Герасимович(математический анализ)
.pdfграфика у = f(x) с осью Ох являются корнями уравнения |
(6 .6 ). На |
рис. 6 . 2 2 хорошо видны промежутки изоляции корней |
уравнения |
}(х) = 0. Это отрезки [a; ci], [с,; с2], [с2; с3], [с3; Ь). |
|
Если f — сложная функция, то построение графика у = |
f (х) может |
вызвать затруднения. В этом случае целесообразно использовать |
|||
следующий прием. Уравнение f(x) = cpi(x) — ф г ( |
д=: 0) |
надо |
записать |
в виде ф!(л:) = фг(л:), подобрав функции q>i, фг |
так, |
чтобы |
сравни |
тельно просто строились графики функций г/ = |
ф! (дс), у — фг(*). Аб |
||
сциссы точек пересечения этих графиков и будут корнями уравнения (6 .6 ). Н а рис. 6.23 показаны два промежутка изоляции корней урав-
Промежутки изоляции корней уравнения можно получить ан а литически, опираясь на теоремы о свойствах функций, непрерывных
на |
отрезке. |
|
|
|
|
|
Если, например, функция f(x) на [а; b} непрерывна |
и f(a)f(b) С |
О, |
||
то, |
согласно теореме |
Больцано — Коши (см. § 4.4), |
она |
имеет |
на |
[а; |
Ь] хотя бы один нуль. |
|
|
|
|
|
Если функция f(x) |
на [а; b] удовлетворяет условиям |
теоремы |
||
Больцано — Коши и монотонна на этом отрезке, то на [а; Ь] сущест вует только один корень уравнения f(x) = 0 .
Таким образом, уравнение |
f(x) = |
0 имеет на [а; b] единственный |
|||
корень, |
если: |
|
|
||
1) |
функция у = f(x) непрерывна |
на [а; Ь]\ |
|||
2 ) |
т |
т |
< о; |
[а; b]. |
|
3) |
f'(x) |
сохраняет знак на |
|
||
Пример |
6.16. Найти промежутки |
изоляции |
действительных |
корней уравнения |
х 3 + х — 1 = |
0 . |
|
|
|
Р е ш е н и е . Воспользуемся графическим методом отделения |
корней. Уравнение |
|||
запишем в виде jc3 = 1 — х и построим |
графики |
функций у = х3 и у = 1 — х. |
||
Абсцисса единственной точки пересечения графиков функций принадлежит от резку [0; 1] (рис. 6.24). Следовательно, уравнение имеет один действительный корень х* на [0 ; 1].
Проверим правильность определения промежутка изоляции корня уравнения
аналитически. |
Действительно, f(x) — ^ - \ - x — 1 |
иа |
[0; |
1] |
непрерывна, f( 0 ) = — 1, |
|||||
/(1) = 1, т. е. |
f ( 0 ) f ( l ) < 0 . |
Производная f'(x) = |
Зх2 + 1 |
иа |
[0; |
1] |
сохраняет |
знак |
||
(/'(•* )> 0 V х £ [0; 1]). Таким |
образом, уравнение |
х3 + |
х — 1 |
= |
0 |
иа |
[0; 1] имеет |
один |
||
действительный |
корень. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уточнение корня. Постановка задачи. Допустим, что искомый корень уравнения (6 .6 ) отделен, т. е. найден отрезок [а; b], на кото-
158
У ‘ > |
В(Ъ-.рЩ) |
|
|
/ |
|
о а |
— |
— *- |
7 7 |
п |
|
Р и с . 6.24 Р и с . 6.25
ром имеется один и только один корень уравнения. Любую точку этого отрезка можно принять за приближенное значение корня. Погреш ность такого приближения не превосходит длины отрезка [а; Ь]. Следовательно, задача отыскания приближенного значения корня с
заданной |
точностью е сводится |
к нахождению отрезка [а; b] (|Ь — |
|||||||||||||
— а | С г), содержащего только |
один |
корень |
уравнения |
(6 .6 ). Эту |
|||||||||||
задачу называют задачей уточнения корня. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Д алее |
будем считать, что корень (6 .6 ) отделен, и |
рассмотрим |
