Герасимович(математический анализ)

9.8. НЕСО БС ТВ ЕН Н Ы Е ИН ТЕГРА Л Ы

Понятие несобственных интегралов. При введении понятия опре­ деленного интеграла как предела интегральной суммы (см. § 9.1) предполагалось, что выполняются следующие условия: 1) пределы интегрирования а и Ь являются конечными; 2) подынтегральная функция f(x) на отрезке [a; ft] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода. В этом случае определенные интегралы называются собственными. Если хотя бы одно из указанных условий не выполняется, то интегралы называются несобственными. При этом определение 9.1 теряет смысл. Действительно, в случае беско­ нечного отрезка интегрирования его нельзя разбить на п частичных отрезков конечной длины, а в случае неограниченной функции ин­ тегральная сумма не имеет конечного предела.

Несобственные интегралы являются обобщением определенных интегралов в случаях бесконечных промежутков интегрирования и неограниченных функций.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегри­ рования (первого рода). Пусть функция f(x) непрерывна на проме­ жутке [а; о о [. Тогда она будет непрерывной на любом конечном от­ резке [а; Ь], а < Ь . Д ля функции f(x), непрерывной на [а; Ь], сущест­ вует определенный интеграл 1(b), зависящий от верхнего предела

Этот интеграл определяет некоторую величину, например площадь

ченно увеличивать верхний предел интегрирования (b->~-f оо). При этом возможны два случая: либо 1(b) при £>->- + оо имеет предел, либо не имеет.

О п р е д е л е н и е 9.2. Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования от непрерывной функции f(x) на

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования от непрерывной функции f(x) на промежутке ]— оо; Ь]:

и конечны, то соответствующие несобственные интегралы называются сходящимися, если пределы не существуют или бесконечны,— то

расходящимися.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интег­

228

рирования от непрерывной функции f(x) на промежутке ] — о о ; оо[,

оо

обозначаемый $ f(x)dx, предварительно представляют в виде

причем этот несобственный интеграл называется сходящимся, если оба предела существуют. Если хотя бы один из пределов не сущест-

ОО

теграл \ f(x)dx означает, что фигура, ограниченная кривой у =

а

— f(x) ^ 0 , прямыми х = а, у = 0 и бесконечно вытянутая в направ­ лении оси Ох, имеет конечную площадь S (рис. 9.8). Аналогичная геометрическая интерпретация имеет место для сходящихся несобст­

венных интегралов (9.9) и (9.10).

оо ^

1 + х 2

т. e. данный интеграл сходится и определиет площадь S бесконечной криволинейной трапеции, изображенной на рис. 9.9.

Несобственные интегралы первого рода, определяемые форму­ лами (9.8)— (9.10), обладают рядом свойств, присущих определен­

ным (собственным) интегралам. В частности, основная формула

ь

интегрирования Ньютона — Лейбница $ f(x)dx = F(x) I ba = F(b) — F(a)

a

где через F(<x>) обозначен limF(fe).

ft—►оо

Применение формулы Ньютона — Лейбница к несобственным интегралам первого рода позволяет сократить записи.

Например,

Je *dx = —i lo“ = — е - °° + 1 = 1.

Из формулы (9.11) следует, что несобственный интеграл сходится, когда существует конечный предел F(b) при Ь -*оо .

Приведем без доказательства три теоремы, с помощью которых можно исследовать вопрос о сходимости некоторых несобственных интегралов первого рода.

Теорема 9.6. (признак сравнения). Если на промежутке [а; оо[

230

определены две неотрицательные функции f(x) и ср(л:), интегрируемые на каждом конечном отрезке [а; Ь], причем

О f(x) ^ ф(л:) V х ^ а,

оо

то из сходимости интеграла $ (p(x)dx следует сходимость интеграла

5 f(x)dx, а из расходимости интеграла $ f(x)dx следует расходимость

интеграла $ ср(x)dx.

а

Теорема 9.7 (предельный признак сравнения). Еслй на проме­ жутке [а; оо [ определены две положительные функции f(x) и ср(х), интегрируемые на любом конечном отрезке [а; Ь], и существует конеч­ ный предел

— А > 0 ,

х— оо q>(jc)

ОООО

то несобственные интегралы \f{ x )d x и $ ср(x)dx сходятся или расхо-

аа

дятся одновременно.

Теорема 9.8. Если на промежутке [а; оо [ функция у = f(x) меняет

оо

знак и несобственный интеграл $ \f(x)\dx сходится, то сходится также

а

оо

и $ f(x)dx.

а

оо

Отметим, что несобственный интеграл $ f(x)dx называют абсо-

а оо

Вопрос о сходимости данного интеграла можно решить и с помощью .предель­ ного признака сравнения (теорема 9.7). Д л я этого необходимо подобрать неотри­

231

Несобственные интегралы от неограниченных функций (второго рода). Пусть функция f(x) определена на промежутке [а; Ь[ и неограничена в левосторонней окрестности точки b (Ь — точка разры ва),

т. е. lim f(х) — оо. Будем считать, что функция f(x) интегрируема

х-*-Ь — 0

Ь—г

на отрезке [а; b — е] для любого е > 0 : существует интеграл $ f(x)dx,

а

зависящий от переменного верхнего предела интегрирования.

