148

фиксированная непрерывно дифференцируемая функция на [a; b];

а Ax(t) = dxdt . Покажем, что это непрерывный линейный оператор на C[a; b]. Линейность следует из линейности дифференциала, а ограниченность вытекает из неравенства:

Пример 3.1.5. Пусть X = C[a; b], Y = C[a; b], D(A) =

C1[a; b] 6= X, x(t) – фиксированная непрерывно дифференцируе-

мая функция на [a; b]; а Ax(t) = dxdt . Покажем, что это не непрерывный линейный оператор на C[a; b]. Линейность следует из ли-

нейности дифференциала. Последовательность xn = sinnnt стремится к нулю в C[a; b] = X, поскольку kxnkX 1=n. Очевидно,

Axn = cos nt не стремится к нулю в C[a; b].

Таким образом, "хорошее" поведение оператора означает согласованность всей "тройки" (X; Y; A).

3.1.2Норма оператора

Определение 3.1.5. Пусть A – ограниченный оператор на X. Число

называется нормой оператора A.

Предложение 3.1.4. Норма линейного оператора A обладает следующими свойствами:

1) kAk = sup kAxkY ;

kxkX=1

149

2) kAk = sup kAxkY ;

kxk6=0 kxkX

3) kAxkY kAkkxkX для всех x 2 X:

Доказательство. Свойство 1) справедливо, поскольку для всякого x0, удовлетворяющего kx0kX < 1, существует x1, удовлетворяющий kx1kX = 1 такой, что kAx0kY kAx1kY . Предположим противное, т.е. существует элемент x0, удовлетворяющий kx0kX <

1, такой, что для всякого x, удовлетворяющего kxkX = 1, мы имеем: kAx0kY > kAxkY . Тогда элемент x1 = x0=kx0kX удовлетворяет kx1kX = 1, и

принадлежит единичному шару, а значит, по определению нормы

Пример 3.1.6. Пусть A – линейный оператор, отображающий линейное пространство Rn с базисом fekgnk=1 в пространство Rm

150

Рассмотрим ситуацию, когда A : Rn1 ! Rm1. Тогда

x0 = (sign(ak01); : : : ; sign(ak0n)):

Тогда kx0k1 = 1 и