Герасимович(математический анализ)
.pdfу = arsh х о х = sh у=>у = ln(x + л /х 2 + 1 ).
Действительно, из определения гиперболического синуса
х = sh у = (е? — е ~ у) / 2 ^ е и — е ~ у — 2х — 0=^е2у — 2хеу — 1 = 0 ,
t2 — 2xt — 1 — 0 ( ^ = / ) = ^ = |
х + |
д /х 2 + 1 |
= 1п(х + л / х 2 + 1). |
Функция нечетная, возрастает |
на |
D(/). |
|
Ф у н к ц и я |
у = a rc h х |
(ареа-косинус)\ D{f) = [l; |
+ оо[, E(f) = |
= [0; + о о [ (рис. 2.38); |
|
|
|
у = |
arch x o x |
= chy=>y = \n(x + ^ J x 2 — |
l). |
Функция возрастает на D(f). |
|
|
|
|
|
|
||
Ф у н к ц и я |
у — a r t hx |
(ареа-тангенс); |
D{f) = |
|
] — 1; |
1[, E ( f ) = R |
||
(рис. 2.39); |
|
|
* |
_ |
|
|
|
|
и = arth х о х |
— th w=^arth х = |
-7ГIn |
1 — X |
. |
|
|||
v |
|
|
V |
2 |
|
|
||
Функция нечетная, возрастает на D(f). |
|
|
|
|
|
|||
Ф у н к ц и я |
у — ar ct hx |
(ареа-котангенс); |
D ( / ) = R \ [ — 1; 1], |
|||||
£ (f)= R \{ 0 } (рис. 2.40); |
|
|
|
|
|
|
|
|
у = |
arcth |
= |
c th x = ^ a rc th х = у In |
|
у |
- |
||
48
Она нечетная, убывает на промежутках ] — оо; — 1[, ]1; + о о [ . Кроме перечисленных, существуют кусочно-постоянные функции,
например функция сигнум (у = sgn дс), функция Хевисайда, функция антье от дг(г/ = [дф.
2.5. КЛАССИ Ф И КА Ц И Я Ф УНКЦИЙ
Рассмотренные в предыдущем параграфе функции: степенную, показательную, логарифмическую, тригонометрические, обратные тригонометрические, называют основными элементарными функ циями.
Все функции, полученные с помощью конечного числа арифме тических действий над основными элементарными функциями, а
такж е |
их композиций, составляют класс элементарных функций. |
||
Примерами элементарных функций |
являются: f(x) = 1*1, f(x) = logo arcsin 3^*-|- |
||
+ tg 5x, |
2 -I- Л/Х |
I —sin4— |
|
f(x) = ---------j=r, |
f ( x ) = 10 |
и т. д. |
|
3— д/х
Вматематическом анализе используются чаще всего элементар
ные функции.
Имеет место следующая классификация элементарных функций. 1. Функция вида
Р„(х) = |
а 0дгл + |
ai*"-1 |
+ а 2хл-2 + |
... + ап, |
где « 6 N U {0}, ао, а\, |
а 2, ..., |
ап 6 R, |
называется |
целой рациональной |
ф ункцией или многочленом степени п. Многочлен первой степени называют также линейной функцией.
2. Функция, представляющая собой отношение двух целых ра циональных функций:
Р m(х) __ |
аохт - \-а,хт- ' + |
... + а т |
Qn(x) |
box" + b iX" - ' + |
... + Ь„ ’ |
называется дробно-рациональной.
Совокупность целых рациональных и дробно-рациональных функций образует класс рациональных функций.
49
3. Функция, полученная с помощью конечного числа суперпози ций и четырех арифметических действий над степенными функциями как с целыми, так и с дробными показателями, и не являющаяся рациональной, называется иррациональной.
Например, |
функции у = л [ х , /(* ) = |
■ /(* ) = |
1 ^ * » /(* ) = |
= д /l + х ~ |
— х являются иррациональными. |
|
/ |
Рациональные и иррациональные функции образуют класс а л гебраических функций.