О п р е д е л е н и е 9.3. Несобственным интегралом от функции f(x), непрерывной на промежутке [а\ Ь[ и имеющей бесконечный разрыв

в точке х = Ь, или несобственным интегралом второго рода называ-

Ь— е

ется предел интеграла \ f(x)dx при е->-0 :

а

ЬЬ — е

а'-*-0 а

Аналогично если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке х — а, то полагают

Если же функция f(x) имеет разрыв второго рода в некоторой внутренней точке с отрезка [а; Ь], то, пользуясь свойством адди­ тивности определенного интеграла (см. § 9.4), данный интеграл пред­ ставляют в виде суммы двух интегралов:

Если пределы в правых частях формул (9.12) — (9.14) суще­ ствуют и конечны, то соответствующие несобственные интегралы от разрывной функции в точках а, Ь и с называются сходящимися,

впротивном случае — расходящимися.

Сгеометрической точки зрения сходящийся несобственный ин­

0e

т.e. несобственный интеграл расходится. Геометрически это означает, что площадь криволинейной трапеции гАВЬ

I

5(e) = || у = — 1п е

е

при е-»-0 неограниченно возрастает (рис. 9.11).

Пример 9.12. Исследовать иа сходимость несобственный интеграл

ь

f dx ,

J i r ^ r e 6 R > e < 4 -

a

Ре ш е н и е . Рассмотрим два случая.

1.Пусть а Ф 1. Тогда

b b— в Ь— е

233

Вопрос о сходимости несобственных интегралов второго рода можно решить с помощью приводимых ниже теорем, в которых сфор­ мулированы признаки сходимости таких интегралов.

Теорема 9.9 (признак сравнения).

Пусть в левой (правой) окрестности точки Ь (точки а) определены две неотрицательные функции f(x) и ф ( х ) > причем 0 ^ f(x) <1 ф(х). Тогда из схо­

димости несобственного интеграла

ь

5 Ф(x)dx следует сходимость интегра-

а

b

дует расходимость интеграла $ (p(x)dx.

а

Теорема 9.10 (предельный признак сравнения). Пусть функции f(x) и ф (*) положительны на промежутке [a; b[, b — точка бесконечного разрыва функций f(x) и ф (х). Тогда если существует конечный предел

234

Так как несобственный интеграл от «большей» функции

сходится, то иа основании теоремы 9.9 несобственный интеграл от «меньшей» функции

235

9.9. П Р И Б Л И Ж Е Н Н Ы Е М Е Т ОДЫ В Ы Ч И С Л Е Н И Я О П Р Е Д Е Л Е Н Н Ы Х ИНТЕГРАЛОВ

Постановка задачи. Пусть требуется вычислить определенный интеграл

I = ^ f(x)dx.

а

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь] и известна ее первообразная F(x), то определенный интеграл от этой функции в пределах от а до Ь может быть вычислен по формуле Ньютона — Лейбница:

ь

I = ^ f(x)dx = F(b) — F(a).

а

Однако в некоторых случаях невозможно найти первробразную F(x) по ряду причин: либо F(x) не выражается через элементарные функции, либо выражается достаточно сложно. В этих случаях опре­ деленный интеграл вычисляют приближенно.

Известно, что определенный интеграл есть некоторое число. Л ю ­ бой приближенный метод интегрирования основан на вычислении

ных интегралов приближенными методами можно сформулировать две задачи: 1 ) найти приближенное значение числа / и оценить погрешность вычислений; 2 ) найти приближенное значение числа / с заданной погрешностью Д, т. е. подобрать метод вычислений таким

образом, чтобы |/ — / 1С А. Рассмотрим несколько основных мето­ дов решения этих задач.

Метод средних прямоугольников. Пусть требуется вычислить интеграл

I — J f(x)dx,

а

где f(x) — непрерывная функция. Д ля простоты рассуждений огра­ ничимся случаем, когда f ( x ) ^ 0. В основе приближенного вычисле­ ния определенного интеграла / лежит его геометрический смысл: I выражает площадь криволинейной трапеции. Разобьем отрезок

236

Следовательно,

т. е. площадь криволинейной трапеции аАВЬ приближенно равна площади ступенчатой фигуры, заштрихованной на рис. 9.12.

Формула (9.15) называется формулой средних прямоугольников.

Предположим, что существует непрерывная вторая производная f"(x) функции f(x) на отрезке [а; Ь]. Тогда можно показать, что вычисление интеграла / по формуле средних прямоугольников про­ изводится с погрешностью, величина которой оценивается нера­ венством

237