245

4.10Лекция 34

4.10.1Уравнения с вырожденными ядрами

В качестве одного из примеров рассмотрим уравнения с вырожденными ядрами, т.е. ядрами вида

n

X

K(s; t) = Pi(s)Qi(t);

i=1

где Pi, Qi – функции из L2[a; b]. Оператор c таким ядром переводит всякую функцию u 2 L2[a; b] в сумму

nZb

X

v(s) = Pi(s) Qi(t)u(t) dt;

i=1 a

т.е. в элемент конечномерного пространства, порожденного системой fPig. Следовательно, этот оператор компактен.

Систему функции P1; : : : ; Pn можно считать линейно независимой. Действительно, если это не так, то, представив каждую из

~

функций Pi как линейную комбинацию линейно независимых Pi

(1 i k < n), мы получим, что то же самое ядро K(s; t)

можно записать в виде

k

X

~ ~

K(s; t) = Pi(s)Qi(t):

i=1

Аналогичную редукцию можно провести и для функций Qi, т.е. систему функции Q1; : : : ; Qn также можно считать линейно независимой.

Итак, будем решать уравнение Фредгольма второго рода (4.9.1) с вырожденным ядром K(s; t), в котором системы fPig и fQig

линейно независимы. Подставив в уравнение (4.9.1) выражение для

246

ядра K(s; t), мы получим:

Введя обозначение qi = Rab Qi(t)x(t) dt, перепишем последнее уравнение в виде

Найдем теперь неизвестные постоянные qi. Для этого подставим последнее выражение в уравнение (4.9.1)и получим

Pi(s)qi = Pi(s) @ aijqj + biA :

i=1 i=1 j=1

Система fPig, по предположению, линейно независима, поэтому отсюда следует равенство коэффициентов:

Функция (4.10.5) с коэффициентами qi, удовлетворяющими этой системе линейных уравнений, является решением интегрального уравнения (4.9.1), поскольку все выкладки, с помощью которых мы

248

4.10.3Заключительные замечания

Уместно отметить, что за рамками данного курса остались значительная часть линейного и почти весь нелинейный анализ.

В линейном анализе мы практически не затронули теорию топологических (векторных) пространств, реализующую анализ в векторных пространствах без привлечения метрики, а только с использованием систем открытых (замкнутых) множеств для определения предела. В рамках этого подхода все еще можно определить сопряженные пространства и сопряженное отображение, играющие ключевую роль в теории операторных уравнений (см., например [1]). Кроме того, нами не изучена спектральная теория для произвольных (непрерывных) операторов в пространствах Гильберта, дающая мощный инструмент для изучения операторных уравнений. Основная причина – большой объем материала, связанный с теорией "интегрирования" операторно–значных функций в пространствах Банаха, и технические трудности построения спектральной функции.

Что касается нелинейного функционального анализа, то это прежде всего теория Лере-Шаудера о неподвижных точках, позволяющая получить (достаточные) условия существования неподвижных точек для, вообще говоря, нелинейных отображений в банаховых пространствах, не являющихся сжатиями. Уже изученный нами материал позволяет сформулировать, понять и даже доказать соответствующие утверждения. К сожалению, их доказательства очень сложны технически и занимают много времени, которое у нас уже вышло.

Наконец, совсем без внимания осталась теория "дифференцируемости" операторов, позволяющая доказывать аналоги теоремы "о неявном операторе (функции)" в произвольных (банаховых) пространствах, а значит, локально разрешать операторные уравнения в них. Основополагающим здесь является понятие "дифференциала" отображения.

252

линейный, 83 непрерывный, 85 непрерывный в точке, 85 ограниченный, 94 однородный, 83 положительно-однородный,

83 Функция, 194

интегрируемая по Лебегу, 194 обобщенная, 124 финитная, 122

Фурье коэффициенты, 66 ряд, 67

Число регулярное, 179

собственное, 179

Шар замкнутый, 17 открытый, 17

Эквивалентные нормы, 58

Ядро оператора, 142 Ядро функционала, 84