательно, . Рассуждая аналогичным образом для оператора I B = (I

B) , мы заключаем, что . Теорема доказана.