172

3.5.3Обратный оператор

Перейдем теперь к описанию условий единственности решения операторного уравнения.

Определение 3.5.3. Оператор A : X ! Y называется обратимым, если для любого y 2 R(A) уравнение

имеет единственное решение x 2 D(A). Оператор, ставящий в соответствие каждому элементу y 2 R(A) единственный элемент x 2 D(A), удовлетворяющий уравнению (3.5.3), называется обратным к A и обозначается A 1.

Обратите внимание, что обратимость соответствует не условию 1) существования в определении корректности по Адамару, а условию 2) – единственности.

Предложение 3.5.2. Пусть оператор A : X ! Y является линейным. Тогда следующие условия являются эквивалентными:

1)оператор A обратим;

2)оператор A инъективен;

3)ker A = 0.

Доказательство. Пусть ker A = 0. Тогда, если y 2 R(A) и

Ax1 = Ax2 = y, то

0 = Ax1 Ax2 = A(x1 x2);

т.е. (x1 x2) 2 ker A. Значит, x1 x2 = 0 и оператор A инъективен.

173

Далее, если оператор A инъективен, то уравнение (3.5.3), очевидно, имеет единственное решение для всех y 2 R(A), т.е. оператор A обратим.

Наконец, если A обратим, и x 2 ker A, то в силу единственности решения уравнения (3.5.3) мы заключаем, что x = 0, т.е. ker A = 0.

Таким образом, мы доказали, что из 3) следует 2), из 2) следует 1), а из 1) следует 3). Значит, эти три условия эквивалентны.

Теорема 3.5.2. Если оператор A линеен и обратим, то оператор A 1 также линеен.

Доказательство. Прежде всего, заметим, что D(A 1) =

R(A) – линейное многообразие в Y (см. предложение 3.1.2). Пусть y1; y2 2 R(A). Для доказательства достаточно проверить, что

(3.5.4) A 1(ay1 + by2) = aA 1y1 + bA 1by2

для всех скаляров a и b.

Пусть Ax1 = y1, Ax2 = y2. В силу линейности оператора A

имеем

(3.5.5) A(ax1 + bx2) = aAx1 + bAx2 = ay1 + by2:

Так как по определению обратного оператора x1 = A 1y1, x2 = A 1y2, то

aA 1y1 + bA 1y2 = ax1 + bx2:

С другой стороны, из (3.5.5) следует, что

A 1(ay1 + by2) = ax1 + bx2;

что в совокупности с двумя предыдущими равенствами и дает ра-

венство (3.5.4).

174

Теорема 3.5.3. Если оператор замкнут и обратим, то обратный к нему также замкнут.

Доказательство. Рассмотрим графики операторов A и A 1:

= f(x; Ax); x 2 D(A)g; 1 = f(y; A 1y); y 2 R(A)g:

Ясно, что график оператора A 1 можно переписать в виде

1 = f(Ax; x); x 2 D(A)g;

а значит, его можно отождествить с графиком оператора A.