2.1Линейные пространства

Доказать, что следующие множества являются линейными про-

странствами

155.Множество всевозможных векторов (в трехмерном пространстве, на плоскости или на прямой).

156.Множество Rm всевозможных упорядоченных наборов (столбцов) из m вещественных чисел.

157.Множество многочленов степени не выше k:

x(t) = x0 + x1t + : : : + xktk (x0; x1; : : : ; xk – произвольные вещественные числа, t 2 R = ( 1; 1)).

158. Множество многочленов степени не выше k:

x(t) = x0 + x1t + : : : + xktk (x0; x1; : : : ; xk – произвольные комплексные числа, t 2 C).

159.Пространство C[a; b] – пространство непрерывных функций.

160.Пространство Ck[a; b] (k – натуральное число) – пространство k раз непрерывно дифференцируемых функций.

161.Множество Mmn всех прямоугольных матриц порядка

m n со скалярными элементами.

2.2Норма

Задает ли функция x ! f(x) норму на числовой прямой?

p

162. f(x) = x:

p

163. f(x) = jxj:

181. jx(a)j + jx0(a)j+ k x00 kC[a;b] :

Проверим выполнение аксиом нормы в пространстве C2[a; b]. Легко видеть, что k x k 0. Если k x k= 0, то

x(a) = 0; x0(a) = 0; k x00 kC[a;b]= 0. Из последнего равенства видно, что x00 = 0, откуда получаем, что x = Ct + C1; x0 = C. Рассмотрим систему

8

>Ca + C1 = 0;

<

>

:C = 0:

В итоге, т.к. C1 = C = 0 получаем, что x = 0. Если x = 0, то сразу же получаем, что k x k= 0.

182.k x00 kC[a;b] + k x kLe2[a;b] :

183.jx(a)j + jx(b)j+ k x00 kC[a;b] :

184.jx(a)j+ k x00 kC[a;b] + k x00 kLe2[a;b] :

185.Доказать, что система аксиом нормы непротиворечива и независима.

Пусть X – линейное нормированное пространство и xn; x; yn; y 2

X: Доказать, что:

186.Если xn ! x, при n ! 1, то xn ограниченная последовательность.

187.Если xn ! x; n ! ( n 2 R), при n ! 1, то

nxn ! x при n ! 1.

188. Если xn ! x, при n ! 1, то jjxnjj ! jjxjj при n ! 1.

189. Если xn ! x и jjxn ynjj ! 0, при n ! 1, то yn ! x

при n ! 1.

190. Если xn ! x, при n ! 1, то jjxn yjj ! jjx yjj при n ! 1.

191. Если xn ! x и yn ! y, при n ! 1, то jjxn ynjj ! jjx yjj при n ! 1.

192. Найти норму функций x(t) = t в тех пространствах

Lfp[0; 1] (p 1) которым эти функции принадлежат.

2.3Скалярное произведение

Задают ли скалярное произведение на числовой прямой следующие формулы:

193.(x; y) = xy:

194.(x; y) = xy3:

195.(x; y) = 5xy:

196.(x; y) = x + y:

Пусть V – множество векторов на плоскости; a = (a1; a2); b = (b1; b2): Проверить, задают ли скалярное произведение на V следующие формулы:

197.(a; b) = a1b1:

198.(a; b) = a1b1 a2b2:

199.(a; b) = a1b1 + 2a2b2:

p

201.(a; b) = (a21 + a22)(b21 + b22):

202.Доказать, что аксиома скалярного произведения

(x1 + x2; y) = (x1; y) + (x2; y) не зависит от остальных аксиом.

203. Доказать, что аксиома скалярного произведения

(x; y) = (y; x) не зависит от остальных аксиом.

204.Доказать, что аксиома скалярного произведения (x; x) 0, причем (x; x) = 0 , x = 0 не зависит от остальных аксиом.

205.В линейном пространстве непрерывных на [0; 1) функций

x(t) таких, что

+1

Z

x(t)y(t)e tdt:

0

Проверить выполнение аксиом скалярного произведения.

206. В линейном пространстве непрерывных на (1; +1)

функций x(t) таких, что

+1

Z

x(t)y(t)e t2 dt:

1

Проверить выполнение аксиом скалярного произведения.

207. В линейном пространстве непрерывно дифференцируемых на

[a; b] функций положим

b

Z

(x; y) = [x(t)y(t) + x0(t)y0(t)]dt:

a

36 Глава 2. Нормированные пространства и функционалы

Проверить выполнение аксиом скалярного произведения.

208. Пусть на линейном пространстве X задано скалярное

p

произведение (x; y). Доказать, что функция jjxjj = (x; x)

задает на X норму.

209. Найти норму функции

1

x(t) = (4t3 t4) 5

в пространствах

а) `2, б) `1, в) M.

211.Найти угол между элементами x(t) = sin t и y(t) = t в

пространстве Lf2[0; 1].

212.Найти углы треугольника, образованного в пространстве

Lf2[ 1; 1] элементами x1(t) 0; x2(t) 1; x3(t) = t:

Здесь и далее Hgs[a; b] – пространство s раз непрерывно

дифференцируемых функций на отрезке [a; b] с нормой

213. Найти угол между элементами x(t) = sin t и y(t) = t в

пространстве Hg1[0; ].

Провести ортогонализацию элементов x0(t) 1; x1(t) = t; x2(t) = t2; x3(t) = t3 в следующих пространствах:

214.Lf2[ 1; 1].

215.Lf2[0; 1].

216.Hg1[ 1; 1].

217.В пространстве из задачи 205.

218.В пространстве из задачи 206.

Если на некотором линейном пространстве X заданы одновременно норма и скалярное произведение, то они называются согласованны-

p

ми в том случае, когда jjxjj = (x; x): Как следует из задачи 208 в пространстве со скалярным произведением всегда можно ввести согласованную с ним норму. Обратное утверждение вообще говоря не верно. Однако, справедлива следующая теорема: в вещественном линейном нормированном пространстве можно ввести скалярное произведение согласованное с нормой тогда и только тогда, когда для любых x; y 2 X справедливо равенство

jjx + yjj2 + jjx yjj2 = 2(jjxjj2 + jjyjj2);

называемое тождеством параллелограмма.

Показать, что в следующих пространствах нельзя ввести скалярное произведение, согласованное с нормой.