65

2.2Лекция 9

2.2.1Ортогональные системы. Теорема об ортогонализации

Наличие скалярного произведения позволяет ввести в евклидовом пространстве L не только длину вектора (т.е. норму), но и угол между векторами.

Определение 2.2.1. Число 0 ,

(x; y)

= arccos ; 0 ; kxkkyk

называется углом между векторами x; y 2 L.

В частности, если (x; y) = 0, то = =2.

Определение 2.2.2. Вектора x и y называются ортогональными, если (x; y) = 0. Система ненулевых векторов fx g из L

называется ортогональной, если (x ; x ) = 0 при 6= . Ортогональная система называется ортонормированной, если kx k = 1.

Очевидно, если fx g – ортогональная система векторов, то си-

стема f x g – ортонормирована.

kx k

Предложение 2.2.1. Если система векторов fx g из L ортогональна, то она линейно независима.

Доказательство. В самом деле, если Pnj=1 c j x j = 0, то в силу ортогональности системы мы имеем

67

является евклидовым. Как известно из курса математического ана-

лиза, один из ортонормированных базисов в нем образуют вектора

Поскольку метод координат был очень плодотворен для изучения конечномерных пространств, важно ответить на вопрос о существовании ортогонального базиса в евклидовом пространстве. Мы ограничимся рассмотрением достаточно широкого класса сепарабельных евклидовых пространств.

Предложение 2.2.2. Пусть L – сепарабельное евклидово пространство. Тогда всякая ортогональная система в нем не более чем счетна.

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, p

что fx g – ортонормированная система. Тогда kx x k = 2

при 6= и шары B(x ; 1=2) не пересекаются. Если счетное множество fy g всюду плотно в L, то в каждом таком шаре есть по крайней мере один элемент из fy g. Следовательно, число таких шаров (а значит, и элементов x ) не более чем счетно.

Теорема 2.2.1. (Теорема об ортогонализации) Пусть ffngn2N – линейно независимая система элементов в сепарабельном евклидовом пространстве L. Тогда в L существует система элементов f ngn2N, удовлетворяющая следующим условиям:

1)ортонормированность;

2)каждый элемент n есть конечная линейная комбинация

элементов f1; : : : ; fn:

n

X

n = anjfj; (ann 6= 0); j=1

68

3) каждый элемент fn есть конечная линейная комбинация элементов 1; : : : ; n:

n

X

fn = bnj j; (bnn 6= 0): j=1

Каждый элемент системы f ngn2N определяется условиями 1) – 3) однозначно с точностью до множителя 1.

Доказательство. Элемент 1 ищется в виде 1 = a11f1; при этом a11 определяется из условия ( 1; 1) = a211(f1; f1) = 1,

Ясно, что 1 определяется этим однозначно (с точностью до знака). Пусть элементы k (k < n), удовлетворяющие условиям 1) – 3), уже построены. Тогда положим

n 1

X

hn = fn bnj j; j=1

где коэффициенты bnk выбраны так, что (hn; k) = 0 при k < n. Именно, в силу ортогональности системы f kgnk=11 мы получаем