Раздел IV: Операторные уравнения в пространствах Гильберта

189

довательностей [fxng] и, по определению, fxng fx0ng ,

jj 0 jj ! ! 1

xn xn 0 при n . Норма в X определяется фор-

всюду плотное подмножество в X, поэтому мы имеем возможность отождествить X с этим подмножеством и считать, что X всюду

плотное подмножество в X.

Применим эту конструкцию к пространству непрерывных на [a; b] функций Le1[a; b] с нормой jjx(t)jjL1 := Rab jx(t)j dt. Это не полное пространство. Его пополнение обозначается L1[a; b] и называется пространством интегрируемых по Лебегу функций на отрезке [a; b]. Название несколько сбивает с толку, так как элементы

L1[a; b] это не функции, а классы эквивалентных фундаментальных последовательностей из непрерывных функций. Одна из целей дальнейшего обсуждения пояснение этой ситуации.

Вернемся не на долго к абстрактной теории. Следующая важная теорема показывает, как любой линейный непрерывный оператор на неполном пространстве может быть продолжен на его пополнение.

Теорема 4.1.1. Пусть A : (X1; jj jj1) ! X2; jj jj2)

линейный непрерывный оператор из неполного нормированного

фундаментальная последовательность. Так как jjAxn Axmjj2 jjAjjjjxn xmjj1 ! 0 при n; m ! 1, то fAxng фундаментальная последовательность в X2, и, значит, ввиду полноты X2,

190

существует

lim Axn 2 X2:

n!1

Положим по определению Ax = limn!1 Axn. Убедимся в корректности этого определения. Пусть fxng fx0ng, то есть jjxn x0njj ! 0 при n ! 1. Если y = limn!1 Axn, y0 = limn!1 Ax0n, то

Так как поля вещественных и комплексных чисел полные нормированные пространства, то справедливо

Следствие 4.1.1. Любой линейный непрерывный функционал на неполном нормированном пространстве может быть единственным образом продолжен до линейного непрерывного функционала на пополнение исходного пространства с сохранением нормы.

Вернемся к теории интегрирования. На пространстве Le1[a; b]

определен интеграл Римана Rab x(y) dt. Очевидно, что это линейный непрерывный функционал на Le1[a; b] с единичной нормой (докажите!). Поэтому можно применить следствие 4.1.1 и получить

191

линейный непрерывный функционал на пространстве L1[a; b]. Это продолжение и называется интегралом Лебега.

Определение 4.1.1. Пусть x 2 L1[a; b]. Интегралом Лебега

Z b

x dt

a

называется limn!1 Rab xn(t) dt, где fxng фундаментальная последовательность непрерывных функций, сходящаяся к x, то есть x = [fxng].

Недостаток этого определения в том, что мы привыкли интегрировать функции, а элементы L1[a; b] не функции, а достаточно сложно устроенные объекты. Следует отметить, что так же сложно устроены все объекты, полученные в процессе пополнения пространств: иррациональные числа, элементы пространств Lp[a; b], элементы пространств Соболева Wpl(G) и Hl(G) для области G и

т.п. Поэтому важной частью теории является возможно более простое описание элементов этих пространств. Для иррациональных чисел это теория десятичных дробей, для пространств Соболева знаменитые теоремы вложения Соболева, для пространств Лебега теория классов совпадающих почти всюду функций, к которой мы теперь переходим.

4.1.2Множества меры нуль. Сходимость почти всюду

Определение 4.1.2. Множество M [a; b] называется

множеством меры нуль, если для любого " > 0 существует

не более чем счетная система интервалов ( n; n), покрывающая множество M и имеющая суммарную длину меньше ", то есть 1)

P

M [n( n; n), 2) n( n n) < ".

192

Пример 4.1.1. Любое счетное множество точек есть множество

меры нуль.

Действительно, пусть fxngn2N [a; b]. Для любого " > 0

Существуют примеры множеств меры нуль, имеющие мощность континуума, один из знаменитейших примеров канторово совершенное множество (см. [[1], стр. 63]).

