20 |
Глава 1. Метрические пространства |
состоящее из точек x = (x1; x2; : : :) таких, что
1
X
xk = 0?
k=1
93.Является ли замкнутым множество M из предыдущей задачи в пространстве M?
94.Является ли открытым в пространстве C[ 1; 1] множество, состоящее из непрерывных функций x(t) таких, что
Z 1
x(t)dt = 0?
1
1.4Полнота
95. Является ли фундаментальной последовательность функций
xn(t) = tn
в пространствах
a) C 12 ; 12 ; б) C[0; 1]?
96. Является ли фундаментальной последовательность функций
xn(t) = sin(2nt)
в пространстве C[0; 2 ]?
97. Является ли фундаментальной последовательность функций
sin nt n
в пространстве C1[0; 1]?
1.4. Полнота |
21 |
98. Является ли фундаментальной последовательность функций
8
jtj
<
>1 n ; если jtj < n;
xn(t) =
>0; если jtj n
:
в пространстве ограниченных на числовой прямой функций с
метрикой (x; y) = sup jx(t) y(t)j?
1<t<+1
99.Привести пример фундаментальной последовательности не имеющей предела.
100.Является ли полным метрическим пространством множество
натуральных чисел с метрикой
8
>1 +
<
(m; n) =
>
:0;
1 |
; если m 6= n; |
m + n |
|
|
если m = n? |
101. Является ли полным метрическим пространством множество
натуральных чисел с метрикой
jm nj
(m; n) = ? mn
102.Является ли полным подпространство целых чисел пространствa R?
103.Доказать, что метрическое пространство, состоящее из конечного числа точек, полное.
104.Найти пополнения следующих метрических пространств:
a)интервал (a; b) числовой прямой с обычной метрикой;
б) открытый круг плоскости R2;
в) множество Q рациональных чисел с обычной метрикой.
22 |
Глава 1. Метрические пространства |
105. Является ли полным метрическое пространство (X; ), где
X – произвольное множество, а
8
>1; если x 6= y;
<
(x; y) =
>
:0; если x = y?
Является ли полным метрическим пространством числовая прямая с метрикой
106.(x; y) = jx5 y5j;
107.(x; y) = jarctgx arctgyj;
108.(x; y) = jex eyj.
109.Описать пополнение пространств из задач
a) 107, б) 108.
Для задачи 107 сделать это двумя разными способами.
110.Рассмотреть последовательность B1+21n (n) замкнутых шаров из пространства задачи 96. Доказать, что эти шары вложены друг
в друга, однако не существует точки, принадлежащей всем шарам одновременно. Какое условие теоремы о вложенных шарах нарушено?
111.Доказать неполноту пространства многочленов относительно расстояний:
a) |
P; Q |
|
max |
P (x) |
|
Q(x) ; |
||||
( |
) = x2[0;1]j |
|
|
|
|
j |
||||
б) |
(P; Q) = |
1 |
c |
|
|
|
P (xj) Q(x) = c xi |
|||
R0 j |
|
|
||||||||
|
(P; Q) = P (x) |
|
Q(x) dx; |
|||||||
в) |
|
|
Pi |
j ij, если |
|
|
P i . |
|||
1.5. Принцип сжимающих отображений |
23 |
112. Во множестве отрезков на прямой определим расстояние следующей формулой
([a; b]; [c; d]) = ja cj + jb dj:
Полное ли это пространство?
113.Описать пополнение пространства из задачи 112.
114.Доказать полноту пространства C[a; b]:
1.5Принцип сжимающих отображений
115. Показать, что отображение f : R ! R; f(x) = x3 является
p
сжимающим на множестве [ r; r], где r < 1= 3, но не является сжимающим вблизи неподвижных точек x = 1 и x = 1.
116. Показать, что отображение f(x) = 5x2 + 2x + 3 sin x
числовой прямой в себя не имеет неподвижных точек.
117. Показать, что функция f(x) = x2 отображает промежуток
[0; 1=3] в себя. Является ли это отображение сжимающим?
118. Является ли сжимающим отображение f(x) = x + x1
полупрямой [1; +1) в себя?
