163

3.4Лекция 21

3.4.1Замкнутые операторы

Введем еще один важный класс операторов. С этой целью определим прямую сумму Z = X + Y двух нормированных пространств X; Y

как совокупность пар z = (x; y), x 2 X, y 2 Y со следующими операциями сложения и умножения на скаляр:

z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2); z1 = (x1; y1); z2 = (x2; y2); z = ( x; y)

и нормой

kzkZ = kxkX + kykY :

Линейность пространства Z очевидна (доказывается так же, как и линейность пространства R2, аксиомы нормы k:kZ следуют из неравенства треугольника в R и аксиом норм k:kX, k:kY . Таким образом, Z – нормированное пространство.

Определение 3.4.1. Графиком оператора A : X ! Y

будем называть множество пар вида (x; Ax) 2 X + Y. Линейный оператор A называется замкнутым, если его график замкнут.

Лемма 3.4.1. Если A 2 L(X; Y), то он замкнут.

Доказательство. В самом деле, пусть (x; y) – предельная точка графика оператора в X + Y. Тогда существует такая по-

следовательность точек fxngn2N X, что x = limn!1 xn, y = limn!1 Axn.

Так как A 2 L(X; Y), то limn!1 Axn = y. Наконец, единственность предела позволяет нам заключить, что Ax = y, т.е.

(x; y) 2 .

164

Пример 3.4.1. Пусть X = Y = C[a; b], A = dtd . По теореме Вейерштрасса, многочлены плотны в пространстве C[a; b], поэто-

му область определения D(A) = C1[a; b] 6= C[a; b] плотна в X. Мы уже видели, что данный оператор не является ограниченным. Докажем, что он замкнут. В самом деле, если fxngn2N C1[a; b]

такова, что fxngn2N сходится к некоторой функции x 2 C[a; b], а fx0ngn2N сходится к некоторой функции y 2 C[a; b], то по известной теореме из курса математического анализа, x 2 C1[a; b] и x0 = y, т.е. (x; y) 2 .

3.4.2Теорема о замкнутом графике

Теорема 3.4.1. Пусть X и Y – пространства Банаха, а

A : X ! Y – замкнутый линейный всюду определенный оператор. Тогда A ограничен.

Доказательство. Нам потребуется две леммы.

Лемма 3.4.2. Пусть X1 – всюду плотное множество в банаховом пространстве X, Тогда любой ненулевой элемент x 2 X

можно разложить в ряд x = P1 xj, где fxjg X1 и kxjk

j=1

3kxk=2j.

Доказательство. Элементы xj будем строить последовательно: сначала выберем x1 2 X1 так, чтобы

Это возможно, поскольку X1 всюду плотно в X, а неравенство (3.4.1) определяет шар B(x; kxk=2), внутри которого должен найтись элемент из X1. Выберем элемент x2 2 X1 так, чтобы kx x1 x2k

165

kxk=4, и вообще, xn 2 X1 выберем так, чтобы

Это возможно, поскольку X1 всюду плотно в X, а неравенство (3.4.2)

определяет шар B((x Pn 1 xj); kxk=2n), внутри которого дол-

j=1

жен найтись элемент xn из X1.

В силу (3.4.2) ряд P1j=1 xj сходится к x. Оценим нормы элементов xj :

kx1k kx1 xk + kxk 3kxk=2;

kx2k kx2 + x1 x + x x1k kx x2 x1k + kx x1k 3kxk=4;

Лемма 3.4.3. В условиях теоремы Банаха, пусть существуют

множество X1, плотное в X и постоянная c > 0 такие, что

kAxkY ckxkX для всех x 2 X1:

Тогда A ограничен.

Доказательство. Пусть x 2 X. Разложим его в ряд, постро-

енный в лемме 3.4.2:

1

X

x = xj;

j=1

167

Перенося слой P так, чтобы его центр попал в нуль, получим шаровой слой

P0 = fx 2 X : a < kxkX < bg:

Покажем, что в P0 плотно некоторое множество MN . Пусть z 2 P \ Mn. Тогда z x0 2 P0 и

kA(z x0)kY kAzkY + kAx0kY n(kzkX + kx0kX)

Величина n(1 + 2kx0kX=a) не зависит z. Положим

N = 1 + n (1 + 2kx0kX=a) :

Тогда в силу (3.4.3) мы имеем z x0 2 MN , а из того, что Mn

плотно в P , следует, что MN плотно в P0.

Рассмотрим произвольный ненулевой элемент x 2 X. Всегда можно подобрать так, чтобы было a < k xk < b, т.е. x 2 P0. Так как MN плотно в P0, то можно построить последовательность xk 2 MN , сходящуюся к x. Очевидно, что если xk 2 MN , то и xk 2 MN при любом 2 Rnf0g. Таким образом, MN плотно в X n f0g, а потому и в X.

Теперь утверждение теоремы немедленно вытекает из лем-

мы 3.4.2, примененной для X1 = MN . В важности класса замкнутых операторов мы убедимся в следу-

ющем параграфе. Именно, мы увидим, что, в отличие от непрерывных операторов они образуют не только кольцо, но и алгебру.