точками Хк — а-\- Ь — fe, f e = l , л, и с помощью Ярямых х = хк
построим л «прямолинейных» трапеций (эти трапеции заштрихованы на рис. 9.13).
Сумма площадей «прямолинейных» трапеций приближенно равна
площади |
криволинейной трапеции аАВЬ, т. е. |
|
|
|
\ ^ f { x ) d x x |
y o | ~ yi (x i — дс0) - Н |
У> |
( х г - х О + ,.,4- |
|
|
|
|
I |
</»-> + У» |
„ |
ч |
|
|
|
|
|
+ |
----- 2----- *■ " — х» - 0 > |
|
|
где yk = |
f(xk), f e = l , |
л,— основания |
«прямолинейных» |
трапеций; |
Xk — |
Ь— а |
|
высоты. |
|
|
|
|
== ------------ их |
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
получена приближенная |
формула |
|
|
ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ f ( x ) d x t t |
— -— |
^ У- у - — H{/i + У 2 + |
+ |
(9.17) |
а
которая называется формулой трапеций. П равая часть этой формулы
является |
интегральной |
л |
А _ п |
суммой /(л), которая при h = |
— - — - - > - 0 |
(л->- оо) стремится к |
данному интегралу /, т. е.точность |
формулы |
трапеций |
тем выше, |
чем |
больше п. При конечном шагеразбиения |
h, т. е. при конечном п, вычисления производятся с некоторой
погрешностью |
А(л), |
величина которой |
оценивается |
неравенством |
|
|
|
Д ( л ) < 5 д 1 Г М 1 - ^ = ^ . |
|
(9-18) |
Если задана погрешность вычислений А(л), то, пользуясь не |
равенством |
(9.18), |
можно |
подобрать |
такое |
число |
л разбиения |
отрезка [а; |
Ь] |
на частичные |
отрезки (или, что |
то же, |
шаг h ), При |
котором приближенное вычисление определенного интеграла будет выполнено с погрешностью, не превышающей заданную. Если по грешность вычисления не задана, то при фиксированном л можно оценить ее по формуле (9.18).
Метод параболических трапеций (метод Симпсоиа*), Данный метод приближенного вычисления определенного интеграла основан на замене графика подынтегральной функции дугами парабол, оси
которых |
параллельны оси Оу. |
|
|
|
|
|
|
|
Разобьем отрезок интегрирования [а; Ь] точками х0 = |
a, |
xi, |
Хг, ■ , |
Х2п = |
Ь на 2л равных частей. Обозначим через у0, у\, ..., |
yin |
значения |
функции |
f(x) в точках деления |
(рис. |
9.14). Пусть шаг разбиения. |
b |
2п |
= |
h, точки разбиения Хк = |
а - f- |
^ ~ а fe, fe = |
1,2л — 1. В |
силу |
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
свойства |
аддитивности определенного |
интеграла |
(см. § 9.4) |
|
* Томас Симпсои (1710— 1761) — английский математик.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\f ( x ) d x = |
\ f(x)dx + |
\ f(x)dx + ... + |
\ f(x)dx. |
|
|
О |
Xo |
Л 2 |
|
x 2 д _ 2 |
|
Через |
каждые |
три |
точки Мо, |
Mi |
и' М 2, М 2, М з и М 4,, ..., |
М 2„ - 2, |
М 2п—1 и М 2п проведены параболы, уравнения которых y k (x) = |
акх* + |
-\-bkX + |
Ck, k = \ , |
п. |
В |
результате |
получим |
п криволинейных тр а |
пеций, ограниченных сверху параболами. Эти трапеции изображены
|
на рис. 9.14. Заменим |
|
площадь криволинейной трапеции, огра- |
|
|
|
|
у>(х)--а1х 2+Ь1х+с1 |
|
|
|
м. Я . |
/ ^ У ш№ |
|
|
|
|
|
|
Ц 'ф . |
|
|
|
|
