2.4. Функционалы (норма функционала) |
39 |
2.4Функционалы (норма функционала)
В задачах 234-239 выяснить является ли указанное отображение
непрерывным.
234. |
f |
: |
C a; b |
! R; |
f |
: |
x t |
) |
max x(t) |
. |
|||||
|
[ |
|
] |
|
( |
! t |
[a;b] |
|
|||||||
235. |
|
|
|
|
|
! R; |
|
|
|
|
2 |
|
|
. |
|
f |
: |
C a; b |
f |
: |
x t |
) |
min x(t) |
||||||||
|
[ |
|
] |
|
( |
! t |
[a;b] |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! R |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
f : C[a; b] |
; f : x(t) |
x(t)dt |
|
|
||||||||||
236. f : C[a; b] |
|
|
|
|
|
! Ra |
|
. |
|
||||||
237. |
|
|
|
|
|
! R, где |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
80; если x(t) принимает хотя бы одно отриц. значение; |
||||||||||||
f(x) = |
>1 |
; |
если x(t) |
|
0; |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
>2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>
>
>
>
>1; если x(t) 0; но x(t) 6= 0:
:
238.f : L ! R, где L – подпространство C[0; 2 ]; состоящее из непрерывно дифференцируемых функций f : x(t) ! x0(t):
239.f : M ! R, где
M = fx(t) 2 C[0; 1] : x(0) = 0; x(1) = 1; jjxjj 1g;
1
Z
f(x(t)) = x2(t)dt:
0
240. В пространстве C[0; 1] рассмотрим множества
An = fx(t) 2 C[0; 1] : jjxjj 1; x(0) = 0; x(t) = 1 при
n1 t 1g: Доказать что An не пусты, замкнуты, выпуклы, ограничены, вложены друг в друга, но не пересекаются.
Найти норму функционала:
40 |
Глава 2. Нормированные пространства и функционалы |
241.< x; f >= x( 1) + x(1) ; x 2 C[ 1; 1].
242.< x; f >= 2(x(1) x(0)) ; x 2 C[ 1; 1].
1
R
243. < x; f >= x(t) dt ; x 2 C[ 1; 1].
0
1
R
244. < x; f >= x(t) dt x(0) ; x 2 C[ 1; 1].
1
01
RR
245. < x; f >= x(t) dt x(t) dt ; x 2 C[ 1; 1].
1 0 1
R
246. < x; f >= tx(t) dt ; x 2 C[ 1; 1].
1
1
247. < x; f >= R tx(t) dt ; x 2 C1[ 1; 1].
248.< x; f >=
249.< x; f >=
250.< x; f >=
251.< x; f >=
252.< x; f >=
253.< x; f >=
0
1
R
tx(t) dt ; x 2 Lf1[ 1; 1].
1 1
R
tx(t) dt ; x 2 Lf2[ 1; 1].
1
1
R t 1=3x(t) dt ; x 2 Lf2[0; 1].
0
x1 + x2 ; x = ( x1 ; x2 ; : : : ) 2 `2.
1
P xkk ; x = ( x1 ; x2 ; : : : ) 2 `2.
k=1
1
P xkk ; x = ( x1 ; x2 ; : : : ) 2 `1.
k=1
1
254. < x; f >= P (1 k1 )xk ; x = ( x1 ; x2 ; : : : ) 2 `1.
k=1
255. < x; f >= x1 + x2 ; x = ( x1 ; x2 ; : : : ) 2 M.
1
256. < x; f >= P (2 k+1xk) ; x = ( x1 ; x2 ; : : : ) 2 M0.
k=1
257. < x; f >= lim xn ; x = ( x1 ; x2 ; : : : ) 2 M.
258. < x; f >= (x(t) sin t + x0(t) cos t) dt ; x 2 Hg1[ 1; 1].
259.< x; f >= 3x1 4x2 ; x = ( x1 ; x2 ) 2 R22.
260.< x; f >= 3x1 4x2 ; x = ( x1 ; x2 ) 2 R21.
2.5. Компактные множества |
41 |
2.5Компактные множества
261. В пространстве R2 привести пример множества M
обладающего следующими свойствами: а) M – компактно;
б) M – предкомпактно;
в) M – предкомпактно, но не компактно; г) M – ограничено, но не компактно;
д) M – замкнуто, но не компактно.
