2

Выполнено на кафедре теории функций

Авторы-составители:

Ермилов И.В., Шлапунов А.А., Федченко Д.П., Трутнев В.М.,

Шестаков И.В., Яковлев Е.И. Михалкин Е.Н.

3

Настоящий задачник предназначен для учебно-методического обеспечения дисциплины "Функциональный анализ" для студентов III курса, обучающихся на факультете математики и информатики Сибирского федерального университета по специальностям (направлениям) 010100 – "Математика", 010200 – "Прикладная математика и информатика".

Создание такого задачника было необходимо прежде всего потому, что во всех существующих ныне задачниках преобладают теоретические задачи. Мы попытались избавиться от этого недостатка. Хотя, нами использован и материал из достаточно современного задачника [9] (а также задачников [12], [13]). Кроме того, нам неизвестны другие задачники по функциональному анализу, изданные за последние годы в центральных издательствах тиражами, достаточными для "массового" использования в учебном процессе.

Задачи разбиты по разделам, соответствующим модулям лекционного курса.

Первый раздел посвящен теории метрических пространств. В нем собраны задачи по темам: метрика, сходимость в метрических пространствах, открытые и замкнутые множества, полнота, принцип сжимающих отображений. Эта тематика уже частично знакома студентам по курсу "Дифференциальные уравнения". Все основные примеры связаны именно с этим направлением.

Второй раздел касается теории типичных метрических пространств с линейной структурой – нормированных и евклидовых

4

пространств. В нем собраны задачи по темам: норма, скалярное произведение, ортогональность, непрерывные линейные функционалы, теорема Хана-Банаха, сопряженное пространство, обобщенные функции. Для решения подобранных нами задач студенты могут опираться на геометрическую интуицию в конечномерных пространствах, выработанную при изучении курса "Линейная алгебра и аналитическая геометрия".

В третий раздел включены задачи по теории линейных операторов в пространствах Банаха. В нем мы лишь на понятийном уровне касаемся теории операторных уравнений, сосредотачиваясь на общих свойствах линейных операторов. Здесь представлены задачи по темам: ограниченные операторы, норма оператора, спектр и резольвента оператора, сопряженный оператор.

Наконец, раздел 4 в значительной мере охватывает теорию интегральных уравнений Фредгольма и теорию операторных уравнений первого рода. Наибольшее внимание уделено уравнениям второго рода с вырожденными ядрами и интегральным уравнениям Вольтерра второго рода. Частично затронуты теория некорректных задач и теория интегрирования по Лебегу.

Основным источником теоретического материала, необходимого для решения задач является "Конспект лекций по дисциплине Функциональный анализ" в рамках разработанного нами учебнометодического комплекса. Студентам также рекомендуется использовать учебник [1] и [2]. В списке литературы приведены и другие

5

книги, которые студенты могут использовать. В основном это издания известных учебников прошлого столетия, которые хотя и устарели в некоторой степени (например, в терминологии), но обладают другими неоспоримыми преимуществами (например, ясностью изложения).

3.4Замкнутые операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.5Сопряженный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2Интегральные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.3Базисы с двойной ортогональностью . . . . . . . . . 84

4.4Элементы наилучшего приближения . . . . . . . . . 84

1.1Метрика

Являются ли метриками на числовой прямой следующие функции:

1. (x; y) = jx yj.

Коротко разберем этот пример. Функция (x; y) образует метрику, если (x; y) 0 и:

1.(x; y) = 0 , x = y,

2.(x; y) = (y; x),

3.(x; y) (x; z) + (z; y);

для всех x, y и z из X. Ясно, что в нашем случае

(x; y) = jx yj 0 для любых x; y 2 R. Пусть

(x; y) = jx yj = 0, получаем, что x = y. Далее

(x; y) = jx yj = jy xj = (y; x). Легко видеть, что

jx yj = j(x z) + (z y)j jx zj + jz yj откуда сразу же получаем правило треугольника (x; y) (x; z) + (z; y). В результате, имеем, что функция (x; y) = jx yj образует метрику на R, т.к. для нее выполнены все аксиомы метрики.

2.(x; y) = jx3 y3j.

3.(x; y) = x3 y3.

4.(x; y) = jx2 y2j.

5.(x; y) = jjxj jyjj.

6.(x; y) = j cos x cos yj.

7.(x; y) = j sin x sin yj.