|
|
, , , 2 п - г 2п -7 " г п |
|
|
о 0=Х„ |
К |
|
хп |
ш / Ш |
|
|
I |
\п-Лп-1 *2п |
Х |
|
О |
|
2 |
|
|
|
|
Р и с . |
9.14 |
|
ниченной графиком функции y = f(x) на [а; Ь], суммой площадей фигур, лежащ их под параболами, т. е. положим
Ь |
X2 |
|
X, |
|
|
5 f(x)dx да5 (щ х 2 + Ь\Х + Ci)dx + |
5 (а2х 2+ b2x + c2)dx + ... + |
а |
хо |
|
х% |
|
|
|
+ |
\(а„х2 + b„x + c„)dx. |
(9.19) |
|
|
X i n - 2 |
|
|
|
Вычислим |
интеграл: |
|
|
|
|
Х г |
|
|
|
|
|
^ (щ х 2 + bix + Ci)dx = |
-у-(дс! — *о) + |
(Л — дс§) + |
С\(х2 — х 0) = |
---------- g----- ( 2 a i (Х2 + X2Xo + Хо) + |
ЪЬ\(х2 + Хо) + |
6 с 1) == |
Ь — а |
|
|
|
4Ь г Хг - | - х о + 4с , + |
6п |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
а \ х 2 + b\x2 + C i)-----Ь%п а (У° "1" ^У1"1" У2)- |
Итак, |
|
|
|
|
|
С(а,х2 + b\x + |
C\)dx = |
(уо + 4y t + у 2). |
Хо |
|
|
|
|
|
Аналогично |
|
|
|
|
X4 |
|
|
|
|
|
^ (а2х 2 + b2x + c2)dx = |
|
(у2 + 4у 3 + |
у 4), |
|
Xu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ (anx 2 + b„x + |
c„)dx — ± = ± ( у 2п_ 2 + |
4у2п-х + У2*). |
|
■*2я -а |
|
|
|
|
|
|
|
|
Просуммировав эти |
интегралы, согласно формуле |
(9.19), получим: |
|
Ь |
|
п |
Х п |
|
|
|
|
|
|
\ f ( x ) d x & |
2 \ |
(akx 2 -\-bkx-\-Ck)dx — |
|
|
a |
|
k— 1 |
* 2*-a |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
b — |
a |
( У 2k —2 + |
4 t/2 * — 1 + |
У 2k) |
|
|
|
|
2 |
|
И Л И |
|
6 n |
|
* = |
1 |
|
|
|
|
Оb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(y° |
У2п “H |
(j |
+ |
у* + ••• + |
У п —) + 4(t/| + |
|
\ f ( x ) d x ‘. |
|
|
|
|
2 /2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
+ {/з-f-.---f-f/2n-i))- |
|
(9.20) |
|
Эта формула называется формулой парабол или формулой |
Симпсона. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Можно доказать, что абсолютная погрешность вычисления опре |
деленного интеграла |
по формуле Симпсона не превосходит |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.21) |
|
Заметим, что если формула Симпсона применяется для вычисле |
ния |
интегралов вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$ P„(x)dx, |
|
|
|
где |
Р п(х) — многочлен |
степени |
п, |
то при |
3 |
sup |Я^у(дс)| == 0 , |
[а; Ъ] и, следовательно, вычисления производятся без погрешности.
При приближенном вычислении определенного интеграла на ЭВМ оценка точности вычислений по формуле (9.21^ как правило, не
применяется ввиду трудности нахождения s u ^ \ f |
(дг)|. В таких слу |
чаях используют правило |
Рунге*. |
|
Д ля метода Симпсона |
правило Рунге основано на соотношении |
|
]hn~ ^ < Д, |
(9.22) |
АА
где /„, hn — приближенные значения определенного интеграла, вы численные при разбиении отрезка интегрирования на п и 2п частей соответственно; Д — заданная точность. При каждом последующем приближении число отрезков разбиения удваивается. Если условие (9.22) выполнено, за приближенное значение интеграла принима-
ется значение 12„, т. е. / = 12„± Д-
Карл Д авид Рунге (1856— 1927) — немецкий физик и математик.
