Ответы

ние изометрично лучу [0; +1). 110. радиусы шаров не стремятся

n

к нулю. 111. Последовательность Pn, где Pn = P x2 i, являет-

i=0

ся несходящейся фундаментальной последовательностью для всех

трех расстояний. 112. Нет. 113. Пополнение получается добавлением одноточечных отрезков [a; a]. 117. Да. 118. Нет. 119. а) Да,

б) нет, в) да. 121. Не сжимающее, не имеет неподвижных точек.

p p p

122. 3. 123. 0. 124. 5. 125. 1 2. 126. 2. 127. 12(1 + 13).

Рассмотреть отображение A : R ! R; A(x) = x + 2 arctgx.

90 Глава 4. Интегральные уравнения

Ответы к главе 2.

162. Нет. 163. Нет. 164. Нет. 165. Да. 166. Да. 167. Нет. 168. Нет.

169. Нет. 170. Нет. 171. Да. 172. Да. 173. Нет. 174. Нет. 175. Нет.

176. Да. 177. Нет. 178. Нет. 179. Да. 180. Да. 182. Да. 183. Да.

197. Нет. 198. Нет. 199. Да. 200. Да. 201. Нет. 202. Для векторов на плоскости a; b; : : : рассмотреть функцию (a; b) = jajjbj cos3 ,

1; t; 3t 1; 5t 3t. 215. 1; 2t 1; 6t t+1; 20t 30t +12t 1.

216. 1; t; 1 3t2; 9t 10t3. 217. 1; 1 t; t2 4t + 2; t3 +

9t2 18t + 6. 218. 1; 2t; 4t2 2; 8t3 + 12t. 227. Да. 230. Од-

номерное подпространство с базисом x(t) 1. 232. Одномерное

пространство с базисом x(t) = sh(t a+2 b). 233. Двумерное подпространство с базисом x1(t) = et, x2(t) = e t. 234. Да. 235.

Да. 236. Да. 237. Нет. 238. Нет (рассмотреть последовательность

254. 1. 255. 2. 256. 2. 257. 1. 258. 2. 259. 5. 260. 4. 290. Пред-

положим, что f на M достигает своего минимального значения m.

1

Так как x2(t) 0 и x(t) 6= 0, то m = R x20(t) dt > 0, где x0(t)

0

– элемент, на котором f принимает наименьшее значение. С другой

при n ! 1. Получили противоречие. Этот пример не проти-

воречит теореме Вейерштрасса, т.к. M не является компактным

f(x; y) = 185 x + 65y. 316. а) сходится к нулю. б) и в) не сходят-

ся, если '(x) 6= 0: 317. Ясно, что f" 2 D. Далее, так как f(x)

непрерывна и финитна, то для любого > 0 и при всех достаточно малых " > 0 имеем: jf(x) f(y)j < при jx yj "; x; y 2 R,

R

так что jf(x) f"(x)j jf(x) f(y)j!"(x y) dy <

R

!"(x y) dy = ; x 2 R. 318. Для доказательства

jx yj<"

x

R

достаточно проверить, что '2(x) = '1(x) dx 2 D. 320. (x).

1

321. (x).

Ответы к главе 3.

369. Линейный, если b = 0 и нелинейный в противном случае. 370.

Да. 371. Да. 372. Нет. 373. Нет. 374. Да. 375. Нет. 376. Нет. 377.

Да. 378. Нет. 379. Нет. Рассмотреть Axn, где xn = tn (n 2 N).

380. Да. 381. Да. 382. Да. 383. Нет. 384. Нет. Рассмотреть Axn, где xn = t2n. 385. Только при '(t) 0. 387. Нет. Рассмотреть

Axn, где xn = tn=n (n 2 N). 388. Нет. Рассмотреть Axn, где xn = tn+1=(n(n+1)) (n 2 N). 389. Да. Шар B1(0) пространства

C2[0; 1] оператор A переводит в множество M, лежащее в шаре

B = B1(0) пространства C1[0; 1], а всякое подмножество B ком-

пактно в C[0; 1]. 391. Нет. 392. Да. 393. Да. 394. Да. 395. Да. 396.

1

Нет. 397. Нет. 398. A 1y = R G(s; t)y(t) dt; D(A 1) = C[0; 1],

0

где

8

>

>

> s(t 1) при 0 s t 1;

<

G(s; t) =

>

>

> t(s 1) при 0 t s 1:

:

399. Пусть M H – ограниченное множество; так как оно слабо компактно, то в нем найдется слабо фундаментальная последовательность fn (n 2 N). Тогда

1

X

k A(fn fm) k2= 2kj(fn fm; ek)j2 = Sr + Rr;

k=1

r1

PP

где Sr = ; Rr = . Так как k ! 0, то при достаточно

k=1 k=r+1

большом r будет

Фиксировав r, в силу слабой сходимости последовательности fn

выберем такое N, чтобы при n; m > N каждое слагаемое в Sr

1. 429. k. 430. 1. 431. 1. 432. 2. 433. 1. 434. 1. 435. Нет. 436. Да.