8.(x; y) = j tg x tg yj.

9.(x; y) = j sin(x y)j.

непрерывная функция u = f(v), чтобы на вещественной прямой можно было задать метрику с помощью равенства

(x; y) = jf(x) f(y)j?

Являются ли метриками на множестве натуральных чисел функции:

13.

jn mj

(n; m) = : nm

Образует ли метрическое пространство множество точек плоскости, если определить расстояние между точками M(x1; y1) и N(x2; y2)

формулой:

17.(M; N) = (x1 x2)2 + (y13 y23)2.

18.(M; N) = jx1 x2j + tg jy1 y2j.

19.(M; N) = maxfjx1 x2j; jy1 y2jg.

Пусть X – множество всех прямых на плоскости, не проходящих через начало координат. Пусть прямые l1 и l2 задаются уравнениями:

l1 : x cos 1 + y sin 1 p1 = 0; l2 : x cos 2 + y sin 2 p2 = 0;

где 0 < 1 < 2 ; 0 < 2 < 2 ; p1 > 0; p2 > 0. Выяснить являются ли метриками на X следующие функции:

20. (l1; l2) =

p

(p2 p1)2 + (sin 2 sin 1)2 + (cos 2 cos 1)2.

21.(l1; l2) = jp2 p1j + j sin 2 sin 1j + j cos 2 cos 1j.

22.(l1; l2) = jp2 p1j + j sin 2 sin 1j.

Пусть (x; y) – метрика на множестве X. Доказать, что следующие функции также являются метриками на X.

Проверим выполнение аксиом метрики для функции e(x; y).

(x; y) 0, т.к. функция (x; y) является метрикой на X. Пусть

e(x; y) = = = e(y; x): 1 + (x; y) 1 + (y; x)

Осталось только проверить аксиому треугольника для функции

e(x; y), однако это легко сделать непосредственной проверкой.

24.e(x; y) = ln[1 + (x; y)].

25.e(x; y) = minf1; (x; y)g.

26.(x; y) = (x; y) . e 2 + (x; y)

27.Доказать, что аксиомы метрики эквивалентны следующим двум аксиомам:

1)(x; y) = 0 () x = y,

2)(x; y) (x; z) + (y; z) для всех x; y; z:

28. Является ли метрикой на X = fa; b; cg функция , если

(a; c) = (c; a) = (a; b) = (c; b) = 2; где

(b; a) = (b; c) = 1? Удовлетворяет ли аксиоме треугольника?

29. На множестве X = fa; b; cg задана метрика такая, что

(a; b) = (b; c) = 1: Какие значения может принимать (a; c)?

30. Дано множество X = fx0; x1; : : : ; xng: Зададим так:

1)(xi; xi) = 0;

2)(x0; xi) = (xi; x0) = 1 при i > 0;

3)(xi; xj) = d при i 6= j; i > 0; j > 0:

p

Доказать, что при d = 2 функция удовлетворяет аксиомам метрики. Найти все значения d, при которых – метрика.

31. Образует ли метрику на множестве многочленов функция

(P1; P2) = jP1(0) P2(0)j?

32.Доказать, что система аксиом метрического пространства непротиворечива и независима.

33.Доказать, что множество целых чисел становится метрическим пространством, если положить (a; b) = 0 при a = b и

(a; b) = 1=3k при a 6= b, где k – наивысшая степень 3, на которую делится нацело разность a b. Найти

(7; 5); (7; 2); (7; 25).

34. Доказать, что множество полей шахматной доски образует метрическое пространство, если за расстояние от поля x до поля y

принять наименьшее число ходов, которое потребуется коню, чтобы перейти с поля x на поле y.

35. Найти расстояние между функциями x(t) = t3 и

y(t) = 3t + 4 в пространствах:

Здесь и далее Cs[a; b] – пространство s раз непрерывно

дифференцируемых функций на отрезке [a; b] с метрикой

а Lep[a; b] – пространство непрерывных функций на отрезке [a; b]

с метрикой

Z b 1=p

(x; y) = jx(t) y(t)jp dt :

a

36. Найти расстояние между точками A( 2; 4) и B( 4; 2) в

пространствах:

a) R22; б) R21; в) R21:

37. Найти множество точек M пространства R21, расстояние каждой из которых до точки A(0; 0) в 2 раза больше, чем расстояние до точки B(3; 0):