Пример 9.17. Вычислить методом Симпсона с погрешностью, не превышающей
1
■d x
0,001, интеграл
$!+**■
Р е ш е н и е . Вначале определим, на сколько частей следует разбить отрезок интегрирования [0; 1], чтобы получить заданную точность вычислений. Так как по условию погрешность не долж на превышать 0,001, то я надо подобрать так, чтобы выполнять неравенство
4 < „ к
Д л я данного примера
,и - |
" W - o r V 0 - ю'‘’+ 5 А |
sup IfIVC*)I = |
24 sup |5x4 — 10x2 + 11 = 2 4 - 4 = 96. |
[0; 1] |
[0; 1] |
Итак, приближенное вычисление определенного интеграла будет выполнено с заданной точностью:
96 <0,001=*»л4 3* - ^ - = * » л З * 2 ,4 . 180 (2л)4
Следовательно, можно принять л = 3, 2л = 6. Вспомогательные вычисления запишем в табл. 9.2.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 9.2 |
к |
|
|
|
|
|
1/(1 +xl) |
к |
|
»*=(•/(! + ■*!) |
0 |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
4 |
2 /3 |
9/13 |
1 |
1/6 |
|
|
|
36/37 |
|
5 |
5/6 |
36/61 |
2 |
1/3 |
|
|
|
|
9/10 |
|
6 |
1 |
1/2 |
3 |
1/2 |
|
|
|
|
4 /5 |
|
|
|
|
На основании формулы |
Симпсона |
(9.20) |
имеем |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S 7 Т ? ~ |
* 1 j ( 1 + 1,5 + 2( w |
+ 4") + |
|
|
0 |
+ |
4(36/37 + |
4 + |
4 /5 + |
\ |
|
|
|
|
36/61)1 = 0,7854. |
|
Поскольку при л = |
3 |
Д <; |
2 4 3 0 |
0,00045, то |
|
|
|
|
|
|
1 |
d x |
|
|
|
|
|
|
|
S |
0,7854 ± 0,00045. |
|
|
|
|
|
2 = |
|
|
|
|
+ * 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
1 ’ |
|
|
|
|
|
1 |
|
З а м е ч а н и е . Так как \ |
— d x |
J |
11 + х |
о
__ |i ________ |
л |
= arctg х I ‘= |
— , то, применяя метод Снмп- |
1° |
4 |
сона, можно |
вычислить |
значение |
числа я с любой наперед заданной точностью. |
В частности, |
при разбиении отрезка интегрирования |
на 2л = 6 частей |
|
л » |
(0,7854 ± |
0,0004) • 4 = 3,1416 ± |
0,0016. |
Для сравнения отметим, что я = 3,1415..
Очевидно, что точность приближенных формул вычисления опре деленных интегралов возрастает с ростом п, т. е. всегда можно подо брать такое п, чтобы погрешность А вычислений определенного интеграла не превосходила заданной.
Приближенное вычисление определенных интегралов с помощью программируемых микрокалькуляторов и ЭВМ. Каждую из при ближенных формул (9.15), (9.17) и (9.20) вычисления определенных интегралов можно рассматривать как алгоритм их приближенного вычисления. Поэтому рассмотренные методы широко используются для вычисления определенных интегралов на ЭВМ.
Ниже приводится программа вычисления определенных интегра лов по формуле Симпсона (см. программу 1) на программируемом микрокалькуляторе «Электроника БЗ-34».
