48

1.7Лекция 7

1.7.1Принцип сжимающих отображений

Покажем, как можно использовать изученную нами теорию для решения одного важного, хотя и узкого, класса уравнений.

Определение 1.7.1. Пусть X – метрическое пространство. Отображение A : X ! X называется сжимающим (или сжатием), если существует такое число 0 < 1, что для всех x; y 2 X

выполняется неравенство

(Ax; Ay) (x; y):

Очевидно, всякое сжимающее отображение является непрерывным.

Определение 1.7.2. Точка x 2 X называется неподвижной точкой отображения A : X ! X, если Ax = x.

Иными словами, неподвижные точки отображения A – это решения уравнения Ax x = 0.

Теорема 1.7.1. (Принцип сжимающих отображений) Всякое сжимающее отображение A : X ! X в полном метрическом пространстве X имеет одну и только одну неподвижную точку.

Доказательство. Пусть x0 – произвольная точка в X. Положим x1 = Ax0, x2 = Ax1 и т.д.: xn = Axn 1 = Anx0.

Покажем, что последовательность fxng фундаментальна в X. Действительно, для m n мы имеем

(xn; xm) = (Anx0; Amx0) n (x0; xm n)

49

n( (x0; x1) + (x1; x2) + + (xm n 1; xm n))

n (x0; x1)(1 + + + m n 1) n (x0; x1); 1

Так как 0 < 1, то при достаточно большом n эта величина сколь угодно мала. В силу полноты пространства X последовательность fxng имеет предел, который мы обозначим через x.

Из непрерывности отображения A следует, что

Итак, существование неподвижной точки доказано. Докажем ее единственность. Так как A – сжимающее отображение, то из Ax = x, Ay = y, следует, что (x; y) (x; y). Поскольку < 1, то

(x; y) = 0, т.е. x = y. Заметим, что последовательность fxng представляет собой последовательность приближенных решений уравнения Ax = x, а формула (1.7.1) дает эффективный способ оценки точности этих приближенных решений, поскольку, переходя в ней к пределу при

m ! 1, мы получаем

Следствие 1.7.1. Пусть A : X ! X – такое непрерывное отображение в полном метрическом пространстве X, что некоторая его степень B = An является сжатием. Тогда отображение A

имеет одну и только одну неподвижную точку.

50

Доказательство. В самом деле, согласно теореме 1.7.1 , отображение B имеет неподвижную точку x. Тогда для всякого k 2 N

имеем

Ax = ABkx = BkAx = Bkx0:

Следовательно, используя доказательство теоремы 1.7.1, получаем

Ax = lim Bkx0 = x:

k!1

Эта неподвижная точка единственна, поскольку всякая неподвижная точка отображения A суть неподвижная точка отображения

An = B, для которого неподвижная точка может быть только од-

на.

1.7.2Применение принципа сжимающих отображений к обыкновенным дифференциальным уравнениям

Пример 1.7.1. В курсе обыкновенных дифференциальных уравнений вы уже встречались с применением принципа сжимающих отображений для изучения задачи Коши. Коротко напомним об этом.

Пусть G R2 – некоторая область (открытое связное множество), а точка (x0; y0) принадлежит G. Пусть функция f(x; y)

определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по y в

области G:

jf(x; y1) f(x; y2)j Mjy1 y2j

с некоторой постоянной M > 0.

Докажем, что на некотором отрезке [x0 d; x0 + d] существует единственное решение y = (x) задачи Коши

51

Легко заметить, что эта задача Коши эквивалентна следующему интегральному уравнению:

В силу непрерывности функции f найдутся некоторая постоянная K > 0 и область G0 G такие, что (x0; y0) 2 G0 и jf(x; y)j K. Подберем d > 0 так, чтобы

1)(x; y) 2 G0, если (x; y) принадлежит прямоугольнику = fjx x0j d; jy y0j Kdg;

2)Md < 1.

Обозначим через X пространство непрерывных функций на отрезке [x0 d; x0 + d] и таких, что j (x) y0j Kd с метрикой = maxx j 1(x) (x)j. Пространство X полно, так как оно является (замкнутым) подпространством полного пространства

C([x0 d; x0 + d]). Отображение

действует из X в X и является в нем сжатием.

В самом деле, для 2 X и jx x0j d мы имеем

Так как Md < 1, то A – сжатие (т.е. уравнение (1.7.4) имеет единственное решение в пространстве X).