||||||||||||
основные |
методы |
уточнения корней. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Метод половинного деления. Пусть известно, что на [а; b] содер |
||||||||||||||
жится |
единственный действительный корень |
уравнения |
f(x) = 0 |
и |
|||||||||||
f(a) С |
(0), f(b) > |
0 |
(рис. 6.25). Требуется найти его значение с задан |
||||||||||||
ной |
точностью |
в. |
Отрезок [а; Ь] |
делим |
пополам, |
определяем точку |
|||||||||
с = |
(а-\- Ь) / 2 и |
f(c). Если f(c) С О , |
f(b)>> 0 (как |
показано на |
рис. |
||||||||||
6.25), |
то |
корень |
уравнения х * 6 [с; |
Ь) |
(если |
f ( c ) > 0 , |
f ( a ) C |
0, |
то |
||||||
х* 6 [а; с]), т. е. отрезок |
[а; Ь] изоляции |
корня |
уравнения |
сузили |
до |
||||||||||
отрезка [с; Ь]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Если |
\Ь — с\ С |
г, то |
искомый |
корень уравнения х* |
найден с за |
|||||||||
данной точностью е, и любое число из [с; Ь) можно рассматривать как его приближенное значение. В противном случае процесс деле ния отрезка пополам продолжается до тех пор, пока длина получен ного отрезка изоляции корня не станет меньше заданной точности е.
Может случиться, что на каком-то шаге деления получим точку а, такую, что f(ci) = 0. Тогда с, будет точным значением корня урав нения.
В методе половинного деления погрешность решения находится в прямой зависимости от числа деления отрезка пополам. При п деле ниях погрешность равна \Ь — а |/2 " . Следовательно, если взять до статочно большое п , то искомый корень уравнения может быть вы числен с любой степенью точности. Рассмотренный метод удобен тем, что в нем используются однотипные вычислительные операции. Его легко применять при проведении вычислений на ЭВМ.
Метод хорд. Пусть на [а; Ь] находится единственный корень урав нения f(x) = 0, f(a) с 0Аf(b) > 0 и f'(x), f"(x) сохраняют знак на этом отрезке. Точки Л (a; f(a)) и B (b ; f(b)) дуги кривой на [а; Ь] соединим
159
хордой А В , уравнение которой
|
У — f(o) |
_ |
х — а |
|
|
|
(6.7) |
|
|
f ( b ) - f ( a ) |
|
Ь - а |
|
|
|
|
|
Абсцисса Xt точки пересечения хорды с осью Ох является первым |
||||||||
приближением значения |
корня х* |
(рис. 6.26). Значение х, найдем, |
||||||
решив совместно уравнения |
хорды |
(6.7) |
и |
оси |
абсцисс: |
|
||
До) = |
х — а |
|
|
|
|
|
|
|
т - м |
ь : г т ’\ = ^ = д - Ш ь - а) |
(6.8) |
||||||
у = О |
|
] |
|
|
m |
- |
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, первое приближение значения корня |
|
определяется фор |
||||||
мулой |
х . - |
а - |
№ ( ь ~ а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
X l |
а |
№ - |
f ( a ) |
' |
|
|
|
т. е. получили суженный промежуток [xt\'b] изоляции корня. Приме нив к нему формулу (6 .8 ), найдем второе приближение значения
КОрНЯ Х 2- |
|
|
Г — |
г — |
f(X')(b — X') |
X2~ |
Xl |
т - п х о ■ |
П родолжая этот процесс, получаем п-е приближение значения корня уравнения:
х п = х п - х - |
• |
(6.9) |
f(b) — f(x„ - ,) |
V ' |
|
При этом замечаем, что в формуле |
(6.9) точка Ь фиксируется, т. е. |
|
один конец хорды с абсциссой Ь неподвижен, а другой при каждом приближении меняется (является подвижным).
Из рис. 6.26 видно, что f(b) > 0 и кривая вогнута, следовательно,
Т О > о .