Далее мы применяем следующее соглашение: если некоторое утверждение справедливо для всех t из [a; b], кроме, быть может, множества точек меры нуль, то мы будем говорить, что утверждение верно.

Пример 4.1.2. 1. Функция y = cos t почти всюду отлична от нуля;

2. Функция Дирихле

(

1; если t рационально,

D(t) :=

0; если t иррационально,

равна нулю почти всюду, так как множество рациональных чисел счетно и, значит, имеет меру нуль.

Определение 4.1.3. Две функции x1(t) и x2(t) будем называть

эквивалентными (записываем: x1(t) x2(t) ), если они равны почти всюду.

Например, функция Дирихле эквивалентна нулю.

193

Определение 4.1.4. Если у последовательности функций

fxn(t)g существует предел x(t) почти всюду, то говорят, что xn

п.в.

сходится к x почти всюду и записывают это так: xn ! x.

Доказательство следующей теоремы показывает, как у последовательности непрерывных функций, сходящейся по норме Le1[a; b], извлечь сходящуюся почти всюду подпоследовательность.

Далее, если A [a; b] покрывается множеством интервалов суммарной длины меньше , то будем записывать это формулой jAj < .

Теорема 4.1.2. Если fxng фундаментальная последовательность из Le1[a; b], то существует подпоследовательность

fxnkg1k=1: п.в.

1) xnk ! x0(t) при k ! 1, где x0(t) некоторая функция на [a; b];

2) найдется m0 > 0 такое, что для всякого m > m0 суще-

ствует Bm [a; b], на котором jx0(t) xnk(t)j < 2k1 1 для всех k m и j[a; b] n Bmj < 21m , Bm Bm+1.

Доказательство. Так как jjxm xnjjL1 ! 0 при n; m ! 1, то существует подпоследовательность fxnkg:

Пусть yk := xnk+1 xnk. По теореме Вейерштрасса о приближении непрерывной функции многочленом существует такой многочлен pk(t), что для всех t 2 [a; b]

jjpkjjL1 jjykjjL1 + jjpk ykjjL1 < 25k + 25k(b a + 1) < 24k

Рассмотрим множество

1

Ak := ft 2 [a; b] : jpk(t)j 22k g:

Очевидно, что Ak представляет собой либо конечную систему непересекающихся отрезков и точек, либо пустое множество. Поэтому мы можем вычислить интеграл Римана от jpk(t)j по множеству Ak

и получить оценку

Значит, jAkj < 212k . Положим Am := [1k=mAk и Bm := [a; b]nAm.

[1k=mf[a; b] n Akg при k m jpk(t)j < 22k . Учитывая это неравенство и неравенство (4.1.3), получаем

1 1 1 jyk(t)j jpk(t)j + jyk(t) pk(t)j < 22k + 25k(b a + 1) < 2k :

Тем самым на Bm доказана сходимость ряда

Пусть теперь U [a; b] множество таких точек, где этот ряд расходится (то есть, его сумма равна бесконечности). Тoгда для любого m > m0, U f[a; b] n Bmg = Aem. Поэтому, для любого " > 0 существует m такой, что 21m < " и jUj jAemj < 21m < ", то

195

есть ряд (4.1.6) сходится почти всюду. Следовательно, почти всюду сходится ряд

п.в.

и limk!1 xnk(t) = f(t) + xn1 (t) =: x0(t). Первое утверждение теоремы доказано.

Далее, для всех t 2 Bm и k m имеем

Следствие 4.1.2. Если fxng Le1[a; b], jjxnjj1 ! 0, n ! 1, то существует такая подпоследовательность fxnkg1k=1, что

п.в.

xnk ! 0 при k ! 1.

Доказательство. Выбирая подпоследовательность fxnkg таким образом, чтобы jjxnkjjL1 < 215k и повторяя рассуждения, приведшие в доказательстве предыдущей теоремы к выводу о сходимо-