36

1.5Лекция 5

1.5.1Теорема о вложенных шарах

Попробуем ответить на естественный вопрос: как отличить полное метрическое пространство от неполного, кроме как непосредственно проверяя определение.

Напомним, что для доказательства теоремы Коши о фундаментальных последовательностях можно использовать лемму о вложенных отрезках. В теории метрических пространств аналогичную роль играет теорема о вложенных шарах.

Теорема 1.5.1. Для того чтобы метрическое пространство было полным, необходимо и достаточно, чтобы в нем всякая последовательность fBjg1j=1 вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имела непустое пересечение.

Доказательство. Необходимость. Предположим, что пространство X полно. Возьмем какую-нибудь последовательность fBj =

B(xj; rj)gj2N вложенных друг в друга замкнутых шаров, для которой соответствующая последовательность радиусов frjgj2N стремится к нулю при j ! 1. Последовательность центров fxjg1j=1

этих шаров фундаментальна, поскольку (xj; xk) < rj при k > j, а rj ! 0 при j ! 1. Так как X полно, то существует предел

limj!1 xj = x 2 X.

1

T

Убедимся, что x 2 Bj(xj; rj). Действительно, шар Bj

j=1

содержит все точки xk, за исключением, быть может, точек x1; : : : ; xj 1. Таким образом, точка x является точкой прикосновения для каждого шара Bj. Но так как эти шары замкнуты, то x 2 Bj для всех j 2 N.

37

Достаточность. Возьмем какую-нибудь фундаментальную последовательность fxng1j=1 и докажем, что она сходится в X. В силу фундаментальности мы можем выбрать такую точку xn1 , что(xn; xn1 ) < 1=2 для всех n n1. Положим B1 = B(xn1 ; 1). Выберем затем n2 > n1 так, чтобы (xn; xn2 ) < 1=22 для всех n n2. Положим B2 = B(xn2 ; 1=2). Тогда для любой точки x 2 B2 имеем

(x; xn1 ) (x; xn2 ) + (xn2 ; xn1 ) 1=2 + 1=2 = 1

в силу выбора точки xn1 . Значит, B2 B1.

Если точки xn1 ; : : : ; xnk уже выбраны (здесь 1 n1 <

n2 < nk), то выберем точку xnk+1 так, чтобы nk+1 > nk и(xn; xnk+1 ) < 1=2k+1 для всех n nk+1 и положим Bk+1 = B(xnk+1 ; 1=2k). Тогда для любой точки x 2 Bk+1 имеем

(x; xnk) (x; xnk+1 ) + (xnk+1 ; xnk) 1=2k + 1=2k = 1=2k 1

в силу выбора точки xnk. Значит, Bk+1 Bk.

Продолжая это построение, получим последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров Bk, радиусы rk = 1=2k 1

которых стремятся к нулю. Эта последовательность, по предположению, имеет хотя бы одну общую точку, скажем, x 2 X. Так как(x; xnk) 1=2k 1, то x = limnk!1 xnk. Наконец, поскольку последовательность fxngn2N фундаментальна, то из неравенства

(x; xn) (x; xnk) + (xn; xnk)

Следствие 1.5.1. В условиях теоремы 1.5.1 пересечение шаров

1

T

Bj состоит из одной точки.

j=1

40

вX, если X = M. Множество M называется нигде не плотным

вX, если оно не плотно ни в одном шаре, т.е. если в каждом шаре

B X содержится шар B0, не содержащий ни одного элемента из M.

Определение 1.5.4. Метрическое пространство назовем сепарабельным, если в нем имеется счетное всюду плотное множество.

Пример 1.5.3. Пространство R сепарабельно, так как множество рациональных чисел Q всюду плотно в нем.

Пример 1.5.4. Пространство Rnp (n 1, 1 p 1) сепарабельно, так как множество векторов Qn с рациональными компонентами всюду плотно в нем.

Пример 1.5.5. Пространство lp (1 p < 1) сепарабельно, так как в нем плотно множество последовательностей, в каждой из которых все члены рациональны и лишь конечное число (свое для каждой последовательности) этих членов отлично от нуля.

Пример 1.5.6. Пространство всевозможных ограниченных последовательностей M из примера 1.1.8 несепарабельно. В самом деле, рассмотрим всевозможные последовательности, состоящие из нулей и единиц. Они образуют множество мощности континуум, поскольку между ними и действительными числами (в двоичной записи) можно установить взаимно однозначное соответствие. Расстояние между двумя такими точками равно единице. Рассмотрим множество открытых шаров радиуса r = 1=2 с центрами в точках M.

41

Эти шары, очевидно, не пересекаются. Если некоторое множество всюду плотно в M, то каждый из построенных шаров должен содержать хотя бы по одной точке этого множества. Значит, оно не может быть счетным.

Теорема 1.5.2. (Теорема Бэра) Полное метрическое пространство не может быть представлено в виде объединения счет-

ного числа нигде не плотных множеств.

Доказательство. Предположим противное: пусть каждое из

лее, M2, будучи нигде не плотным, не плотно и в B1, т.е. существует замкнутый шар B2 радиуса меньше 1=3, такой, что B2 B1

и B2 \ M2 = ;. Продолжая построение, мы получаем последовательность Bj вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, причем Bj \ Mj = ;. В силу теоремы