Герасимович(математический анализ)

4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ

4.1. Н ЕП РЕРЫ ВН О СТЬ Ф УНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА М НОЖ ЕСТВЕ

Интуитивное представление о непрерывной функции обычно свя­

Если в точке хо нарушено хотя бы одно из условий 1—3, то функ­ ция называется разрывной в точке хо, а точка х 0 — точкой разрыва.

Если воспользоваться определением предела функции в точке по Коши, то можно дать эквивалентное определение непрерывной функ­ ции в точке х0 на языке «е — б».

сформулировать следующим образом: функция f(x) непрерывна в точке хо, если V 6 > О Н 6 > 0: | Лл: | < 6 =>-1Ау\ < е, т. е. Ау->- 0 при Дл:->-0. Таким образом, получаем еще одно определение непрерыв­ ности.

О п р е д е л е н и е 4.3. Функция f(x) называется непрерывной в точке хо, если бесконечно малому приращению аргумента Ах со­

ответствует бесконечно малое приращение функции Ау, т. е. lim Ау =

Ддг-М)

=0.

Внекоторых случаях приходится пользоваться понятием одно­

сторонней непрерывности.

О п р е д е л е н и е 4.4. Функция f(x), определенная в некоторой левой (правой) окрестности точки хо, называется непрерывной слева (справа) в точке хо, если существует предел слева (справа) функ­ ции у — f(x) и он равен f(x о).

Другими словами,

89

f(x) непрерывна справа в точке хо<>Н lim J(x) — f(x0),

f(x) непрерывна слева в точке х0<$- Н lim J(x) — f(x0).

Из определения односторонней непрерывности в точке хо следует, что функция f(x), определенная в некоторой 6 -окрестности точки хо, непрерывна в точке хо тогда и только тогда, когда она непрерывна

вэтой точке слева и справа.

Оп р е д е л е н и е 4.5. Ф ункция f(x), непрерывная во всех точках некоторого множества X, называется непрерывной на этом мно­ жестве.

Если X = [а; Ь], то для непрерывности функции на [а; b}требуется, чтобы f(x) была непрерывна во всех внутренних точках отрезка, непрерывна справа на левом его конце, т. е. в точке а, и непрерывна слева на правом его конце, т. е. в точке Ь.

4.2. ТОЧКИ РА ЗРЫ В А Ф УНКЦИ И И ИХ КЛАССИ Ф ИКА ЦИЯ

Если хотя бы одно из условий определения 4.1 не выполнено, то точка хо является точкой разрыва. Различают следующие случаи:

1) если условие 2 определения 4.1 выполнено и при этом хо£ £ D(f) или lim f{x) Ф f(xo), то точка х 0 называется точкой устранимого

Х —ь-Хо

разрыва;

2) если условие 2 определения 4.1 нарушено, т. е. не существует lim f(x), но при этом существуют два конечных односторонних предела

ка хо называется точкой разрыва первого рода, а разность f(xо + 0 )—

— f(xо — 0 ) — скачком функции f(x) в точке хо\

3)если хотя бы один из односторонних пределов равен + оо или

—оо или вообще не существует, то точка хо называется точкой раз­ рыва второго рода.

Таким образом, при исследовании функции на непрерывность

90

Р и с . 4.1

Р и с . 4.3

Пример 4.3. Исследовать на непрерывность функцию

I2 V O l .

Ре ш е н и е . Область определения этой функции D(f) — R. Функция f(x) является составной. Составляющие ее функции непрерывны на R. Поскольку функция зада ­ ется различными выражениями, то проверить на непрерывность надо точки «стыка»,

т.е. xi = 0 , хг = 1. Именно в этих точках может нарушаться непрерывность иссле­ дуемой функции.

Исследуем точку х\ = 0 . Здесь f(0) = 0. Вычислим

91

разрыва второго рода. Схематический график поведения функции в окрестности точки разрыва х 2 = 2 дан на рнс. 4.4.

Пример 4.5. Исследовать на непрерывность функцию

Д л я этого построим две последовательности значений аргумента:

Обе последовательности сходятся к числу 0. Запишем последовательностя значений

92

Пределами этих последовательностей будут числа 1 н — 1 соответственно. Таким образом, построены две последовательности значений аргумента функции }(х) = = sin (1 /jc), такие, что соответствующие последовательности значений дайной функции имеют различные пределы. Следовательно, функция sin(l/jc) при *-*-0 не имеет пре­ дела. Согласно классификации точек разрыва, х = 0 — точка разрыва второго рода. График функции изображен на рнс. 4.5.

4.3.Д Е Й С Т В И Я НАД Н Е П РЕРЫ В Н Ы М И ФУНКЦИЯМИ .

НЕ П РЕРЫ В Н О С Т Ь ОСНОВНЫ Х ЭЛЕМ ЕН ТА РНЫ Х Ф УНКЦИЙ

Сформулируем теоремы о непрерывности функций, полученных в результате арифметических действий над непрерывными функциями, а также их композиции.

Доказательства этих теорем однотипны и основываются на опре­ делении непрерывности функции в точке.

Теорема 4.1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0, то и функции f ( x ) ± g ( x ) , f(x)g(x) непрерывны в точке х й. Если, кроме того, g (x о) ф 0 , то функция f(x)/g(x) является также непрерывной

вточке х0.

>Докажем, например, непрерывность функции f(x)g(x) в точке

т. e. функция f(x)g(x) непрерывна в точке x0. Аналогично доказы­ ваются другие утверждения теоремы. <

Теорему 4.1 можно обобщить на случай конечного числа функ­ ций: алгебраическая сумма и произведение конечного числа функций,

является композицией двух непрерывных в точке лс0 функций / и ср. Пусть у = /(м), u = <p(jt), тогда по определению сложной функции

у = f° q > o y = /(ср(л:)) = F(x).

Теорема утверждает, что если функция <p(jc) непрерывна в точке хо, а функция f(u) непрерывна в точке м0, то сложная функция F(x) непрерывна в точке хо.

93

lim /(ф(х)) = f(ф(*0))

Х -+ Х О

ИЛИ

lim F(x) = F(xо). <\

Х -* Х о

Из определения 4.1 непрерывной функции в точке х0 и теоремы 4.4 следует, что

т. е. символы предела и непрерывной функции перестановочны. Приведем без доказательства теорему о непрерывности обратной

функции.

Теорема 4.5. Пусть функция у = f(x) определена, непрерывна и монотонна на некотором множестве X и пусть Y — множество ее значений. Тогда на множестве Y обратная функция х = f ~ ' (у) моно­ тонна и непрерывна.

Теорема 4.6. Основные элементарные функции непрерывны во всех точках, принадлежащих их области определения.

> Приведем доказательство только для тригонометрически и показательной функций. Будем исходить из определения 4.3 не­ прерывности функции в точке х 0. Д ля функции у = sin х

lim Дм = lim(sin(jt0 + Ал:) — sin дс0) = 0.

Непрерывность логарифмической функции и обратных тригоно­ метрических функций следует из теоремы 4.5 о непрерывности об­ ратной функции. <

Так как основные элементарные функции, согласно теореме 4.6,

94

непрерывны на своих естественных областях определения D(f), то из теорем 4.1 — 4.6 следует, что всякая элементарная функция не­ прерывна во всех точках, принадлежащих ее естественной области определения.

4.4. СВОЙСТВА Ф У Н К Ц И Й , Н Е П РЕРЫ В Н Ы Х НА О Т РЕ ЗК Е

Приведем несколько теорем, характеризующих свойства непре­ рывных на отрезке функций.

Теорема 4.7 (Вейерштрасса*). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь\ то на этом отрезке она ограничена и достигает своих нижней и верхней граней, т. е. на нем существуют по крайней мере две точки Ci и с2 (рис. 4.6), та^ие, что

точных нижней и верхней граней. Такой функцией является, на­ пример, функция t g * на интервале ] — я / 2 ; л / 2 [.

Теорема 4.8. Если функция f(x) непрерывна в точке х 0 и f(x0) ф 0, то существует такая окрестность точки хо, в которой знак функции совпадает со знаком f(x о).

Геометрическая интерпретация теоремы 4.8 дана на рис. 4.7

Теорема 4.9 (Больцано** — Коши). Если функция f(x) непре­

*Карл Вейерштрасс (1815— 1897) — немецкий математик.

**Бернгард Больцано (1781— 1848) — чешский математик.

95

рывна на отрезке [а; Ь] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри этого отрезка существует по крайней мере одна точка, в которой значение ф ункции равно нулю:

f(x):f(a)f(b) < 0 =^Нлг0 £ ]а; b\: f(xо) = 0 .

Геометрический смысл теоремы заключается в следующем: если точки A (a; f(a)) и B{b \ f(b)) графика функции f(x), соответствующие концам отрезка [а; Ь], лежат по разные стороны от оси Ох (рис. 4.8), то график функции хотя бы в одной точке отрезка пересекает ось Ох.

A(a;f(a))

Р и с . 4.8

Теорема 4.10 (о промежуточных значениях). Пусть f(x) непре­ рывна на отрезке [а; Ь] и f(a) = A, f(b) = В. Тогда д ля любого числа С, заключенного между А и В, найдется такая точка с 6 [а; Ь], что

Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функ­

функции по крайней мере в одной точке. Если же f(x) непрерывна и монотонна на [а; Ь\, то существует единственная точка с 6 [a; bj, такая, что f(c) = С.

Теорему 4.10 можно переформулировать так: непрерывная ф унк­ ция, переходя от одного значения к другому, обязательно прини­

называется кусочно-непрерывной на от­ резке [а; Ь], если она непрерывна во всех внутренних точках [а; Ь] за исклю ­ чением, быть может, конечного числа точек, в которых эта функция имеет разрыв первого рода или устранимый разрыв, и, кроме того, она имеет одно­ сторонние пределы в точках а и Ь.

96