4. Всякая функция, не являющаяся алгебраической, называется трансцендентной. К трансцендентным функциям относятся все основ ные элементарные функции, кроме степенной функции с рациональ ными показателями, а также гиперболические и обратные гипербо лические функции.
Рассмотренная классификация элементарных функций представ лена на следующей схеме:
В математике рассматривают и неэлементарные функции, не относящиеся к элементарным, например составные функции у = = [дс], у = sgn х, функцию Хевисайда и др.
2.6.ФУНКЦИИ, ЗАДАННЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
ИВ ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
Параметрическое задание |
функции. Пусть |
х = ср(<), у = |
ty(t) — |
две функции одной независимой переменной t £ |
Т. Если х = |
ф(/) мо |
|
нотонна на Т, то существует обратная к ней |
функция t = |
q>~l(x). |
|
Поэтому функцию y — ^(t), |
t = <p~l(x) можно |
рассматривать как |
|
сложную функцию, переводящую элемент х в элемент у посредством промежуточной переменной t :
w . < е ^ W = ♦ < » - w ) = f w -
Переменную t называют параметром. В этом случае говорят, что
50
сложная функция у = F ( x ) o y = ty(t), |
t = <р ‘(х) задана |
параметри |
|
чески |
и пишут: |
|
|
|
|
|
(2.2) |
В |
формуле (2.2) функция <р(/) для |
удобства записи |
обозначена |
x(t), а -ф(^) — через y(f). Параметр t может иметь различный смысл, определяемый характером функциональной зависимости. Так, па раметрическое задание функции часто применяют при описании траектории движения точки. Если точка движется на плоскости, то ее координаты х и у являются функциями времени. Задав эти функции:
х = |
x(t), у = y(t), t £ T , мы полностью определим траекторию движе |
ния |
точки за промежуток времени Т (здесь t — момент времени). |
От параметрического задания функции (2.2) иногда можно перейти к явному заданию функции у = F(x), исключив параметр t.
Всякую функцию, заданную явно (y — f(x)), можно задать пара метрически. Действительно,
!/ = ( М ~ { Д ( „ , Ч Т .
Параметрическое задание функций иногда имеет преимущество перед другими формами их задания. В некоторых случаях непосред ственная связь между у и х может быть весьма сложной, в то время как функции x(t) и y(t), определяющие функциональную зависимость у от х через параметр t, оказываются простыми.
Например, пусть х = |
3t + |
1, у = 1/<2, t 6 ]0; оо [. Эти две функции параметрически |
|
задаю т в интервале ]0; |
оо[ функцию F(x) = 9 /( х — I)2. Действительно, исключив |
из |
|
первого уравнения параметр |
t = — ( x — 1) и подставив его во второе уравнение, |
по- |
|
|
|
*5 |
|
лучим явное (непосредственное) задание функции F(x). |
|
||
Пусть у = \ / х , £)(f) = ]0; |
оо[. Выберем параметр t = х. Тогда |
|
|
Функцию у = 1/х параметрически можно задать и уравнениями:
т. е. одну и ту ж е функцию можно параметрически задать различными аналитическими выражениями.
Параметрическое задание некоторых линий на плоскости. Мно жество точек М(х; у) числовой плоскости R2, координаты которых удовлетворяют уравнениям x = x(t), y = y(t), t £ T , параметрически задает некоторую линию L 6 R2.
Рассмотрим параметрическое задание наиболее часто употребляе мых в математическом анализе линий.
1.Прямая
2.Окружность с центром в начале координат и радиусом, рав ным а:
Здесь параметр t — угол между положительным направлением
оси Ох и радиусом-вектором ОМ текущей точки М(х; у) окружности, отсчитываемый против хода часовой стрелки (рис. 2.41).
Легко видеть, что для любой точки М(х; у)
х 2 + у 2 = a 2(cos21 + sin2 t)=>x2 + у 2 = a 2.