Неподвижным является тот конец хорды, где знак f(x) совпадает со знаком f"(x). Если неподвижным является конец хорды с абсцис сой а, т. е. f(a) и f"(a) имеют одинаковые знаки, то п-е приближение значения корня уравнения определяется по формуле
160
^ |
= |
|
|
|
|
(6.10) |
Оба (итерационные) процесса |
(6.9) |
и (6.10) сходятся, |
причем |
|||
\ п 6 N |
|
|
|
|
|
|
\хп — х* | < |
| ^ '^ 1 , |
т = |
min |/'(дс)|, |
|
|
|
|
|
т |
|
х£[а; Л] |
|
|
\хп — Х*1 < |
м ~ т |
\xn — x n- i \ , |
М — m ax |/'(*)|. |
|
||
|
т |
|
|
*6 [а;6] |
|
|
Метод касательных (метод Ньютона). Пусть на [а; b] |
имеется |
|||||
единственный корень уравнения f(x) = 0 , f(a) f(b) < 0 |
и f"{x) |
на [а; b] |
||||
сохраняет знак. |
|
|
|
|
|
|
Из рис. 6.27 видно, что если провести касательную к графику |
||||||
функции у = f(x) в точке с абсциссой а |
(в этой точке знаки f(x) и |
|||||
f"(x) совпадают), то |
абсцисса точки |
пересечения |
касательной с |
|||
осью Ох будет первым приближением корня уравнения. Касательная, проведенная к кривой в точке с абсциссой Ь, может пересечь ось
абсцисс в точке, не принадлежащей [а; |
Ь} (в этой точке знаки f(x) и |
f"(x) противоположны). |
графику функции у = f(x) |
Запишем уравнение касательной к |
в точке, в которой f(x) и f"(x) имеют одинаковые знаки. В случае, изображенном на рис. 6.27, такой точкой является точка с 'абсцис
сой а. Запишем уравнение касательной к кривой |
в этой точке: |
|
y — f(a) = f'(a)(x — a). |
|
|
Найдем точку пересечения касательной с осью Ох: |
||
y — f(a) = |
f'(a)(x — a),) |
f^ |
у = 0 |
J |
Г(а) |
Полученное значение х и есть первое приближение х\ значения корня уравнения.
Второе приближение значения корня уравнения найдем, приме нив метод касательных к отрезку [jci ; Ь\ Получим
|
|
г — г _ |
К*') |
|
|
||
|
|
|
|
Г М |
|
|
|
Повторяя вычисления, |
находим расчетную формулу |
||||||
|
|
|
J&=I> |
n g N, |
(6 . 1 1 ) |
||
причем |
|
|
I |
\Хп— \) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( а , |
если |
f(a )f(c )C 0 , |
|
||
л:0 = |
< Ь, |
если |
f(a )f(c )> |
0 , |
|
||
|
|
1 с, |
если |
|
f{c) = |
0 , |
|
(b — a)f(a) |
~ |
|
|
|
|
. . |
|
где с — а ---f(b) —f(a) |
• Тогда |
последовательность(хп) |
сходится к |
||||
корню х* при л-*-оо |
и для любого п 6 |
N справедливы неравенства: |
|||||
6 Зак. 1270 |
161 |
\хп — х*\ < \Хп — Х*\ < Y ^ - (X n — х п- , ) 2,
где т = |
min | / ' Ы |
| ; Afi = |
m ax \f"(x)\. |
|
|
*6[а; Ь] |
|
х6[а; |
|
Метод секущих — хорд. Методы хорд |
и касательных требуют |
|||
анализа |
функции |
f(x), так |
как сходимость |
последовательности (хп) |
к х* зависит от свойств функции f(x). На практике удобно использо вать методы, не требующие предварительного исследования функ
ции f(x). Одним из таких методов является |
метод секущих — хорд. |
В основу этого метода положена формула |
(6.11) метода касатель |
ных, в которой точное значение производной }'(хп-{) заменяется при
ближенным K ^-i) — К*»-г) _ Расчетная |
формула имеет вид |
|
Хп—1 Хп—2 |
|
|
Хп = |
f{X n -l) |
_ f(V _ 2) • |
Метод дает сходимость при любом выборе на отрезке изоляции [а; Ь\ нулевого х 0 и первого х, приближений, что, безусловно, очень удобно для практики.
Приближенное решение уравнений с помощью программируемых микрокалькуляторов и ЭВМ. Методы уточнения корней уравнения (метод хорд, метод касательных, метод секущих — хорд) удобно реализовать на ЭВМ.