119. Является ли отображение f : (x; y) ! (u; v); где
8
>
>
<
> u = 0; 2x + 0; 4y + 7;
>
>
> v = 0; 3x 0; 6y 15;
:
плоскости в себя сжимающим, если плоскость рассматривать как метрическое пространство
24 Глава 1. Метрические пространства
а) R22; б) R21; в) R21?
120. Доказать, что следующее отображение
t
Z
Ax(t) = q x( )d
0
пространства C[0; 1] в себя является сжимающим при 0 < q < 1.
121. Является ли отображение f(x) = 2 + x arctgx числовой прямой в себя сжимающим? Имеет ли оно неподвижные точки?
Доказать, что следующие последовательности, заданные рекуррентными соотношениями, имеют пределы, и найти их
122. xn = |
2 |
xn 1 |
|
; x0 |
= 1. |
|||
|
|
|
+ xn 1 |
|
|
|
||
123. |
x |
n = 3 |
xn 1 |
1 |
; x |
0 |
= 5. |
|
|
xn |
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
124. xn = |
5 |
+ xn 1 |
; x0 |
= 5 |
||||
|
||||||||
|
|
|
|
2xn 1 |
|
|
|
|
Доказать, что следующие последовательности сходятся, и найти их пределы
125. 2; |
|
|
2 + |
1; 2 + |
1 |
|
; : : : |
|
|
|
|
||||
2+ |
1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
126. p |
|
|
|
2 + p |
|
|
q |
|
|
|
|
|
; : : : |
||
|
; |
|
|
; |
2 |
|
|
+ p |
|
||||||
2 |
|
2 |
+ 2 |
2 |
|||||||||||
127. p3; |
p |
3 + p3 |
; |
q |
3 |
+ p |
3 |
+ p3 |
; : : : |
||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
Решить приближенно уравнение с точностью до 0,01
128.x7 + 4x5 + 2x 1 = 0.
129.x5 + 2x3 + x 2 = 0.
130.x13 x5 + x 1 = 0.
1.5. Принцип сжимающих отображений |
25 |
131.x5 + x3 + x 1 = 0.
132.x13 + x7 + x 1 = 0.
133.x5 + x4 + 2x3 + x 1 = 0.
134.x5 + x3 + 3x 1 = 0.
135.x7 + 3x 1 = 0.
136.2x5 + x4 + x3 + x2 + 3x 1 = 0.
137.x5 x4 + 3x 1 = 0.
138.x7 + x3 + 2x2 + x 1 = 0.
139.3x5 + 3x4 + x3 + 3x 6 = 0.
140.6x5 x3 + 6x 6 = 0.
141.x7 + 14x 14 = 0.
142.2ex 1 = 0.
143.2xex = 1:
144.Доказать, что в пространстве Rn1 линейное отображение
A : Rn ! Rn с матрицей jjaijjj; (i; j = 1; 2; :::; n) будет сжимающим, если
n
X
max jaijj < 1:
1 i n
j=1
145. Доказать, что в пространстве Rn1 линейное отображение
A : Rn1 ! Rn1 с матрицей jjaijjj; (i; j = 1; 2; :::; n) будет сжимающим, если
n
X
max jaijj < 1:
1 j n
i=1
146. Рассмотрим в пространстве Rn систему линейных алгебраических уравнений Cx = b, где x; b 2 Rn; C =k cij k;
26 Глава 1. Метрические пространства
(i; j = 1; 2; :::n): Рассмотрим равносильную систему
x = ( C + I)x b, где 2 R; I единичная матрица. Положим A = C + I и составим итерации
xn = Axn 1 b; n 2 N; где x0 2 Rn произвольно. Предположим, что выполняется следующее условие:
nn
X |
X |
(n 1) |
Cij2 < ( Cii)2: |
i;j=1;i6=j |
i=1 |
Доказать, что существует 2 R, при котором итерационный процесс сходится к решению исходной системы.
147. Показать, что система
8
>
>10x 2y + z = 9;
>
>
>
<
x + 5y z = 8;
>
>
>
>
>4x + 2y + 8z = 32
:
имеет единственное решение, и найти его с точностью до 0,01 методом последовательных приближений, выбрав за начальное приближение точку (0; 0; 0).
