- •Лекция 1
- •Введение
- •Метрические пространства. Определения и примеры
- •Лекция 2
- •Непрерывные отображения метрических пространств
- •Сходимость
- •Лекция 3
- •Замыкание
- •Замкнутые множества
- •Лекция 4
- •Открытые множества
- •Полные метрические пространства
- •Лекция 5
- •Теорема о вложенных шарах
- •Плотные подмножества. Теорема Бэра
- •Лекция 6
- •Полнота и разрешимость уравнений
- •Пополнение пространства
- •Лекция 7
- •Принцип сжимающих отображений
- •Применение принципа сжимающих отображений к интегральным уравнениям
- •Раздел II: Линейные метрические пространства и функционалы
- •Лекция 8
- •Нормированные пространства
- •Евклидовы пространства
- •Лекция 9
- •Ортогональные системы. Теорема об ортогонализации
- •Коэффициенты Фурье. Неравенство Бесселя
- •Лекция 10
- •Теорема об изоморфизме
- •Подпространства, ортогональные дополнения
- •Лекция 11
- •Функционалы: основные определения и примеры
- •Компактность и полная ограниченность
- •Лекция 12
- •Свойства непрерывных линейных функционалов
- •Лекция 13
- •Сопряженное пространство
- •Теорема об общем виде непрерывного линейного функционала на полном евклидовом пространстве
- •Лекция 14
- •Второе сопряженное пространство
- •Слабая сходимость
- •Лекция 15
- •Обобщенные функции
- •Производная обобщенной функции
- •Лекция 16
- •Дифференциальные уравнения в классе обобщенных функций
- •Лекция 17
- •Обобщенные функции нескольких переменных
- •Свертка обобщенных функций
- •Раздел III: Линейные операторы в пространствах Банаха
- •Лекция 18
- •Линейные операторы: основные определения
- •Норма оператора
- •Лекция 19
- •Пространство ограниченных линейных операторов
- •Компактные операторы
- •Лекция 20
- •Принцип равномерной ограниченности
- •Лекция 21
- •Замкнутые операторы
- •Теорема о замкнутом графике
- •Лекция 22
- •Сопряженный оператор
- •Операторные уравнения
- •Обратный оператор
- •Лекция 23
- •Непрерывная обратимость
- •Достаточные условия непрерывной обратимости
- •Лекция 24
- •Спектр оператора. Резольвента
- •Спектр компактного оператора
- •Раздел IV: Операторные уравнения в пространствах Гильберта
- •Лекция 25
- •Продолжение линейного непрерывного оператора на пополнение. Пространство Лебега
- •Множества меры нуль. Сходимость почти всюду
- •Лекция 26
- •Функции, интегрируемые по Лебегу
- •Основные свойства интеграла Лебега
- •Кратный интеграл Лебега
- •Лекция 27
- •Сопряженный оператор. Случай евклидовых пространств
- •Самосопряженные операторы
- •Лекция 28
- •Собственные значения самосопряженных операторов
- •Лекция 29
- •Базисы со свойством двойной ортогональности
- •Лекция 30
- •Теорема об итерациях операторов
- •Условия разрешимости уравнений первого рода
- •Лекция 31
- •Операторные уравнения второго рода
- •Теоремы Фредгольма
- •Лекция 32
- •Замечания к теоремам Фредгольма
- •Следствия из теорем Фредгольма
- •Лекция 33
- •Линейные интегральные уравнения второго рода
- •Лекция 34
- •Уравнения с вырожденными ядрами
- •Уравнения Вольтерра
- •Заключительные замечания
- •Список литературы
Список литературы
[1]Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа/А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Физматлит, 2004.
[2]Треногин В.А. Функциональный анализ/ В.А. Треногин. – М.: Наука, 1980.
[3]Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной/ И.П. Натансон. – М.: Гостехиздат, 1957.
[4]Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс/ Г.Е. Шилов. – М.: МГУ, 1984.
[5]Робертсон А. Топологические векторные пространства/ А. Робертсон, В. Робертсон. – М.: Мир, 1967.
[6]Лаврентьев М.М. Линейные операторы и некорректные задачи/ М.М. Лаврентьев, Л.Я. Савельев. – М.: Наука, 1991.
[7]Иосида К. Функциональный анализ/К. Иосида. – М.: Мир, 1967.
[8]Канторович А.В. Функциональный анализ в нормированных пространствах/ А.В. Канторович, Г.П. Акилов. – М.: Физматгиз, 1959.
[9]Треногин В.А. Задачи и упражнения по функциональному анализу/ В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева. – М.: Физматлит, 2002.
253
254
[10]Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры/ Д.В. Беклемишев. – М.: Наука, 1984.
[11]Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике/ В.С. Владимиров. – М.: Наука, 1979.
[12]Владимиров В.С. Сборник задач по уравнениям математической физики/ В.С. Владимиров, А.А. Вашарин. – М.: Физматлит, 2001.
[13]Пуляев В.Ф. Задачи по функциональному анализу/ В.Ф. Пуляев, З.Б. Цалюк. – Краснодар: изд-во КубГУ, 1983.