106

2.6Лекция 13

2.6.1Сопряженное пространство

Для линейных функционалов можно определить операции сложения и умножения на числа.

Определение 2.6.1. Пусть f1 и f2 – линейные функционалы на пространстве L. Их суммой называется функционал f(x) = f1(x) + f2(x) (x 2 L). Произведением функционала f1 на число a

называется функционал g(x) = af1(x) (x 2 L).

Предложение 2.6.1. С введенными в определении 2.6.1 операциями сложения и умножения на числа множество L] всех линейных функционалов является линейным пространством, а множество всех линейных непрерывных функционалов L является его подпространством.

Доказательство. В самом деле,

(f1 + f2)(a1x1 + a2x2) = f1(a1x1 + a2x2) + f2(a1x1 + a2x2) =

a1f1(x1) + a2f(x2) + a1f2(x1) + a2f2(x2) =

a1(f1 + f2)(x1) + a2(f1 + f2)(x2);

т.е. L] – линейное пространство. Что же касается второго утверждения, то оно справедливо, поскольку если функционалы f1, f2

непрерывны, то они ограничены, а значит,

j(a1f1 + a2f2)(x)j ja1j jf1(x)j + ja2j jf2(x)j:

107

Замечание 2.6.1. Хотя для конечномерных пространств L =

L], в общем случае пространства L] и L различны. Например, если

P1

L = l2, то функционал f(x) = j=1 xj является линейным и неограниченным.

Теорема 2.6.1. Формула (2.5.1) задает норму k:k на линейном пространстве L ; при этом пара (L; k:k) является банаховым пространством.

Доказательство. В самом деле, очевидно, что для всякого ненулевого ограниченного линейного функционала функция k:k определена и положительна. Однородность этой функции очевидна. Наконец, проверим неравенство треугольника. По предложению 2.5.2

kf1k + kf2k:

Таким образом, функция k:k является нормой, а пара (L ; k:k) –

нормированным пространством.

Покажем, что это пространство полно, независимо от того, полно или нет исходное пространство L. Пусть ffng – фундаментальная последовательность в L . Тогда для всякого " > 0 найдется такой номер N 2 N, что kfn fmk < " для всех n; m N. Тогда

(2.6.1) jfn(x) fm(x)j kfn fmkkxk < "kxk (x 2 L);

т.е. при любом x 2 L числовая последовательность ffn(x)g фундаментальна. Итак, положим

f(x) = lim fn(x) (x 2 L):

n!1

108

Проверим, что функционал f линеен и непрерывен. В самом деле,

f(ax + by) = lim fn(ax + by) =

n!1

a lim fn(x) + b lim fn(y) = af(x) + bf(y):

n!1 n!1

Для доказательства непрерывности функционала воспользуемся формулой (2.6.1). Так как jfn(x) fm(x)j < "kxk, то, перейдя к пределу по m ! 1, мы получим

jfn(x) f(x)j "kxk (x 2 L):

Отсюда вытекает, что функционал f fn ограничен. Но тогда ограничен, а значит, непрерывен и функционал f = (f fn)+fn. Кроме того, отсюда же следует, что kf fnk " для всех n N, т.е., что ffng сходится к f.

Замечание 2.6.2. Иногда про сходящуюся в нормированном пространстве (L ; k:k) последовательность говорят, что она сходится сильно в пространстве L .

Замечание 2.6.3. Если нормированное пространство L не

~ ~

полно, а L – его пополнение, то пространствa L и L изоморфны.

Пример 2.6.1. Если L – конечномерное (n-мерное) евклидово пространство (действительное или комплексное), то, зафиксировав в нем какой-нибудь базис fekgnk=1, мы получим для всех x 2 L и f 2 L :

110

где f(ek) = fk – координаты функционала f в базисе fgkgnk=1. Таким образом f можно отождествить с вектором (f1; : : : ; fn) 2

Rn.

Рассмотрим сначала случай 1 < p < 1. По неравенству Гель-

дера (2.6.2)

111

n!1=q

а значит, kfk = k(f1; : : : ; fn)kq. При p = 1 имеем

n n

2

n

X

jf(x0)j = jfkj = kx0k1k(f1; : : : ; fn)k1;

k=1

а значит, kfk = k(f1; : : : ; fn)k1.

Пример 2.6.3. На практических занятиях мы докажем, что lp = lq, где p1 + q1 = 1 (1 < p < 1).