262.Доказать, что множество xn(t) = sin nt (n 2 N) ограничено и замкнуто в пространстве L2[ ; ], но не предкомпактно.
263.Привести пример замкнутого ограниченного множества в `2, но не являющегося компактом.
264.Доказать, что в R любое замкнутое ограниченное множество компактно.
265.Рассмотреть в C[0; 1] множество M, состоящее из функций
x(t) = kt + b, где 0 k; b 1. Пусть " > 0 – произвольно.
Построить для M конечную "-сеть.
266.Доказать, что любое предкомпактное множество в `2 нигде не плотно в `2.
267.Доказать, что объединение конечного числа предкомпактов есть предкомпакт.
268.Доказать, что объединение конечного числа компактов есть компакт.
269.Доказать, что пересечение любой совокупности
42 |
Глава 2. Нормированные пространства и функционалы |
предкомпактов есть предкомпакт.
270.Доказать, что пересечение любой совокупности компактов есть компакт.
271.Доказать, что множество M всех непрерывных на [0; 1]
функций таких, что jx(t)j 1 ограничено и замкнуто в C[0; 1],
однако не предкомпактно.
272.Построить пример ограниченного открытого множества на прямой, покрытого интервалами так, что из этого покрытия нельзя выделить конечного покрытия.
273.Является ли компактным в пространстве `2 множество
1 |
1)? |
(x 2 `2; x = (x1; x2; : : :) : n2xn2 |
|
X |
|
n=1 |
|
274. Пусть M – компактное множество в банаховом пространстве
X. Доказать, что для любого x 2 X найдется такое y 2 M, что
(x; M) = k x y k :
275.Доказать, что замыкание предкомпактного множества компактно.
276.Доказать, что всякое подмножество компактного множества предкомпактно.
277.Доказать, что в конечномерном линейном нормированном пространстве всякое ограниченное множество предкомпактно.
278.Пусть M – равномерно ограниченное множество функций в
пространстве C[a; b]. Доказать, что множество N функций вида
Z 1
y(t) = x( ) d ;
0
2.5. Компактные множества |
43 |
где x(t) 2 M, предкомпактно.
279. Привести пример множества непрерывно дифференцируемых на [0,1] функций, предкомпактного в пространстве C[0; 1], но не предкомпактного в пространстве C1[0; 1].
В заданиях 280-286 выяснить предкомпактно ли заданное множество функций в пространстве C[0; 1]:
280. xn(t) = tn; n 2 N.
281. xn(t) = sin nt; n 2 N.
282. xn(t) = sin(t + n); n 2 N.
283. x (t) = sin t; |
2 R. |
284. x (t) = sin t; |
2 [1; 2]. |
285.x (t) = arctg t; 2 R.
286.x (t) = et ; 2 R; 0.
287.Доказать, что множество M элементов x = (x1; x2; : : :) из пространства c или c0 предкомпактно тогда и только тогда, когда
оно ограничено и lim xn существует равномерно относительно
n!1
x 2 M, т.е. для любого " > 0 найдется такое N = N("), что при всех n > N для любого x = (x1; x2; : : :) 2 M выполняется неравенство
jxn lim xnj < ":
n!1
288. Доказать, что множество M элементов
x = (x1; x2; : : :) 2 `p (p 1) предкомпактно тогда и только
44 |
Глава 2. Нормированные пространства и функционалы |
тогда, когда оно ограничено и
n
X
lim jxkjp
n!1
k=1
существует равномерно относительно x 2 M, т.е. для любого
" > 0 найдется такое N = N("), что при всех n > N для любого x = (x1; x2; : : :) 2 M выполняется неравенство
1
X
jxkjp < ":
k=n
289. Доказать, что параллелепипед
fx 2 `2; x = (x1; x2; : : :) : jxnj 1=ng
является компактным множеством в пространстве `2.
290. Показать, что отображение f из задачи 239 не принимает на
M наименьшего значения. Не противоречит ли это теореме Вейерштрасса?
2.6Теорема Хана-Банаха
В следующих задачах требуется найти продолжение функционала f с подпространства L Rn на все пространство Rn с сохранением нормы
291.L = f(x; y) 2 R2 : x = yg; fL = 2x.
292.L = f(x; y) 2 R2 : 2x = yg; fL = x.
293.L = f(x; y) 2 R2 : x = yg; fL = x.