112

2.6.2Теорема об общем виде непрерывного линейного функционала на полном евклидовом пространстве

Теорема 2.6.2. Пусть L – (действительное или комплексное) полное евклидово пространство. Для всякого непрерывного линейного функционала f 2 L существует единственный элемент a 2 L такой, что

причем kfk = kak. Обратно, если a 2 L, то формула (2.6.3) определяет такой непрерывный функционал f(x), что kfk = kak.

Доказательство. Как мы уже отмечали в примере 2.5.1, если L – какое-нибудь евклидово пространство, a 2 L – фиксированный вектор, f(x) = (x; a), то в силу аксиом скалярного произведения и неравенства Коши-Буняковского f является линейным непрерывным функционалом. При этом j(x; a)j kxkkak для всех x 2 L, откуда следует, что kfk kak. Положив x = a, получим jf(a)j = kak2, т.е. fk(aak) = kak. Значит, в силу предложения 2.5.2 мы заключаем, что kfk = kak.

Покажем, что всякий непрерывный линейный функционал f

представим в виде (2.6.3). Если f 0, то, очевидно, a = 0. Пусть f 6 0. Обозначим через ker f ядро функционала f:

ker f = fx 2 Ljf(x) = 0g:

Легко понять, что это (замкнутое) подпространство в L. Действительно, ker f является линейным многообразием в L согласно предложению 2.4.1. Если последовательность fxng ker f сходится в L к некоторому элементу x, то в силу непрерывности функционала f(x) = limn!1 f(xn) = 0, т.е. x 2 ker f.

113

Поскольку пространство L полно, то согласно теореме 2.3.5

L = ker f (ker f)?, где (ker f)? – ортогональное дополнение подпространства ker f в L.

Лемма 2.6.2. Если f 6 0, то dim(ker f)? = 1.

Доказательство. Пусть y 2 L таков, что f(y) 6= 0. Тогда

ставлении вектора x постоянная и вектор x0 выбраны единственно возможным способом. Действительно, если x = x00 + 0y2, где f(x0) = 0, то x0 x00 = ( 0 )y2. Отсюда следует, что либо= 0, либо y2 2 ker f. Так как последнее противоречит выбору y2, то = 0 и x0 = x00.

Итак, для x 2 (ker f)? мы получаем, что x = y2, что и требовалось.

Далее, положим a = f(y2)y2; если пространство L действи-

тельное и a = f(y2)y2; если пространство L комплексное. Тогда для любого x 2 L

f(x) = f(x0 + y2) = f(y2);

(x; a) = (x0 + y2; f(y2)y2) = f(y2)ky2k2 = f(y2):

Таким образом, f(x) = (x; a) для всех x 2 L и, как мы уже доказали, kak = kfk.

Наконец, докажем единственность элемента a. Если f(x) = (x; a0) для всех x 2 L, то (x; a a0) = 0 для всех L, откуда, полагая x = a a0, получаем a = a0.

114

Теорема 2.6.3. Пусть L – полное евклидово пространство. Равенство (2.6.3) определяет изоморфизм ( (f) = a) между L и L , если L является действительным пространством, и сопряженно линейный изоморфизм, если L является комплексным пространством.

Доказательство. Взаимно однозначность отображения дока-

зана в теореме 2.6.2. Аддитивность отображения немедлен-

но следует из аддитивности скалярного произведения. Наконец,

( f) = a; если L является действительным пространством и

( f) = a, если L – комплексное пространство, что и требова-

лось доказать.

Замечание 2.6.4. Если L – неполное евклидово пространство,

~

то L изоморфно пополнению L пространства L.