3. Эллипс
Эллипс можно получить сжатием окружности радиусом а в Ь/а раз вдоль оси Оу (рис. 2.42). При такой деформации окружности
параметрические уравнения эллипса получаются из параметрических уравнений окружности умножением ординаты на b/ а :
x = |
a cos t , Q < t < 2 n \ |
( x = |
a c h t , |
0 < * < 2л. |
£/ = |
asin^, |
J= |
sin t — b sin t, |
|
От параметрических уравнений эллипса можно перейти к кано ническому уравнению. Д ля этого достаточно решить их относительно cos t и sin t:
cos t = —, |
sin t = |
) |
+ ( —) |
= cos2 1 |
+ |
sin2 |
^ = 1. |
a |
b |
\ a j |
\ b J |
|
|
a |
b |
4. Парабола |
|
|
|
|
|
|
|
|
у 1 = |
|
|
^ €[°; |
|
oo [. |
|
Вчастности,
5.Гипербола
a2 |
b2 |
\y = b sh t, |
€ |
52
Справедливость параметрического задания гиперболы следует из свойства ch2 ^ — sh2 ^ = 1 гиперболических функций.
6.Декартов лист (рис. 2.43) — кривая третьего порядка, ура
нение которой в декартовой системе координат имеет вид
х 3 + у 3 — Заху = O o l |
t = ig(OM, Ox). |
U = 7 T F
Эта кривая симметрична относительно биссектрисы у = х. Параметрические уравнения декартова листа можно получить,
положив у — tx:
х 3 + у 3 - |
Заху = |
0, } |
з + |
^ з |
_ 3 |
^ 2 = 0=> |
y = tx |
|
> |
|
|
|
А |
■*х = |
Т ? ё - |
y - J T F |
• |
' = |
‘s ( “ |
5. |
7. Астроида (рис. 2.44) — замкнутая линия, являющ аяся тра екторией точки, лежащей на окружности круга радиусом г, который катится по внутренней стороне неподвижного круга радиусом а(а =
=4г). Ее уравнение имеет вид
8.Циклоида (рис. 2.45) — это кривая, описываемая точкой ок ружности, катящейся без скольжения по прямой линии. Циклоида состоит из конгруэнтных дуг, каж дая из которых соответствует пол ному обороту катящегося круга. Параметрические уравнения ци
клоиды:
x = |
a(t — sin t), . , |
р \ |
y = |
a ( l — cost), |
') |
Полярная система координат. Кроме |
декартовой системы ко- |
|
53
У
о |
жа |
2 тга |
х |
|
Р и с . |
2.45 |
|
ординат Оху, на плоскости R2 иногда используют полярную систему координат.
Полярная система координат задается: точкой О, называемой полюсом, лучом Ои, называемым полярной осью, и выбранной на полярной оси единицей масштаба (рис. 2.46).
Полярными координатами точки М £ R2 (не совпадающей с по
люсом), называют полярный радиус г ( М) — \ ОМ\ точки М и поляр ный угол ф(М), т. е. угол, на который надо повернуть ось Ох до сов
падения ее с вектором ОМ (ф(М) > 0, |
если поворот |
совершается |
против хода часовой стрелки, и ф(М) < |
0 в противном |
случае). |
Запись М(г; ф) означает, что точка М имеет полярные координаты |
||
г и ф. |
|
|
Полярный угол ф(М) принимает бесконечное множество значений, отличающихся друг от друга на 2kn, k £ Z . Значение полярного угла О ^ ф ■< 2л называют главным. (Иногда в качестве главного значе ния принимают — л < ф < л.)
Положение любой точки М на плоскости однозначно определя
ется координатами |
г и ф, причем 0 ^ г < о о , |
0 ^ ф < 2 л . |
Если |
точка М совпадает |
с полюсом О, то ее радиус-вектор равен нулю |
||
(г(М) = 0), а полярный угол ф можно выбирать |
любым. |
|
|
Обобщенными полярными координатами точки М называют ее |
|||
полярные координаты г и ф, такие, что — оо < г < |
о о , — оо < |
ф < |
|
<О О .
Чтобы указать точку М(г; ф) в обобщенной полярной системе ко ординат, надо построить луч, образующий с полярной осью и угол ф, затем отложить г единиц масш таба на нем, если г > 0, и на его продолжении, если г < 0.