Ниже приводятся две программы 1 и 2 приближенного решения уравнения методом хорд для программируемого микрокалькулятора
«Электроника БЗ-34». |
|
|
|
|
|
|
||
Расчетная формула |
для программы |
1: |
|
|
|
|||
|
|
г |
г |
_ f(xn-i)(xn~\ — а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Программа 1 |
|
Адрес |
Н аж им ае |
Код |
Адрес |
Н аж им ае |
Код |
Адрес |
Н аж им ае |
Код |
ко |
мые кла |
опе |
ко |
мые кла |
опе |
ко |
мые кла |
опе |
манды |
виши |
рации |
манды |
виши |
рации |
манды |
виши |
рации |
00 |
п в |
4L |
10 |
|
11 |
20 |
FBx |
0 |
01 |
ИПА |
6— |
11 |
|
13 |
21 |
FJC2 |
22 |
02 |
ПП |
53 |
12 |
ИПВ |
6L |
22 |
ИПД |
61 |
03 |
28 |
28 |
13 |
ИПА |
6— |
23 |
— |
11 |
04 |
ПС |
4 [ |
14 |
— |
11 |
24 |
Fx С 0 |
5 [ |
05 |
ИПВ |
6L |
15 |
X |
12 |
25 |
05 |
05 |
06 |
ПП |
53 |
16 |
ИПВ |
6L |
26 |
ИПВ |
J1L |
07 |
28 |
28 |
17 |
ХУ |
14 |
27 |
С/П |
50 |
08 |
t |
0Е |
18 |
ПВ |
11 |
|
|
|
09 |
ипс |
6 [ |
19 |
4L |
|
|
|
|
Ввод данных: а-»-РА, е2 -»-РД, b-*-РХ. Расчетная формула для программы 2:
=f(x* - i)(b — xn- j )
" |
' |
f W — f(X n - \ ) |
162
Программа 2
Адрес |
Н аж им ае |
Код |
Адрес |
Н аж им ае |
Код |
Адрес |
Н аж им ае |
Код |
|
ко |
мые кла |
опе |
ко |
мые кла |
опе |
ко |
мые кла |
опе |
|
манды |
виши |
рации |
манды |
виши |
рации |
манды |
виши |
рации |
|
0 0 |
ПА |
4— |
1 0 |
|
11 |
2 0 |
F B JC |
0 |
|
01 |
И П В |
6 L |
11 |
|
13 |
21 |
F JC2 |
2 2 |
|
0 2 |
П П |
53 |
12 |
И П В |
6 L |
2 2 |
И П Д |
6 Г |
|
03 |
28 |
28 |
13 |
ИП А |
6 — |
23 |
— |
11 |
|
04 |
ПС |
4 [ |
14 |
— |
11 |
24 |
F J C < 0 |
5 [ |
|
05 |
ИПА |
6 — |
15 |
X |
12 |
25 |
05 |
05 |
|
0 6 |
ПП |
53 |
16 |
ИДА |
6 — |
26 |
ИПА |
6 — |
|
0 7 |
28 |
28 |
17 |
ХУ |
14. |
27 |
С /П |
50 |
|
08 |
t |
0 Е |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
09 |
ИП С |
6 [ |
18 |
+ |
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
19 |
ПА |
4— |
|
|
|
Ввод данных: 6 ->-РВ, е2 -*-РД, а-*-РХ.
Программу 1 используют, если неподвижен конец а отрезка изоля ции корня, т. е. если функция [(х) и ее вторая производная в точке а имеют одинаковые знаки (f(a)f"(a) > 0). Программа 2 применяется, если неподвижен конец b отрезка изоляции корня [а; Ь], т. е. если функция f(x) и ее вторая производная в точке Ь имеют одинаковые знаки (f(b ) f" (b ) > 0 ).