437. Да. 438. Нет. 439. Нет. 467. Нет. 468. Да. 469. Да.

Ответы к главе 4.

506. Возьмем произвольный интервал I = ( ; ). Если он не содержит точек из D, то в качестве интервала, содержащегося в I и

полностью свободного от точек D берем сам этот интервал. Если же имеется точка x0 2 D \ I, то мы можем найти отрезок достаточно высокого ранга n, содержащий x0 и включающийся в I (такой найдется, т.к. длина каждого отрезка n-го ранга равна 1=3n). Возьмем интервал длины 1=3n+1 с центром в середине этого отрезка. Этот интервал не содержит точек из D и вместе с тем содержится в I. 507. Множество D замкнуто (как дополнение к открытому), и никакие два его смежные интервалы, по построению, не имеют общих концов. Значит в D нет изолированных точек. 508. Смежный интервал 1-го ранга состоит из всех чисел, в троичном разложении которых первый знак обязательно равен единице (например 1=3 мы не включаем в интервал 1-го ранга, т.к. 1=3 = 0; 100::: может быть и такой – 0; 0222:::). Каждый смежный интервал второго ранга состоит из всех чисел, в троичном разложении которых (при фиксированном первом знаке, отличном от 1) второй знак обязательно равен 1. Вообще каждый смежный интервал k-го ранга состоит из всех чисел, в троичном разложении которых (при фиксированных первых k 1 знаках, отличных от 1) на k-ом месте обязательно стоит 1. Отсюда вытекает, что множество, оставшееся после исключения из [0; 1] всех смежных интервалов, состоит из тех и только тех чисел отрезка [0; 1], которые могут быть записаны в виде тро-

ичной дроби, не содержащей единицы в числе своих троичных знаков. 509. 1=9 (троичное разложение 0,00222...). 510. 1/12 (троичное разложение 0,0020202020...). 511. 0. 512. 1. 513. 0. 514. Это множество можно построить следующим образом. Делим отрезок [0,1] на десять равных частей и выбрасываем интервал (0,4;0,5). Затем каждый из оставшихся отрезков [0;0,1],...,[0,3;0,4],[0,5;0,6],...,[0,9;1] делим на десять равных частей и выкидываем из них интервалы (0; 14; 0; 15); :::; (0; 34; 0; 35); (0; 54; 0; 55); :::; (0; 94; 0; 95)

и т.д. После всех этих выкидываний останутся числа, которые допускают разложение в десятичную дробь без использования цифры 4. Мера выкинутого множества равна 101 + 1009 + 100081 +: : : = 1. Значит мера оставшегося множества равна 0. 515. 1. 516. Обозначим через Ak множество всех чисел отрезка [0,1], в бесконечном десятичном разложении которых фигурирует цифра k. Интересующее нас множество есть пересечение всех Ak (k = 1; 2; :::; 9). Чтобы найти

его меру, найдем сначала меру его дополнения относительно отрезка

9 9

нашего множества равна 1. 518. Подмножество квадрата, состоящее из точек (x; y), для которых cos(x + y) рационален, имеет меру 0, т.к. состоит из счетного числа отрезков прямых вида x+y = const. Ответ: 6 . 519. Дополнение к рассматриваемому множеству представить в виде объединения четырех подмножеств меры 0. Ответ: 1.

520. 14. Да, т.к. она ограничена и множество ее точек разрыва (множество D) имеет меру нуль. 521. 10835 . 522. 13. Нет, т.к. эта функция

разрывна на множестве положительной меры, ее точками разрыва являются все точки отрезка [0; 1], кроме точки x = 1; 287. 523. 0.

524. =56. 525. 1/4. 526. e e 1. 527. 1. 528. e. 529. 1. 530. =4. 531.

1

2= . 532. 1/2. 533. 1. 550. а) xy = 4 P ( 1)m+n sin mx sin ny ; б)

mn

sin x ln 2 cos x2 . 555. cos x ln 2 cos x2 14 cos x 12 (воспользовать-

решимо только если = 0 x(t) = Ct. 565. При 6= 32 разрешимо при любых ; ; x(t) = t2 + 3 3 2 t + ; при = 32 разрешимо тогда и только тогда, когда = 0 x(t) = t2 + + Ct. 566.

n)2; 'n = sin(2 + n)t. 572. n = 4n2 1; 'n = sin 2nt. 573. 0 = 1; '0 = et; n = 2n2; 'n = sin nt +

n cos nt. 574. n = 12(1 + kn2 ); 'n = kn cos knt + sin knt, где kn – положительные корни уравнения 2 ctg k = k k1 . 575.

1; 5t2 0; 6t + 0; 05.