М,(2;Л/3)
и
о
Р и с . 2.46 |
Р и с . 2.47 |
54
На рис. 2.47 изображены в обобщенной полярной системе координат точки Л1: (2; л /3 ) и ЛГ2( — 3; л/4).
В дальнейшем, если специально не оговорено, под г и ф понимаем полярные координаты точки.
Иногда приходится пользоваться одновременно как декартовыми, так и полярными координатами на плоскости. При этом естественно поставить две взаимно обратные задачи: 1) зная полярные коорди наты г и ф точки М, найти ее декартовы координаты х и у; 2) зная декартовы координаты х и у точки М , найти ее полярные координаты. Решение этих задач зависит от взаимного расположения полярной оси и осей декартовой системы координат. В частном случае, когда полярная ось Ои совпадает с осью абсцисс и все три оси Ох, Оу и Ои имеют общую единицу масштаба, зависимость между декартовыми и полярными координатами находится из определения тригоно
метрических функций sin ф и cos ф |
(рис. 2.48): cos ц>— х/ г, sin ф = |
|
= у/г, откуда |
. |
(2.3) |
х = г cos ф, |
у — г в т ф . |
|
Формулы (2.3) выражают декартовы координаты точки |
через |
|
ее полярные координаты. Чтобы выразить полярные координаты
через |
декартовы, возведем обе |
части |
к аж |
|
|
дого |
из |
равенств (2.3) в квадрат, а |
затем |
|
|
сложим |
полученные равенства |
почленно. |
|
||
В результате получим: |
|
|
|
||
х 2 + у 2= |
г2(cos2 ф - f sin2 ф) или |
х 2 + у 2= г2, |
|
||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
г = л / х 2 + у 2. |
|
(2.4) |
|
Поделив почленно второе из равенств |
|
||||
(2.3) |
на |
первое, имеем: |
|
|
|
|
|
tg ф = -^-=хр = arctg —. |
(2.5) |
||
Формулы (2.4) и (2.5) выражают полярные координаты точки |
|||||
через |
ее |
декартовы координаты. Заметим, что если 0 ^ ф < |
2л, то |
||
найденному значению tg ф = у / х |
соответствуют два значения ф. Из |
||||
этих двух значений выбирают то, при котором выполняются |
равен |
||||
ства (2.3), т. е. угол ф выбирается по знакам sin ф и cos ф.
Зная связь между декартовыми и полярными координатами точки, уравнение линии L на плоскости можно записать в виде F(r, ф) — О или г = г(ф).
Область определения функции в полярной системе координат будем обозначать D(r), множество значений — Е(г).
Уравнения некоторых линий в полярной системе координат.
1. П р я м а я |
л и н и я . |
Прямая линия, проходящая через полюс: |
|
|
у = k x o t g (f — k |
(x = r cos ф, |
у — г sin ф =>r sin ф = kr cos ф = > ^ ф = k). |
|
Прямая линия, не |
проходящая через полюс: |
|
55
А х -|- B y -|- С — 0 |
---- г-, |
1 v ' |
cos(q> — а) |
где р — расстояние от прямой до полюса; а — угол наклона нормаль
ного вектора прямой п(Л, В). |
|
|
|
|
2. |
О к р у ж н о с т ь . Окружность |
с |
центром в начале координа |
|
и радиусом, равным а (рис. 2.49, |
а ) : |
|
|
|
|
х 2 + у 2 = |
а2о г |
= |
а. |
Р и с . 2.49
Действительно, воспользовавшись формулами перехода от де картовых координат к полярным (х — г cos ф, у = г sin ф=^х2 + у 2 = = г2), имеем
г — Y x2 - f у 2о г = а.
Окружность радиусом а с центром, смещенным по оси абсцисс вправо на а единиц (рис. 2.49, б ) :
(х — а)2 + t/2 = a2o r = 2а cos ф.
Окружность радиусом а с центром, смещенным по оси ординат вверх на а единиц (рис. 2.49, в ) :
|
х2 |
+ (у — а)2 = а2о г — 2а sin ф. |
3. |
Л и н и и в |
т о р о г о п о р я д к а (э л л и п с , гипербола, пар |
бола) . Уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат имеет вид
где р — параметр; е — эксцентриситет.