Вычисления считаются выполненными с заданной точностью е,
если два |
последовательных приближения x n- i |
и х , удовлетворяют |
||||
условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
\хп — х „ - 1 | < е о ( х п — X „ - I)2 < |
E2. |
|||
Пример |
6.17. |
Вычислить |
методом |
хорд с точностью |
до |
0,0001 кории уравнения |
х — cos х = |
0 . |
|
|
в виде х = cos х |
|
|
Р е ш е н и е . |
Переписав |
уравнение |
и |
построив графики функ |
||
ций у — cos х и у — х, замечаем, что они пересекаются в одной точке х* 6 [0; 1]. Таким
образом, |
уравнение |
х — cos х = |
0 имеет |
только одни |
корень |
х* 6 [0 ; |
1]. |
|||||
Выясним, какой |
из |
концов |
отрезка |
[0; 1] изоляции |
корня |
неподвижен: |
||||||
|
|
|
f (х) = |
х — cos х, f(0) — — 1 , f (1) = |
1 — cos 1 > |
0 , |
|
|||||
|
|
|
f"(x) — cos JC , |
H 0 ) = 1 , |
f" (l) = |
cos 1 > 0. |
|
|
||||
Так как функция f(x) и ее вторая производная в точке JC = |
1 имеют одинаковые |
|||||||||||
знаки, то конец Ь неподвижен и для вычисления корня |
уравнения JC * |
надо восполь |
||||||||||
зоваться |
программой 2. |
Д л я ее применения |
необходимо составить |
подпрограмму |
||||||||
вычисления |
значений функции f(x) = JC — cos JC : |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Адрес |
команды |
Нажимаемые клавиши |
|
Код операции |
|
||||
|
|
|
|
28 |
|
|
t- |
|
|
0 Е |
|
|
|
|
|
|
29 |
|
F cos |
|
|
1Г |
|
||
|
|
|
|
30 |
|
|
— |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
31 |
|
В /0 |
|
|
52 |
|
|
|
Вводим |
программу |
(адреса |
0— 27), |
подпрограмму |
(адреса 28—31) и ясходиые |
|||||||
данные |
в |
память микрокалькулятора; а — 0, |
Ь = 1, |
г = 1 • 10-в (0-*-РА, 1 • 10~в-*- |
||||||||
->-РД, |
1-^РХ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
163
Результат счета: х* = 0,73908.
Приведем программу приближенногорешения уравнения методом секущих — хорд (см. программу 3).
Расчетная формула для программы 3:
|
|
|
|
|
Хп = Х п - 1 — f(x n- |
|
►1 |
Х п — 2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1)- f(Xn-i) —f(Xn-l) ’ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Указание. Значения х 0 и x t (х0 < |
*\) |
выбираются произвольно из отрезка [а; |
Ь] |
||||||||||||||
изоляции |
корня. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Исходные |
данные: |
хо, Xi, е2 (вводятся |
следующим |
образом; |
|||||||||||||
•Хо-^►РА, X i ~►РВ, б2—►РД). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Программа |
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Адрес |
Н аж им ае |
Код |
Адрес |
Н аж имае |
Код |
Адрес |
Н аж имае |
Код |
|
||||||||
|
ко |
мые кла |
опе |
ко |
|
мые |
кла |
опе |
|
ко |
мые кла |
опера |
|
|||||
|
манды |
виши |
рации |
манды |
|
виши |
рации |
манды |
виши |
ции |
|
|||||||
|
0 0 |
ИПА |
6 — |
12 |
|
ПС |
4 { |
|
24 |
|
ХУ |
14 |
|
|||||
|
01 |
ПП |
53 |
13 |
|
Ш |
14 |
|
|
25 |
|
ПА |
4— |
|
||||
|
0 2 |
|
34 |
|
34 |
14 |
|
*^=- |
11 |
|
|
26 |
|
|
|
11 |
|
|
|
03 |
ПС |
4 [ |
15 |
|
-i- |
13 |
|
|
27 |
|
F* 2 |
2 2 |
|
||||
|
04 |
ИПВ |
6 L |
16 |
|
ИПА |
6 — |
|
28 |
ИПО |
60 |
|
||||||
|
05 |
ПП |
53 |
17 |
|
ИПВ |
6 L |
|
|
29 |
|
— |
|
11 |
|
|||
|
06 |
|
34 |
|
34 |
18 |
|
— |
11 |
|
|
30 |
F* |
< |
0 |
5 [ |
|
|
|
07 |
П Д |
4Г |
19 |
|
X |
12 |
|
|
31 |
|
04 |
|
04 |
|
|||
|
08 |
ИПА |
6 — |
2 0 |
|
+ |
1 0 |
|
|
32 |
ИПВ |
6 L |
|
|||||
|
09 |
ИПС |
6 [ |
2 1 |
|
ИПВ |
6 L |
|
|
33 |
С /П |
50 |
