129

Более того, так как 2 C01(R) для всех 2 C01(R) и 2 C1(R), то легко ввести операцию умножения распределений

на бесконечно дифференцируемую функцию:

( f)( ) := f( ); 2 C1(R); 2 C01(R):

Эта операция согласована со стандартной операцией умножения интегрируемых функций на бесконечно дифференцируемую функцию:

( g)(t) = (t)g(t); t 2 R:

К сожалению, нельзя ввести операции умножения распределений, по крайней мере, с одновременным сохранением важных свойств этой операции: коммутативности и ассоциативности. В самом деле,

(t )( ) = (t ) = 0;

+1

Z t (t)

(tP )( ) = P (t ) = dt = 1( ); t

1

и, если операция умножения распределений коммутативна и ассоциативна,

0 = ((t ) P )( ) = ( (t P ))( ) = ( ) = (0)

для всех 2 C01(R), что, очевидно, невозможно.

Таким образом, в отличие, например, от пространства C1(R), множество (C01(R))0 не является кольцом.

2.8.2Производная обобщенной функции

Как мы видели выше, даже решение алгебраических уравнений невозможно, если выбранное пространство слишком мало. Аналогичная ситуация имеет место и в анализе – класс дифференцируемых

130

функций зачастую слишком мал для решения дифференциальных уравнений, а непрерывные, интегрируемые и т.д. функции нельзя дифференцировать, по крайней мере, в обычном смысле.

Мы обобщим понятие производной таким образом, чтобы всякая обобщенная функция имела (обобщенную) производную, также являющуюся распределением.

Определение 2.8.4. Для f 2 (C01(R))0 определим функцио-

нал

f0( ) = f( 0); 2 C01(R);

который будем называть (обобщенной) производной для f.

Линейность этого функционала очевидна, а его непрерывность следует из равенства

f0( ) f0( j) = f( 0) + f( 0j)

и определения сходимости в пространстве C01(R). Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 2.8.1. Для любой обобщенной функции f и любого k 2

N существует производная f(k) 2 (C01(R))0 порядка k: определим функционал

f(k)( ) = ( 1)kf( (k)); 2 C01(R):

Пример 2.8.5. Как известно, функция f(t) = jtj не имеет (обычной) производной в начале координат. Однако она имеет обобщенную производную:

jtj0 = sign(t); t 2 R:

131

В самом деле, так как эта функция локально интегрируема на R, то

Наконец, интегрируя по частям, получаем

(sign(t))( );

так как функция sign(t) является локально интегрируемой.

Пример 2.8.6. Функция sign(t) не является уже даже непрерывной. Тем не менее, она имеет обобщенную производную:

(sign(t))0 = 2 :

В самом деле, так как функция sign(t) локально интегрируема, то

132

Учитывая, что каждая обобщенная функция имеет также и первообразную в классе распределений (см., например, [1]), то пространство (C01(R))0, а также его многомерные аналоги, очень хорошо приспособлены для решения дифференциальных (и интегральных) уравнений.