При |
е < 1 уравнение (2.6) определяет эллипс (полюс совпадает |
с левым |
фокусом эллипса); при е > 1 — гиперболу (полюс совпадает |
с правым фокусом гиперболы); при е = 1 — параболу. (Во всех слу чаях полярная ось сонаправлена с горизонтальной осью кривой.) Отметим, что при е > 1 уравнение (2.6) следует рассматривать в обобщенных полярных координатах, в противном случае оно будет описывать только правую ветвь гиперболы.
Чтобы перейти к декартовой системе координат, в уравнении
(2.6) положим т= л]х2 - f у2, cos ф = х /л /х 2 + у2. Подставив эти зна-
56
чения в формулу (2 .6 ), получим после упрощения уравнения эллипса, гиперболы и параболы в декартовой системе координат.
Пример 2.3. Определить, какие лииии заданы |
уравнениями: |
1) г = |
||||||||||||
|
9 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
5 — 4 cos ф |
|
|
3) г = |
|
|
|
|
|
в декартовых |
координатах урав- |
|||||
4 — 5 cos ф ’ |
|
|
. Записать |
|||||||||||
|
1 — cos ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
иения этих линий и построить их. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Р е ш е н и е . |
1. Это уравнение вида |
(2.6). Оно определяет одну из кривых второго |
||||||||||||
порядка: эллипс, |
гиперболу |
или |
параболу. Преобразуем |
уравнение к виду |
||||||||||
|
|
|
|
|
г |
|
9 /5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 — (4/5)cos ф ‘ |
|
|
|
|
||||
Так как |
е = 4 / 5 < 1, то |
получили уравнение эллипса. |
|
|
|
|||||||||
Чтобы записать уравнение кривой в декартовых координатах, воспользуемся |
||||||||||||||
формулами |
перехода от полярных координат к декартовым. Получим: |
|||||||||||||
|
|
|
У* 2 + |
у2 = ------ |
--9- - ------------ - |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 - ( 4 / 5 ) * л / 7 + 7 |
|
|
|
|||||
|
/ 2 , 2 _ 9 . 4 |
2 I ц2 __ 8 * _I 72 |
|
16 |
||||||||||
|
V*+ У |
= = -5 + |
Т |
Х ^ Х |
+ У |
~~25 |
"25" |
25 |
||||||
|
2 , 3 |
|
7 2 |
81 |
|
9 , |
,N2 , 2 |
|
|
|
|
|
||
25 |
+ ‘/’-- 5 5 - * = |
-оТ=»--ог(*-4)2 |
+ Г = |
25 |
|
|
25 |
|||||||
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
т. е. имеем уравнение эллипса |
в декартовых |
координатах |
(рис. 2.50); |
|||||||||||
2. Преобразуем |
уравнение к виду |
(2.6), |
получим |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
9 /4 |
=>-е = |
5 /4 > |
1. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 — (5/4) cos ф |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Это уравнение гиперболы.
Перейдем к декартовым координатам: |
|
|
|
|
||||||
|
|
* 2 + у2 = ■ |
|
9/4 |
=»->/£= + |
у* = ^Г + |
-^ х= > |
|||
|
У |
------------ — |
||||||||
|
|
|
1 |
(5/4)дс / ^ |
+ у 2 |
|
|
4 |
4 |
|
|
2 |
, 2 |
81 |
90 |
25 |
2 |
9 |
, , 90 |
, , 81 |
|
|
^ |
|
— . — |
, — |
|
|||||
|
+У = Т ё + Т б х + 116б х ^ 1 б х + 1 б х - * + 1 Г ” |
|||||||||
|
|
|
|
|
(* + |
5) 2 |
J L . |
1, |
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
т. е. получили уравнение гиперболы в декартовых координатах (рис. 2.51). |
||||||||||
3. |
Это уравнение определяет параболу. Найдем ее уравнение в декарто |
|||||||||
координатах: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
= W * 2 + |
У2 = 3 + Х=>У* = |
9 + 6 * |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
1 - х / У Т Т 7
(рис. 2.52).
57