Программа 1
Адрес |
Н аж им ае |
Код |
Адрес Н аж имае |
Код |
Адрес |
Нажимае |
Код |
коман |
мые кла |
опера |
коман |
мые кла |
опера |
коман |
мые кла |
опера |
ды |
виши |
ции |
ды |
виши |
ции |
ды |
виши |
ции |
00 |
ПО |
40 |
16 |
46 |
46 |
32 |
X |
12 |
01 |
С /П |
50 |
17 |
1 |
01 |
33 |
ипс |
6 [ |
02 |
ПА |
4— |
18 |
пп |
53 |
34 |
+ |
10 |
03 |
С /П |
50 |
19 |
32 |
32 |
35 |
ПС |
4[ |
04 |
ПВ |
4 |
20 |
4 |
04 |
36 |
FL0 |
5Г |
05 |
П П |
53 |
21 |
пп |
53 |
37 |
40 |
40 |
06 |
46 |
46 |
22 |
32 |
32 |
38 |
Б П |
51 |
07 |
ПС |
4 |
23 |
2 |
02 |
39 |
26 |
26 |
08 |
И П А |
6— |
24 |
Б П |
51 |
40 |
И П А |
6— |
09 |
ИП В |
6 |
25 |
18 |
18 |
41 |
ИПВ |
6L . |
10 |
ПА |
4— |
26 |
ипс |
6 |
42 |
+ |
10 |
11 |
— |
11 |
27 |
3 |
03 |
43 |
ПА |
4— |
12 |
ипо |
60 |
28 |
4 - |
13 |
44 |
ПП |
53 |
13 |
— |
13 |
29 |
ипв |
6 |
45 |
46 |
46 |
14 |
пв |
4L |
30 |
X |
12 |
|
|
|
15 |
пп |
53 |
31 |
С /П |
50 |
|
|
|
Д ля применения программы 1 необходимо составить подпрограм му вычисления значений подынтегральной функции f(x) при условии,
что значение аргумента х |
находится |
в регистре РА. |
|
|
|
|
1 |
|
Пример 9.18. |
Вычислить |
^e ~ * '/2d x по |
формуле Симпсона с погрешностью, |
не превосходящей |
0,00001, |
используя программируемый микрокалькулятор БЗ-34. |
Р е ш е н и е . |
Заметим, |
что данный интеграл не вы ражается в элементарных |
функциях. Д л я |
обеспечения |
заданной точности вычислений необходимо подобрать |
такое число п разбиений отрезка [0; 1] на частичные отрезки, чтобы выполнялось неравенство
Так |
как f(x) = е --"V2, то f lv(x) = |
е |
**/2(лг4 — бдс2 + 3), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sup |
I в —JC*/2(jc4 — блг2 + |
3)| = |
sup |
\х* — б*2 — 3| |
= 3 . |
|
|
|
|
|
|
(0; I] |
|
|
|
|
|
|
[0; Ц |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<0,00001=*» л |
|
100 000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
960 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
180 (2л)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д л я |
выполнения |
данного |
неравенства |
достаточно |
взять |
л = |
4, т. е. |
2п = 8. |
Составим |
подпрограмму вычисления значений |
функции f(x) = |
e ~ x'/2. Так |
как |
программа |
оканчивается |
на 45-м адресе, подпрограмму начнем |
с 46-го |
адреса: |
|
|
|
|
|
Адрес ком анды |
Н а ж и м а ем ы е |
клавиш и |
|
К о д |
операции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46 |
|
|
|
|
ИПА |
|
|
|
|
|
6— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
47 |
|
|
|
|
F*2 |
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
— |
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
50 |
|
|
|
|
/ - / |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51 |
|
|
|
|
Fe1 |
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52 |
|
|
|
|
В /0 |
|
|
|
|
|
52 |
|
|
|
|
Д л я |
вычисления |
исходного |
интеграла по |
приведенной |
выше |
программе |
1 не |
обходимо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
перевести |
микрокалькулятор |
в |
режим |
программирования, |
н аж ав клавиши |
F и П Р Г ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
ввести |
программу |
(адреса команд 00— 45) |
н подпрограмму |
(адреса |
команд |
46— 52) |
в память |
микрокалькулятора; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) перевести микрокалькулятор в режим автоматических вычислений, |
наж ав |
клавиши |
F |
и АВТ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) перевести счетчик адресов на 00 нажатием |
клавйи и |
В /0; |
|
|
|
5) |
ввести |
значения |
2л = 8, .6 = |
1, |
а = 0 |
в |
регистр |
РХ, |
наж ав |
последовательно |
клавиши: 8 |
С /П |
1 С /П |
0 С /П . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После |
останова |
на |
индикаторе |
высветится |
приближенное |
значение интеграла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ = |
^ е ~ х',г dx = |
0,855626. |
|
|
|
|
|
|
Пример 9.19. Составить на |
Ф ОРТРА Не |
программу вычисления методом Симп |
сона интеграла |
$ х In (1 + |
x )d x |
с точностью 0,001. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Запишем |
Ф ОРТРА Н -программу |
вычисления |
определенного |
инте- |
|
ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
грала |
J f(x)dx |
по формуле Симпсона и подпрограмму вычисления |
подынтегральной |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции х1п (1 + х ) с заданной точностью е |
(отметим, что оценка точности вычисле |
ний в программе |
выполняется по правилу Р ун ге): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
READ |
(1,1) А. В, EPS. N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 FORMAT (3F5.3.I5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T - F |
(А) + F |
(В) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 - 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2DN “ N
Н = (В- A ) /DN Т 1 = 0 .
