Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1263 вуза, 4625 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Сибирский федеральный университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Funkan_lectures.pdf
Скачиваний:
257
Добавлен:
04.06.2015
Размер:
1.25 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

222

4.6Лекция 30

4.6.1Теорема об итерациях операторов

Пусть B : H ! H – самосопряженный ограниченный оператор в гильбертовом пространстве H.

Определение 4.6.1. Будем говорить, что оператор B : H !

H неотрицателен, если (Bx; x)H 0 для всех x 2 H.

Ясно, что если A : H1 ! H2 ограниченный оператор, то

(A Ax; x) = (Ax; Ax) = (x; A Ax) 0 для всех x 2 H1:

Поэтому оператор A A всегда самосопряжен и неотрицателен. Как и ранее, обозначим через (H1) оператор ортогонального

проектирования на подпространство H1 в H (см. пример 3.1.3).

Теорема 4.6.1. (теорема об итерациях) Пусть H – гильбертово пространство и B : H ! H – самосопряженный неотрицательный линейный компактный оператор в H с не более чем единичной нормой. Тогда в смысле поточечной сходимости в пространстве L(H) существуют пределы:

lim B = (ker (I B));

lim (I B) = (ker B):

!1

!1

Доказательство. Следствие 4.5.1 из спектральной теоремы гарантирует нам существование ортонормированной системы fb g в x 2 H, состоящей из собственных векторов оператора B, соответствующих собственным значениям f g R. Поскольку kBk 1, то из теоремы 3.7.1 следует, что f g [ 1; 1]. Кроме того, неотрицательность оператора B означает, что

= (Bb ; b ) 0;

223

т.е. f g [0; 1].

Тогда, используя теорему Гильберта-Шмидта, для всякого эле-

мента x 2 H получаем:

(4.6.1)

X

X

B x =

(x; b )H b ; (I B) x =

(x; b )H(1 ) b +x0:

 

Bb 6=0

Bb 6=0

С другой стороны, x 2 ker (I B) в том и только том случае, когда Bx = x. Поэтому x 2 ker (I B) состоит из собственных векторов оператора, соответствующих собственному значению

= 1. Таковых по следствию 3.7.1 конечное число. Значит, снова используя теорему Гильберта-Шмидта и предложение 4.4.1, получаем:

X

(4.6.2) (ker (I B))x = (x; b )Hb ; (ker A)x = x0:

=1

Теперь из (4.6.1), (4.6.2) и неравенства Бесселя следует, что:

lim k( (ker (I A)) A )xk =

!1

lim

!1

0

@

0

X

j(x; b )Hj2 2 1

1=2

 

@0

 

A

 

 

< <1

 

 

 

 

j(x; b )Hj211=2

kxk:

X

A

 

 

0< <1

Значит, по теореме об ограниченной сходимости,

 

0

X

 

1

1=2

lim

j(x; b )Hj2 2

=

!1

@0

 

A

 

 

 

 

 

 

< <1

224

0

 

1

1=2

lim j(x; b )Hj2 2

= 0:

@0

X

A

 

 

!1

 

 

 

< <1

 

 

Второй предел вычисляется аналогично.

 

Следствие 4.6.1. В смысле поточечной сходимости в линейном

пространстве L(H) мы имеем

 

 

1

(4.6.3)

I = (ker (I B)) +

X

B (I B);

 

 

=0

 

1

(4.6.4)

X

I = (ker (B)) +

(I B) B:

 

=0

Доказательство. Тождество B + (I B) = I влечет, что

 

1

1

(4.6.5)

X

X

I = B + B (I B) = (I B) + (I B) B

 

=0

=0

для всех 2 N.

Используя теорему 4.6.1, перейдем к пределу по ! 1 в (4.6.5)

и получим (4.6.3) и (4.6.4).

4.6.2Условия разрешимости уравнений первого рода

Доказанная выше теорема об итерациях и ее следствия позволяют получить условия разрешимости операторных уравнений первого рода с компактными операторами и их точные и приближенные решения.

В самом деле, рассмотрим компактный ненулевой оператор A :

H1 ! H2. Мы уже отмечали, что оператор A A самосопряжен и неотрицателен. Он компактен, как композиция компактного и

225

непрерывного операторов. Кроме того, так как оператор A нену-

левой, то его норма отлична от нуля. Значит, оператор B = A A

kAk2

компактен, самосопряжен и неотрицателен, а его норма не превосходит единицы в силу теоремы 3.5.1.

