234

4.8Лекция 32

4.8.1Замечания к теоремам Фредгольма

Замечание 4.8.1. В теоремах Фредгольма по речь существу идет об условиях обратимости оператора (I B) и эти теоремы означают, что = 1 – или регулярная точка для A, или собственное значение конечной кратности. Так как (B I) = (1 B I), если 6= 0, то все, что утверждается в этих теоремах справедливо и для операторов (B I), при 6= 0. Поэтому всякая отличная от нуля точка спектра компактного оператора является его собственным значением конечной кратности (ср. с теоремой 3.7.3). Кроме того, мы знаем, что множество таких собственных значений не более чем счетно. Таким образом, нуль всегда принадлежит спектру компактного оператора в бесконечномерном пространстве, но не обязан, вообще говоря, быть собственным значением.

Замечание 4.8.2. Мы доказали теоремы Фредгольма для уравнений вида (I B)x = y, где B – компактный оператор в гильбертовом пространстве H. Эти теоремы могут быть перенесены без существенных изменений и на случай произвольного банахова пространства X. При этом, разумеется, сопряженное уравнение

(I B) z = будет уравнением в пространстве X , условие "ортогональности" нужно понимать как обращение в нуль на элементе y 2 X каждого функционала из подпространства ker(I B)

X .

4.8.2Следствия из теорем Фредгольма

Пусть оператор B компактен. Тогда операторы C = B+B B B,

~

C = B + B BB компактны и самосопряжены, а операторы

235

~

(I B) (I B) = I C, (I B)(I B) = I C являются

f g f~ g

операторами Фредгольма второго рода. Пусть bk , bk – ортонормированные базисы в H, состоящие из собственных векторов

f g f~ g

операторов C и C соответственно, а k и k – соответствующие им собственные значения.

Следствие 4.8.1. Неоднородное уравнение (4.7.1) разрешимо при тех и только тех y 2 H, которые ортогональны каждо-

~

му собственному вектору оператора C, соответствующему соб-

~

ственному значению = 1. Либо уравнение (4.7.1) имеет при

2 ~

любом y H одно и только одно решение, либо = 1 является собственным значением.

Доказательство. Следует немедленно из теорем Фредгольма, поскольку

~

аядро оператора (I C) как раз и состоит из собственных векторов

~ ~

оператора C, соответствующих собственному значению = 1. Более того, теоремы Фредгольма означают, что оператор

(I B)j(ker(I B))? : (ker(I B))? ! (ker(I B) )?

непрерывно обратим. Укажем способы построения соответствующего обратного оператора.

Следствие 4.8.2. Ряд

k=1

~

сходится и является решением уравнения (4.7.1), если (y; bk) = 0

~ ~

для всех bk, соответствующих собственному значению = 1

236

ющих собственному значению = 1 оператора C, то существует

единственное решение уравнения (4.7.1), скажем, x0, ортогональное ядру оператора (I B). Как мы уже отмечали, ker(I C) = ker(I B), а ядро оператора (I C) как раз и состоит из собственных векторов оператора C, соответствующих собственному значе-

~

нию = 1. Поэтому

X

x0 = (x0; bk)bk;

k6=1

Более того,

1

X

(I C)x0 = (I C) (x0; bk)bk =

k=1

X

(1 k)(x0; bk)bk = (I B) y:

k6=1

С другой стороны,

откуда, учитывая ортогональность векторов fbkg, мы заключаем, что (y; (I B)bk) = (1 k)(x0; bk) при k 6= 1. В силу того, что собственные вектора оператора C, соответствующие собственному значению = 1, суть базис ядра оператора

(I B), то из следствия 4.8.2 немедленно вытекает общий вид решения операторного уравнения (4.7.1):

k=1

237

где

Таким образом, для полного исследования операторного уравнения (4.7.1) достаточно знать все собственные векторы оператора

~ ~

C, соответствующие собственному значению = 1, и все собственные векторы оператора C, соответствующие собственным значениям 6= 1. Однако последних бесконечно много, а значит, задача об их нахождении может стать необозримой. К счастью, задача о нахождении решений уравнения Фредгольма второго рода является нормально разрешимой (см. первую теорему Фредгольма), а значит, частичные суммы

N

X

x(N) = ckbk

k=1

ряда x0 всегда сходятся к x0 и могут рассматриваться как приближенные решения операторного уравнения.

Тем не менее, мы укажем еще один способ построения (точных и приближенных) решений, не требующий решения задачи на собственные значения для оператора C. Он основан на применении итераций самосопряженных операторов.

Следствие 4.8.3. Ряд

1 (kI Ck I + C)k(I B) y

X

сходится и является решением уравнения (4.7.1), если (y; z) = 0

~ ~

для всех bk, соответствующих собственному значению = 1

~

оператора C.

ющих собственному значению = 1 оператора C, то существует

единственное решение уравнения (4.7.1), скажем, x0, ортогональное ядру оператора (I B). Как мы уже отмечали, ker(I C) = ker(I B), а ядро оператора (I C) как раз и состоит из собственных векторов оператора C, соответствующих собственному значе-

~

нию = 1.

Воспользуемся следствием 4.6.1 для оператора (I C)=kI Ck.

Согласно ему,

Снова вспоминаем, что задача о нахождении решений уравнения Фредгольма второго рода является нормально разрешимой, а значит, частичные суммы

X

x~(N) =

N (kI Ck I + C)k(I B) y

kI Ckk+1

k=0

ряда x~0 всегда сходятся к x0 и могут рассматриваться как приближенные решения операторного уравнения.

Кроме того, из следствия 4.8.2 и формулы (4.8.2) немедленно вытекает еще одна запись для общего вида решений операторного уравнения (4.7.1):

где коэффициенты cj произвольны (в этом равенстве первая сумма конечна в силу компактности оператора C!).