148. Рассмотрим оператор A : C[0; 1] ! C[0; 1]
t
Z
Ax(t) = x( )d + 1
0
a) Доказать, что при j j < 1 этот оператор является сжимающим в пространстве C[0; 1].
б) Найти неподвижную точку этого оператора при = 0; 5. в) Составить итерации, выбрав в качестве начального
1.5. Принцип сжимающих отображений |
27 |
приближения x0 = 0, и убедиться, что они являются частичными суммами ряда Тейлора для неподвижной точки.
г) Найти оценку погрешности, допускаемой на n-ом шаге итерационного процесса, исходя из оценки остаточного члена в формуле Тейлора и из оценки в теореме о сжимающем отображении.
149. При движении планеты вокруг Солнца по эллиптической орбите ее положение в момент времени t, отсчитываемый от момента прохождения перигелия, определяется уравнением Кеплера E e sin E = 2 Tt ; где E – определяющая положение планеты эксцентрическая аномалия, e – эксцентриситет орбиты (0 < e < 1), T – период обращения по орбите.
a) Доказать, что уравнение Кеплера имеет для любого t
единственное решение, которое определяет функцию
E(t) 2 C[0; ].
б) Принимая e = 0; 5; t 2 [0; ], определить число итераций, необходимых для нахождения E(t) с погрешностью, не превышающей 0,01, если в качестве начального приближения взять
E0 0.
150. Рассмотрим уравнение x(t) = t + "x(tk), где
0 < " < 1; k > 1:
a) Доказать, что уравнение имеет единственное решение x(t) 2 C[0; 1]:
б) Полагая x0 = 0; " = 0; 5; определить число итераций,
28 Глава 1. Метрические пространства
необходимых для нахождения x(t) на [0; 1] с погрешностью, не превышающей 0,01.
151. Привести пример оператора A : X ! X,переводящего банахово пространство X в себя, удовлетворяющего при
x; y 2 X; (x 6= y) условию (Ax; Ay) < (x; y) и не имеющего в X неподвижной точки.
152. В пространстве `2 рассмотрим оператор F (x), определенный на шаре B1(0) и переводящий элемент x = (x1; x2; :::) 2 `2 в
p
F (x) = ( 1 2(x; 0); x1; x2; :::). Доказать, что F (x): a) переводит шар B1(0) в себя;
б) непрерывен на шаре B1(0);
в) не имеет неподвижных точек на шаре B1(0)
153.Доказать, что оператор F : R ! R; F (x) = tg x является сжимающим в шаре Br(x ), где x любая из его неподвижных точек, а r – достаточно мало (r зависит от x ).
154.Найти неподвижные точки оператора F : C[0; 1] ! C[0; 1];
1
Z
F : x(t) ! x(t)x(s)ds + f(t);
0
1
R
где f(t) 2 C[0; 1] и f(t)dt 0; 25.
0
Глава 2
Нормированные пространства и
функционалы
Этот раздел посвящен анализу в линейных пространствах. Нашей целью будет показать, какие преимущества имеют метрические пространства с линейной структурой перед произвольными метрическими пространствами. Снова мы постарались составить задания так, чтобы для их решения нужно было знать только понятийный аппарат нашего курса и не привлекать, насколько это возможно материал каких-то других дисциплин, кроме курсов "Математический анализ" и "Линейная алгебра".
Как известно, понятие "норма" является обобщением понятия "длина вектора". Поэтому мы сосредоточились на том, чтобы показать, что в нормированных пространствах начинает работать наша "геометрическая" интуиция окружающего нас пространства. Эта интуиция дает наибольший эффект в пространствах со скалярным произведением, которое позволяют определить "угол" между век-
29
30 |
Глава 2. Нормированные пространства и функционалы |
торами. Другой аспект, который нам хотелось бы отметить – это разница в свойствах линейных "конечномерных" и "бесконечномерных" пространств.
Достаточно новым понятием этого раздела является "сопряженное пространство" (хотя с понятием функционал студенты уже знакомы из курса "Линейная алгебра"). Задачи, связанные с теоремой Хана-Банаха, требуют особого внимания, тем более, что теорема очень часто применяется именно в "бесконечномерных" пространствах.
Совсем новым является понятие "распределение" или "обобщенная функция", существенно использующееся в теории дифференциальных уравнений в частных производных.