|
|||||
|
1 0 |
|
t |
|
0Е |
2 2 |
|
ХУ |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
ипд |
6 Г |
23 |
|
пв |
4L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пример |
6.18. Найти методом |
секущ их — хорд |
корень |
уравнения |
х ~ |
cos х = |
0 |
||||||||||
с |
точностью |
до в = 0 ,0 0 0 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
х0 = |
|
|
|
|
|
|||
= |
Р е ш е н и е . |
Искомый |
корень х * 6 [0 ; |
11. Выберем |
0,5, |
* 1 = |
0 ,7 , в2 = |
|||||||||||
1 • 10 -8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
функции ((х) — х — cos х: |
|
||||||||
|
Составим |
подпрограмму |
вычисления |
значений |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Адрес команды |
Нажимаемые клавиши |
|
Код операции |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
t |
|
|
|
ОЕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
F cos |
|
|
|
1Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
— |
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37 |
|
|
В / 0 |
|
|
|
52 |
|
|
|
|
|
|
|
Вводим программу (адреса 00—33), подпрограмму |
(адреса 34— 37) и исходные |
||||||||||||||||
данные в память микрокалькулятора БЗ-34 |
(0,5->-РА, 0,7-»-РВ, |
1 • 10_ e -*-P0). |
||||||||||||||||
|
Результат |
счета: х* = 0,73906. |
Время счета — около 40 с. |
|
|
|
х3 + 2х — |
|||||||||||
|
Пример |
6.19. Составить |
Ф ОРТРА Н -программу решения уравнения |
|||||||||||||||
— 8 = 0 |
методом |
хорд с точностью до |
0 ,0 0 0 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Р е ш е н и е . |
Графически отделяя |
корни |
данного уравнения, замечаем, что оно |
||||||||||||||
имеет корень |
на |
отрезке [1; |
2]. Находим: f'(x) — Зх2 + |
2, |
т = |
min |
f'(x) = 5, М = |
|||||||||||
= |
m ax f'(x) = |
14. |
Следовательно, |
S = |
(М — т ) / т -- |
1,8. |
|
|
■»€[!; |
2] |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
164
Ф О РТРА Н -программа решения данного уравнения методом хорд имеет следую
щий вид:
E XTE R N A L F
ROOT-CHORD (F.1 ..2..1.8,. 0001) WRITE (3.1) ROOT
1FORMAT ( I X , ' X - ',F6.4) STOP
END
FUNCTION CHORD (F ,A ,B ,S ,E P S ) ■
FA = F (A )
FB =F (B)
X= A —(B—A) * F A / (F B —FA)
FX =F (X)
IF (FA *FX .G T .O ) GOTO 2
1X « X - ( X - A ) - F X / I F X - F A ) F X = F (X)
DX =S *A B S (X —X I)
X i =x
IF (DX .GT.EPS) GOTO 1
CHORD=X
RETURN
2X = X - ( B - X ) - F X / ( F B - F X ) FX = F (X )
DX =S *A B S (X —X I)
XI31X
IF (DX .GT.EPS) GOTO 2
CHORD*X
RETURN
ENO
FUNCTION F (X)
F = X » * 3 + 2 * X - 8
RETURN
ENO
|
Входные |
параметры: |
А, |
В — концы |
промежутка |
изоляции |
(А = |
1, |
В = 2); |
|
S |
( S = l , 8 ); E PS — предельная |
абсолютная |
погрешность |
(E PS = |
0,0001); F — имя |
|||||
подпрограммы-функции вычисления значений f(x). |
|
|
|
|
||||||
|
Результат |
счета: х = |
1,6702. |
|
|
|
х3 + 2х — |
|||
|
Пример 6.20. Составить Ф ОРТРАН -программу решения уравнения |
|||||||||
— 30 = 0 методом |
касательных с точностью до 0,0001. |
|
|
|
|
|||||
|
Р е ш е н и е . |
Графически отделяя корни данного уравнения, замечаем, |
что оно |
|||||||
имеет корень на отрезке [2; 3]. Находим: f'(x) = Зх2 + 2, f"(x) = 6х, |
т = |
min |
f'(x) = |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
х£[2; 3] |
||
= |
14, All = |
m a i f " ( x ) = 18. Следовательно, |
S = -д-^- --- -r-p. |
|
|
|
||||
|
хб[2;3] |
|
|
|
2m |
14 |
|
|
|
|
Запишем Ф ОРТРАН -программу решения данного уравнения 'методом каса тельных.