T2 ” 0.
N1 = N-2
X = А
DO 3 1 = 1 , N1,2
х = х + н
Т1 =Т1 + F (X) Х ' Х + Н
3 T2 = T2 + F (X) Х = Х + Н
T t = T 1 + F ( X )
S “ (T + 4 .- T 1 + 2.-Т2) * Н/3.
IF |
(IO.EQ.O) GO ТО 4 |
IF |
(A B S (( S 1 - S )/ 1 5 .) . LT .E P S ) G 0 T 0 5 |
410 = 1 S I = s
N - N * 2 GO TO 2
5WRITE (3,6) S
6FORMAT ( 2 X ,' S = ', F6.3) STOP
END
FUNCTION F (FX)
|
F = F X * A L O G |
(FX + 1.) |
|
RETURN |
|
|
END |
|
Входные параметры: A — ннжннй |
предел интегрирования; В — верхний предел |
интегрирования; E P S — заданная точность; N — начальное число (четное) точек де |
ления отрезка [а; |
Ь]. |
|
Д л я данного |
примера А = 0, В = |
1, E P S = 0,001, N = 2. |
Результат счета: / = 0,250.
10. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
10.1. В Ы Ч И С Л Е Н И Е П Л О Щ А Д Е Й ПЛОСКИХ Ф ИГУР В П РЯМ О У ГО Л ЬН О Й СИСТЕМ Е КОО РДИ НАТ
Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что если /(х) ^ 0 Vjc 6 [а; Ь], то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью Ох и прямыми х = а, х — Ь (рис. 1 0 . 1 ), может быть вычислена по формуле
( 1 0. 1)
причем S ^ 0 . Если /( jc ) < 0 V * 6 {a; Ь], то и \ f ( x ) d x ^ . 0, a <L b
(рис. 10.2). Следовательно, в этом случае |
|
|
ь |
ъ |
ъ |
|
S = | \f(x)dx\ = — \ f ( x ) d x = |
— \ydx . |
(Ю.2) |
а |
а |
а |
|
Если ж екриволинейная |
трапеция ограничена кривой |
* = ф(у), |
осью ординат Оу и прямыми у = с, у — d (рис. 10.3), то ее площадь
определяется |
формулами: |
|
|
|
d |
|
d |
|
S == 5 ф(y)dy = |
5 xdy, |
|
С |
[ |
С |
если ц>(у)^0 |
Чу 6 [с; d ] (рис. |
10.3, а), |
и |
|
d |
|
d |
s = \\q>{y)dy\ = — \xdy,
Сс
если ф ( у ) < 0 V y 6 [c; d] (рис. 10.3, б).
Если |
подынтегральная функция f(x) конечное число раз меняет |
знак |
на |
отрезке |
[а; b], то интеграл ( 1 0 . 1 ) равен алгебраической |
сумме |
площадей |
соответствующих криволинейных трапеций, л еж а |
щих над осью Ох (со знаком « + ») и под этой осью (со знаком « — »)
(рис. 10.4). Д ля того чтобы получить общую площадь заштрихован ной фигуры (см. рис. 10.4), отрезок интегрирования [а\ Ь] надо раз бить на частичные отрезки, на которых функция f(x) сохраняет знак, и применить формулы (10.1), (10.2). Тогда
5 = — \f(x )dx + |
J f(x)dx — J f(x)dx + |
J f(x)dx. |
о |
Сi |
Сз |
са |
Если |
надо вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями |
у = f\x), |
у = g(x), x — a, х = Ь, то эту площадь рассматривают как |
разность площадей дву^ криволинейных трапеций aA 2B 2b и aA\B\b (рис. 10.5). В этом случае можно воспользоваться одной из формул:
S = \ ( f ( x ) - g ( x ) ) d x ,
a
если f ( x ) ^ g ( x ) V* 6 [а; b] (рис. 10.5, а), или
S = \ ( g ( x ) - f ( x ) ) d x ,
a
если |
g { x ) ^ f { x ) V;с6 [а; Ъ] (рис. 10.5, б). |
В |
случае, когда разность f(x) — g(x) не сохраняет знак на от- |
