3.3. Норма оператора |
59 |
где K(s; t) непрерывна при 0 s; t 1, иметь ограниченный
обратный?
404. Рассмотреть оператор A : C[0; 1] ! C[0; 1],
Z t
Ax(t) = x( ) d :
0
а) Доказать, что уравнение x Ax = y имеет решения при
любом y 2 C[0; 1].
б) Найти оператор (I A) 1.
3.3Норма оператора
Найти норму оператора A:
|
0 |
|
|
1 |
405. A: R2 ! R2 , A = |
B1 |
|
1C. |
|
|
B |
|
|
C |
|
B |
|
|
C |
|
@1 |
|
1A |
|
|
0 |
|
|
1 |
406. A: R2 ! R2 , A = |
B1 |
|
2C. |
|
|
B |
|
|
C |
|
B |
|
|
C |
|
@2 |
|
1A |
|
|
0 |
|
|
1 |
407. A: R2 ! R2 , A = |
B 4 |
|
8C. |
|
|
B |
4 |
1C |
|
|
B |
|
|
C |
|
@ |
|
|
A |
|
0 |
|
|
1 |
408. A: R2 ! R2 , A = |
B 9 |
|
6C. |
|
|
B |
2 |
6C |
|
|
B |
|
|
C |
|
@ |
|
|
A |
60 |
Глава 3. Линейные операторы в пространствах Банаха |
|
0 |
1 |
409. A: R2 ! R2 , A = |
B 13 |
27C. |
|
B |
C |
|
B |
C |
@A
33
|
0 |
1 |
410. A: R2 ! R2 , A = |
B10 |
10C. |
|
B |
C |
|
B |
C |
@ A
52
|
|
0 |
|
1 |
||
411. A: R2 ! R2 , A = |
B1 |
2C. |
||||
|
|
B |
|
C |
||
|
|
B |
|
C |
||
|
|
@3 |
4A |
|||
|
|
0 |
|
1 |
||
412. A: R2 ! R2 , A = |
Ba bC. |
|||||
|
|
Bc |
dC |
|||
|
|
B |
|
C |
||
|
|
@ |
|
A |
||
|
0 |
|
|
1 |
||
413. A: `p2 ! `p2 , A = |
B |
1 |
0 |
|
||
|
|
C. |
||||
|
B0 |
2C |
||||
|
B |
|
|
C |
||
|
@ |
|
|
A |
||
|
0 |
|
|
|
1 |
|
414. A: `12 ! `12 , A = |
B |
a |
b |
C. |
||
|
|
|
||||
|
Bc |
dC |
||||
|
B |
|
|
|
C |
|
|
@ |
|
|
|
A |
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
415. A: R2 ! `12 , A = |
|
B |
1 |
0 |
||
|
|
|
C. |
|||
|
|
B |
|
|
C |
|
|
|
B |
|
|
C |
|
|
|
@ |
|
|
A |
|
01
416.A: R ! R , A x = x sin x.
t
R
417. A: C[0; 1] ! C[0; 1] , A x(t) = x( ) d .
0
418. A: C[ 1; 1] ! C[0; 1] , A x(t) = x(t).
3.3. Норма оператора |
61 |
419.A: C[0; 1] ! C[0; 1] , A x(t) = t2 x(0).
420.A: C[0; 1] ! C[0; 1] , A x(t) = x(t2).
421.A: C1[a; b] ! C[a; b] , A x(t) = dxdt .
1
R
422. A: L2[0; 1] ! L2[0; 1] , A x(t) = t x( ) d .
0
423.A: H1[0; 1] ! L2[0; 1] , A x(t) = x(t).
424.A: `2 ! `2 , A x = ( 2x1 ; 0 ; 0 ; 0 ; : : : ).
425.A: `1 ! `1 , A x = ( x1 x2 ; x2 ; x3 ; x4 ; : : : ).
426.A: `2 ! R2 , A x = ( x1 x2 ; x1 + x2 ).
427.A: `2 ! C[0; 2] , A x = x1 t2.
428.A: `2 ! C[0; 2 ] , A x = x1 sin t + x3 cos t.
429.A: `2 ! Ck[ ; ] , A x = x1 sin t x2 cos t.
430.A: `1 ! C[0; 1] , A x = x3 t3.
431.A: `2 ! C[0; 1] , A x = x2 t2.
432.A: C[a; b] ! `1 , A x = ( x(0) ; x(0)2 ; x(0)4 ; : : : ).
433.A: R3 ! R2 , A( x1 ; x2 ; x3 ) = ( x1 ; x2 ).
p
434. A: C[a; b] ! L2[a; b] , A x(t) = jx(t)j.
Выяснить, является ли данный оператор непрерывным в нуле
435. A : C[0; 1] ! C[0; 1]; Ax(t) = dxdt , с областью определения L – линейным многообразием непрерывно дифференцируемых на [0; 1] функций.
436.A : C1[0; 1] ! C[0; 1]; Ax(t) = dxdt .
437.A : `1 ! `2; Ax = (x1; x22 ; : : : ; 2xnn1 ; : : :), где
x = (x1; x2; : : :) 2 `1.
438. A : `2 ! `1; Ax = x.
62 |
Глава 3. Линейные операторы в пространствах Банаха |
439. A : m ! `1; Ax = x, где A определен на таких элементах из M, которые принадлежат `1.
Привести пример оператора A, обладающего заданными свойствами
440.A : C[0; 1] ! `1; A – нелинейный, ограниченный, непрерывный в нуле.
441.A : `1 ! C[0; 1]; A – нелинейный, ограниченный, непрерывный в нуле.
442.A : Le1[0; 1] ! `2; A – нелинейный, ограниченный, разрывный в нуле.
443.A : `2 ! Le1[0; 1]; A – нелинейный, ограниченный, разрывный в нуле.
444.A : `1 ! C1[0; 1]; A – нелинейный, неограниченный, непрерывный в нуле.
445.A : C1[0; 1] ! `1; A – нелинейный, неограниченный, непрерывный в нуле.
446.A : R2 ! R; A – нелинейный, неограниченный, разрывный в
нуле.
447.A : R1 ! R2; A – нелинейный, неограниченный, разрывный в нуле.
448.A : C[0; 1] ! M; A – линейный, неограниченный, разрывный в нуле.
449.A : M ! C[0; 1]; A – линейный, неограниченный, разрывный в нуле.