158

3.3Лекция 20

3.3.1Принцип равномерной ограниченности

Введем еще один тип сходимости в пространстве L(X; Y) (ср. п. 2.7.2).

Определение 3.3.1. Говорят, что последовательность операторов fAngn2N L(X; Y) сходится к оператору A 2 L(X; Y) равномерно, если limn!1 kAn Ak = 0. Говорят, что последовательность fAngn2N L(X; Y) сходится к оператору A 2 L(X; Y) поточечно, если limn!1 kAnx AxkY = 0 для всех x 2 X.

Иногда поточечную сходимость называют сильной. Интуитивно ясно, что равномерная сходимость не слабее поточечной.

Предложение 3.3.1. Если последовательность fAngn2N операторов из пространства L(X; Y) сходится к оператору A 2 L(X; Y) равномерно, то она сходится и поточечно.

Пример 3.3.1. Пусть X = Y = l2, x = (x1; : : : xn; : : : ),

A1x = (0; x2; : : : ; xn : : : ); Akx = (0; : : : ; 0; xk+1; : : : ; xn; : : : ):

Тогда для любого x 2 l2

т.е. равномерная сходимость последовательности fAkgk2N к нулю невозможна.

Следующая теорема показывает, что, в отличие от понятий поточечной и равномерной сходимости, понятия поточечной и равномерной ограниченности в пространстве L(X; Y) совпадают, по крайней мере, если Y – банахово.

Теорема 3.3.1. (Принцип равномерной ограниченности)

Пусть Y – полное нормированное пространство. Если fAngn2N

L(X; Y), и fAnxgn2N ограничена при каждом фиксированном x 2

X, то fAngn2N ограничена.

Доказательство. Для доказательства нам потребуется следующая лемма.

Лемма 3.3.1. Пусть fAngn2N L(X; Y), и пусть существуют такие постоянная C > 0 и замкнутый шар B(x0; R), что

kAnxkX C для всех x 2 B(x0; R) и всех n 2 N:

Тогда fAngn2N ограничена.

160

Доказательство. Пусть x 6= 0 – произвольный элемент из X. Тогда вектор y0 = x0 + RkxxkX принадлежит шару B(x0; R), поскольку

x

Продолжим доказательство теоремы. Если ее утверждение не

верно, то по лемме 3.3.1 последовательность fkAnxkY gn2N не ограничена ни в каком замкнутом шаре. Зафиксируем какой-нибудь шар

B(0; R0) в X. В нем fkAnxkY gn2N не ограничена, т.е. найдутся такие номер n1 и точка x1 2 B(x0; R0), что kAn1 x1kY > 1. В самом деле, в силу неограниченности, найдутся такие номер n1 и точка x~1 2 B(x0; R0), что kAn1 x~1kY > 2. Пусть 0 < " < 1 и положим x1 = x0 + (~x1 x0)". Тогда

kx1 x0kX = "kx~1 x0kX "R0 < R0;

kx~1 x1kX = (1 ")kx~1 x0kX (1 ")R0 < R0:

В силу непрерывности оператора An1 существует такое > 0, что kAn1 xkY < 1=2 для всех kxk < . Выбрав " так, чтобы (1 ")R0 < ; мы получим:

kAn1 x1kY jkAn1 x~1kY kAn1 (~x1 x1)kY j 2 1=2 > 1:

161

Далее, по непрерывности An1 найдется такое 0 < R1 < R0=2, что B(x1; R1) B(x0; R0) и kAn1 xkY > 1 для всех x 2

B(x1; R1). Так как fAnxgn2N неограничена и в шаре B(x1; R1), то найдутся такие номер n2 > n1 и точка x2 2 B(x1; R1), что kAn2 x2kY > 2 и т.д.

Продолжая эти рассуждения, мы получим последовательность точек fxkgk2N и последовательность замкнутых вложенных друг в друга шаров fB(xk; Rk)gk2N таких, что

1)Rk < R0=k;

2)xk 1 2 B(xk; Rk);

3)kAnkxkY > k для всех x 2 B(xk; k).

По теореме 1.5.1 о вложенных шарах найдется точка, скажем,

T

y 2 B(xk; Rk), т.е. kAnkykY k. Это означает, что последо-

k2N

вательность fkAnykgn2N не является ограниченной, что противоречит условию теоремы.

3.3.2Теорема Банаха-Штейнгауза

Следующая теорема является обобщением теоремы 2.7.2 на случай линейных операторов. Она дает критерий поточечной сходимости в пространстве L(X; Y) и, что самое главное, во многих случаях существенно облегчает проверку поточечной сходимости.

Теорема 3.3.2. (Теорема Банаха-Штейнгауза) Пусть Y –

пространство Банаха. Для того чтобы последовательность операторов fAngn2N из L(X; Y) сходилась к некоторому оператору

A 2 L(X; Y) поточечно, необходимо и достаточно, чтобы

1)fkAnkgn2N была ограничена;

2)fAngn2N L(X; Y) сходилась к A 2 L(X; Y) поточечно на некотором линейном многообразии X0, всюду плотном в X.

162

Доказательство. Необходимость. Если limn!1 Anx = Ax для всякого x 2 X, то limn!1 kAnxkY = kAxkY , поскольку

jkAnxkY kAxkY j kAnx AxkY :

Следовательно, fkAnxkY gn2N ограничена для всех x 2 X. Тогда из предыдущей теоремы мы заключаем, что fkAnkgn2N ограничена. В качестве X0 можно взять X.

Достаточность. Пусть C = max((supn2N kAnk); kAk). Пусть x 2 X nX0. Далее, поскольку X0 всюду плотно в X, то для всякого

" > 0 существует такой элемент x0 2 X0, что kx x0kX < "=4C. Тогда

kAnx AxkY = kAn(x x0) + (Anx0 Ax0) + A(x0 x)kY =

kAnkkx x0kX + kAnx0 Ax0kY + kAkkx0 xkX "=2 + kAnx0 A

Наконец, в силу условия 2) теоремы существует такой номер N, что для всех n N

kAnx0 Ax0kY < "=2:

Следовательно, для всех n N

kAnx AxkY < ";