Следствие 4.6.2. Пусть H1,H2 – гильбертовы пространства и

A : H1 ! H2 – линейный компактный оператор. Тогда в смысле поточечной сходимости в пространстве L(H1) существует предел:

!1

 

 

A A

 

 

 

 

(ker

)

 

kAk2

=

 

 

 

lim

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A :

 

Доказательство. Из теоремы 4.6.1 вытекает существование

предела

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!1

 

A A

 

 

 

 

 

 

 

A A

kAk2

 

 

 

ker kAk2

lim

I

 

 

 

 

 

 

=

 

A A

 

 

 

:

Поскольку kAk отлична от нуля, то ker

 

= ker A A. Осталось

kAk2

убедиться, что ker A = ker A A.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ясно, что ker A ker A A. Если же x 2 ker A A, то

 

0 = (A Ax; x) = (Ax; Ax);

 

а значит, x 2 ker A, т.е. ker A A ker A.

 

 

 

Следствие 4.6.3. В условиях следствия 4.6.2, в смысле поточечной сходимости в пространствах L(H2) и L(H1) соответ-

ственно мы имеем

I1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.6.6)

 

 

1

 

 

A A

 

 

A A

 

 

 

I1

= (ker A) + =0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

k

A

2

 

 

k

A

2

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

A

 

I1

 

 

 

A A

 

 

 

 

A

(4.6.7)

I2

= (ker A ) + =0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

A

 

 

k

A

 

2

 

 

 

k

A

 

 

 

 

X k

 

k

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

k

226

Доказательство. Формула (4.6.6) вытекает из следствия 4.6.1.

Применяя ее к оператору AA ; мы заключаем, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AA

 

 

 

 

AA

 

 

 

 

 

 

(4.6.8)

I2 = (ker A ) + =0 I2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

k

A

 

2

 

 

 

k

A

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

Однако, kA k = kAk, кроме того,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I2

 

AA

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

I1

 

A A

 

:

 

 

 

(4.6.9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

A

 

2

 

A

k

 

 

k

A

k

k

A

k

2

 

 

 

 

 

 

 

k

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, формула (4.6.7) следует из (4.6.8) и (4.6.9).

 

 

 

С помощью следствия 4.6.3 легко получаются еще одно условие

разрешимости и формула для решения задачи

 

4.3.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следствие 4.6.4. Если оператор A компактен, то задача 4.3.1

разрешима в том и только том случае, когда:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1) y 2 (ker A )?;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2) ряд x1

=

1

 

 

 

 

 

A A

 

 

A y

 

сходится в H1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=0 I

kAk2

 

 

kAk2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Пусть задача

4.3.1 имеет решение x 2

H0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A A

A y

Тогда из следствия 4.6.3 вытекает, что ряд

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

сходится в H1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P =0

1

kAk

 

 

kAk

 

 

Обратно, пусть ряд x0 сходится в H1. Так как y 2 (ker A )?,

то, по следствию 4.6.3,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

A A

 

 

 

 

A y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = =0 A

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= Ax0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

A

k

2

 

 

k

A

k

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т.е. задача

4.3.1 разрешима.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следствие 4.6.5. Если задача

 

 

4.3.1 разрешима, то ряд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

I

 

A A

 

 

 

 

 

 

A y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 = =0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

A

k

2

 

 

 

k

A

k

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

227

сходится в H1, принадлежит (ker A)? и является единственным

решением задачи

 

4.3.1 в этом подпространстве.

 

Доказательство. В силу следствия 4.6.4 ряд x1 сходится в H1.

Кроме того, так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

A A

 

A y A

I

AA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

y; 2 Z+;

kAk2

kAk2

kAk2

kAk2

 

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A A

 

A y

 

AA

 

 

 

Ay

 

I

 

 

 

 

 

; z 1 = I

 

 

 

 

y;

 

2 = 0

kAk2

 

kAk2

kAk2

 

 

kAk2

для всех z 2 ker A. Значит, каждое слагаемое ряда x1, а, следовательно, и его сумма, принадлежат (ker A)?.

Наконец, единственность решения задачи 4.3.1 в этом подпро-

странстве нами уже доказана (см. следствие 4.5.2).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности