Герасимович(математический анализ)

8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

8.1.П ЕРВ О О БРА ЗН А Я Ф УНКЦИИ

И Н Е О П Р Е Д Е Л Е Н Н Ы Й ИНТЕГРАЛ

Основной задачей дифференциального исчисления является на­ хождение производной /'(дс) или дифференциала df = f'(x)d x функции /(дс). В интегральном исчислении решается обратная задача. По заданной .функции /(дс) требуется найти такую функцию F(x), что

F'(x) = f(x) или dF(x) = F ’(x)dx = f(x)dx.

Таким образом, основной задачей интегрального исчисления

является восстановление функции F(x) по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и тех­ нике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов,

= d ( — cos *) = sin x d x V x 6 R.

Естественно возникает вопрос: для всякой ли функции f(x) су­ ществует первообразная F(x)? Оказывается, не для всякой. Имеет

при таком ограничении задача восстановления функции F(x) по из­ вестной производной (или известному дифференциалу) решается неоднозначно и не всегда просто.

Если, например, f(x) — e 3x, то первообразной для этой функции является ие

разность F(x) = F 2(X ) — Fi(x) является дифференцируемой функцией:

/(дс) на множестве X, то все первообразные этой функции определя­

с ь

функции f(x) на множестве X называется неопределенным интегра­

В формуле (8.1) f(x)dx называется подынтегральным выраже­ нием, f(x) — подынтегральной функцией, х — переменной интегриро­ вания, а С — постоянной интегрирования.

Термин «интеграл» (от лат. integralis — целостный) был вве­ ден Лейбницем*. Слово «неопределенный» подчеркивает, что в общее выражение первообразной функции входит постоянное слагаемое, которое можно выбирать произвольным.

Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой лю бую функцию, дифференциал которой равен подынтегральному вы­

_ dx cos2 x

С геометрической точки зрения неопределенный интеграл пред­ ставляет собой однопараметрическое семейство кривых у = F(x) + С (С — параметр), обладающих следующим свойством: все касатель­ ные к кривым в точках с абсциссой х — хо параллельны между собой:

(F{x ) + С)' !*=*„ = F '(x0) = /(*<>)•

На рис. 8.1 изображен неопределенный интеграл

Кривые семейства [F(x) + С) называют

интегральными кривыми. Они не пересека­ ются между собой и не касаются друг друга. Через каждую точку плоскости про­ ходит только одна интегральная кривая. Все интегральные кривые получаются одна из другой параллельным переносом вдоль оси Оу.

* Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646— 1716) — немецкий философ и математик.

189

8.2. О С Н О В Н Ы Е СВОЙСТВА Н Е О П РЕ Д Е Л Е Н Н О Г О ИНТЕГРАЛА

Рассмотрим свойства неопределенного интеграла, вытекающие из его определения.

1 . Производная от неопределенного интеграла равна подын­ тегральной функции, дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функ­

a J f(x)dx = a(F(x) -)- С) = aF(x) -|- С\ = $ af(x)dx,

где Ci = аС. <

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих

= / 2 (дс). Тогда функции / ’(дс)±Ф(дс) являются первообразными функ­

190

6 (инвариантность формул интегрирования). Л ю бая формула ин­ тегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования

ренциал от левой и правой частей последнего равенства: d(\ f(u)du) =

— f(u)du и d(F(u)-\-C) = F'(u)du = f(u)du. И з равенств этих диф­ ференциалов следует справедливость свойства 6 . <]

8.3.Т А БЛ И Ц А ОСНОВНЫ Х ПРАВИЛ

ИФ ОРМ УЛ ИН ТЕГРИРОВАН ИЯ

Свойства 1— 6 неопределенного интеграла, доказанные в § 8.2, совместно с таблицей неопределенных интегралов образуют основ­ ные правила интегрального исчисления. Так как интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, то большинство из приводимых формул может быть получено обращением соответст­ вующих формул дифференцирования. Другими словами, таблица основных формул интегрирования получается из таблицы производ­ ных элементарных функций при обратном ее чтении (справа на­

I.(\ f(u)du)' = f(u).

II. d § f(u)du) = f(u)du. III. J dF(u) = F(u) + C.

Приведем таблицу основных неопределенных интегралов. (Отме­ тим, что здесь, как и в дифференциальном исчислении, буква и может обозначать как независимую переменную (и = х), так и функ­ цию от независимой переменной (ы = и(х)).)

1 . (j undu =

2 . ^ a“du —

191

3. $ e“du = eu + С.

4 . J i i L = l n \u\ + C.

5. J sin udu = — cos u -\-C .

6 . J cos udu = sin и + С.

7. = t g u + C.

J cos и s ^

8 . ( - * £ _ = - C t g « + С.

10. J ch udu = sh и + С.

не имеющие аналога в таблице производных, проверяются диффе­

Если первообразная /г(лг) функции /(*) является элементарной

функцией, то говорят, что интеграл j f(x)dx выражается в элемен­ тарных функциях или f(x) интегрируема в конечном виде. Однако не всякий интеграл от элементарной функции выражается в эле­ ментарных функциях. (Примеры таких интегралов будут даны в

§ 8.9.)

Используя основные правила интегрирования, можно находить интегралы от более сложных функций.

Пример 8.2. Н а й т и $(х2—4 cos {2х+ 1)+ e3x)dx.

Р е ш е н и е . И с п о л ь з у я п р а в и л а и н т е г р и р о в а н и я IV — VI и т а б л и ч н ы е и н т е г р а л ы I, 3, 6, п о л у ч а е м

$(х2—4 cos (2х + I) + e3x)dx = \ x‘dx —4 $cos (2х + I) d x + \ e 3xd x =

= у - 2 sin ( 2 * + 1) + - L e3x + C.

фе р е н ц и р о в а н и е м .

Вотличие от дифференциального исчисления, где, пользуясь таблицей производных, можно найти производную или дифференциал любой заданной функции, в интегральном исчислении нет общих приемов вычисления неопределенных интегралов, а разработаны лишь частные методы, позволяющие свести данный интеграл к таб ­

личному.

8.4. О С Н О В Н Ы Е М ЕТОДЫ ИН ТЕГРИРОВАНИЯ

Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов, осно­ ванное на приведении подынтегрального выражения к табличной форме и использовании свойств неопределенного интеграла, называ­ ется непосредственным интегрированием.

руема на некотором множестве Т и пусть X — множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда если на

обеих ее частей получаются одинаковые выражения. Учитывая, что f(x) = f(<p(0 ) — сложная функция, имеем

d(\ f(x)dx) = f(x)dx = f((p(t))(p'(t)dt.

Допустим, что интеграл, стоящий в правой части формулы (8.2), известен:

5 К ф (0)ф'( 0 Л = ? (0 + с .

Отсюда легко найти искомый интеграл в виде функции от х. Д ля этого уравнение х = ф(i) следует разрешить относительно t. Если t — = Ф“ (х), то

\f(x)dx = \f ( < p ( t w ( t ) dФ(оt = + с = Ф(Ф- ‘(*)) + с.

Заметим, что свойство 6 из § 8.2 по существу основано на методе замены переменной.

Гdx

Пример 8.3. Вычислить \

Jд /е ' — 1

Ре ш е н и е . Сделаем подстановку:

При интегрировании заменой переменной важно удачно сделать подстановку. Однако нельзя дать общее правило выбора замены переменной для интегрирования любой функции. Это можно сделать только для интегрирования отдельных классов функций (тригономет­ рических, иррациональных и т. д.).

Очень часто при вычислении интегралов пользуются приемом «подведения» подынтегральной функции под знак дифференциала. По определению дифференциала функции (p'(x)dx = d(<p(x)). Переход от левой части этого равенства к правой называют «подведением» множителя ф'(дс) под знак дифференциала.

Пусть требуется найти интеграл вида

194

\ f( ф(*))ф'(*)<**-

Внесем в этом интеграле множитель ф'(л:) под знак дифференциала, а затем выполним подстановку <р(х) — и (см. § 8 .2 , свойство 6 ):

Sf(<p(x))<p'(x)dx = $ f (ф(*М ф(*)) = ^ f(u)du.

Если интеграл f(u)du — табличный, его вычисляют непосред­ ственным интегрированием.

З а м е ч а н и е 1. При интегрировании путем «подведения» под знак диффе­ ренциала используют свойства дифференциала сложной функции. Напомним, что:

З а м е ч а н и е 2. При интегрировании «подведением» под знак дифференциала промежуточные обозначения <p(x) = и, как правило, опускают. В более сложных случаях подстановку делают явно, отделяя необходимые вычисления вертикаль­ ными линиями.

ф7 (*)/ф(*), то «подведение» множителя ф'(д:) под знак дифференциала

195

II. И н т е г р а л ы в и д а \ P „ ( x ) \ n x d x , J Л, (я) arcsin xdx,

5 P n(x) arccos xdx, J P n(x) arctg xdx, J Pn(x) arcctg x d x (Pn(x) — много­ член степени n относительно JC).Их можно найти по частям, принимая за и функцию, являющуюся множителем при Рп(х).

III. И н т е г р а л ы в и д а \еах cos bxdx, \еах sin bxdx (a, b —

числа). Они вычисляются двукратным интегрированием по частям.

повторном интегрировании получим равенство, содержащее исходный интеграл.

8.5. РА Ц И О Н А Л Ь Н Ы Е Д Р О Б И

Рациональной дробью R(x) называется дробь, числителем и зна­ менателем которой являются многочлены, т. е. всякая дробь вида

Если степень многочлена в числителе больше или равна степе­ ни многочлена в знаменателе (п ^ т), то дробь называется непра­ вильной. Если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе (п<Спг), то дробь называется пра­ вильной.

197