E XTE R N A L F .FO
ROOT=TANGEN (F ,FD ,2 .,3 , 0.64286,0.0001)
W RITE (3,1) ROOT
1FORMAT (1X,'X= *,F6.4) STOP
END
FUNCTION TANGEN (F .F D ,A ,B ,S ,E P S ) FA=F (A)
С - A - (В- A ) * F A / (F B —FA) P - F A * F (C)
IF (P) 2.1.3
1TAN GEN -C RETURN
2X = A GOTO 4
3X =B
4X l - X
X =X —F (X) /FD (X)
IF (S* (X 1 - X ) ••2 .G T .E PS I GO TO4
TANGEN=X
RETURN
END
FUNCTION F (X)
165
RETURN
END
FUNCTION FD (X)
FD=3.* (X**2)+ 2.
RETURN
END
Входные параметры: А, В — концы промежутка нзоляцнн корня (А — 2, В = 3); S (S = 9/14); E PS — предельная абсолютная погрешность (E PS = 0,0001); F — нмя подпрограммы-функции вычнслення f(x)\ FD — имя подпрограммы-функцин вычисле ния f'(x).
Результат счета: х = 2,8930.
Пакет программ приближенных методов решения нелинейных уравнений f(x) = 0 описан в литературе (см. [4, с. 8 8 —96]). В этих программах вычисление функции }(х) оформляется в виде фрагмента программы, вписываемого в текст основной программы вместо много точия. В указанной работе содержатся также методы решения алгебраических уравнений степени не выше пятой (см. [4, с. 97— 100]). Решение алгебраических уравнений более высоких степеней (п ^ 6 ) целесообразно проводить на ЭВМ с большим быстродействием по стандартным программам.
7.ВЕКТОРН Ы Е И КО М П ЛЕКСН Ы Е ФУНКЦИИ
ДЕЙ С ТВИ ТЕЛ ЬН О ГО АРГУМЕНТА
7.1.ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ С К А Л Я РН О ГО АРГУМЕНТА.
ГОДОГРАФ
В курсе математики и ее многочисленных приложениях часто при ходится иметь дело не только с числовыми функциями, но и с функ
циями, у которых область определения D или множество |
значе |
|
ний Е состоят из |
элементов другой природы, например |
D с= R, |
а Е — подмножество множества свободных векторов W |
|
|
Пусть Т с= R, А а |
У3. |
|
О п р е д е л е н и е |
7.1. Векторной функцией действительного аргу |
|
мента (вектор-функцией скалярного аргумента) называется отобра
жение, которое каждому действительному числу |
t £ T |
ставит в со |
|||
ответствие один и только один вектор а |
6 А с |
]/3. |
t 6 Т. |
|
|
Вектор-функцию принято обозначать |
а = |
а (/), |
Различным |
||
значениям t £ T будут соответствовать |
разные |
значения |
вектор- |
||
функции, т. е. вектор а = а (t) имеет определенную длину |
(модуль) |
||||
и определенное направление. Таким образом, |
вектор a = a(f) может |
||||
изменяться как по величине, так и по направлению. Выберем общую точку приложения О векторов а = а (t) (рис. 7.1). При непрерывном изменении аргумента t конец вектора а = а(^) описывает некоторую линию L.
О п р е д е л е н и е 7.2. Л иния L, |
описываемая |
в пространстве |
концом вектора а при непрерывном |
изменении аргумента t £ Т с= R, |
|
называется годографом вектор-функции скалярного |
аргумента a (t). |
|
|
Oft.) |
L |
О
Р и с . 7.1 |
Р и с . 7.3 |
167