Герасимович(математический анализ)

т. е.

dl2= dx2+ dy2

(аналог теоремы П ифагора).

В § 7.4 формулы дифференциала дуги были получены при иных предположениях. Геометрический смысл дифференциала объяснен там же.

Воспользовавшись свойством интеграла от дифференциала функ-

ь

ции, получим еще одну формулу для вычисления длины дуги l = \dl.

а

10.4. В Ы Ч И С Л Е Н И Е ОБЪ ЕМ О В ПРОСТРАНСТВЕННЫ Х ТЕЛ

Вычисление объемов тел по известным поперечным сечениям.

Пусть дано тело Т, ограниченное замкнутой поверхностью, и изве­ стна площадь любого его сечения плоскостью, перпендикулярной к некоторой прямой, например к оси абсцисс (рис. 10.18, а). Эти

сечения будем называть поперечными. Положение поперечного се­ чения определяется абсциссой точки его пересечения с осью Ох.

Вообще говоря, с изменением х площадь S поперечного сечения будет изменяться, т. е. является некоторой функцией от х. Обозна­ чим ее S(x). Функцию S(x) будем считать непрерывной на отрезке [а; Ь], где а и b — абсциссы крайних сечений тела Т.

Д ля вычисления объема V тела Т применим алгоритм составления интегральной суммы и предельного перехода к определенному ин­ тегралу.

258

Тогда каждый слой тела Т представляет собой прямой цилиндр с основанием S(g*) и образующими, параллельными оси Ох. Объем такого частичного прямого цилиндра вычисляется по формуле

А П = S(£*)Ax*,

где АХк — высота частичного цилиндра.

Объем V всего тела Т приближенно равен объему фигуры, со­ стоящей из п ступенчатых частичных цилиндров (см. рис. 10.18. б):

п

Заметим, что сумма 2 5(£*)Алг* является интегральной суммой k=\

для непрерывной функции S(x) на отрезке [а; Ь]. Следовательно,

пЬ

V = lim 2 S(i*)Ax* Ш \ S(x)dx.

Таким образом, объем тела, заключенного между двумя плоско­ стями х = а и х = Ь, в случае, если площадь сечения, проведенная перпендикулярно к оси Ох, есть известная функция от х: S = S(x) V x 6 [a; b], вычисляется по формуле

V = j S(x)dx. ( 10. 12)

259

случая площадь поперечного сечения эллипса

S = S(h) = nbc(\ — А2/ а 2).

Искомый объем тела определим по формуле (10.12), в которой заменим х иа Л:

Пример 10.14. Найти объем клииа, отсеченного от кругового цилиндра плоско­ стью, проходящей через диаметр его основания и наклоненной к основанию под углом а. Радиус основания равен R (рис. 10.20).

Р е ш е н и е . Примем за ось Ох диаметр основания кругового цилиндра, по которому секущая плоскость пересекает основание, а за ось Оу — перпендикулярный ему ди а­

Вычисление объемов тел вращения. Рассмотрим тело, образован­ ное вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции аАВЬ, огра­ ниченной кривой y = f(x), осью Ох и прямыми х = а, х = Ь .(рис. 10.21). Если пересечь это тело плоскостями, перпендикулярными

260

к оси Ох, получим круги, радиусы которых равны модулю ординат у = f(x) точек данной кривой. Следовательно, площадь сечения рассматриваемого тела

S(x) = я у 2 = я (f(x))2.

Применяя формулу (10.12), получаем формулу для вычисления объема тела вращения

(10.13)

Если тело образовано вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции cCDd (рис. 10.22), то его объем вычисляется по формуле

d d

V = я 5 x2dy = я \ (ф(у))2 dy,

СС

где х = ц>(у), c ^ . y ^ . d ,— уравнение кривой CD.

Пример 10.15. Вычислить объем тела, образованного вращением эллипса — +

У 2

+ 2^ = 1 вокруг оси Ох.

Ь

Р е ш е н и е . По формуле (10.13) имеем

Пример 10.16. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривой у = ех (JC С 0) (рис. 10.23).

Р е ш е н и е . Согласно формуле (10.13), получим

V

Л * = т « 2‘ ° = ^ - ( 1 - . - “ ) =

' Н

Р и с . 10.23

261

Пример 10.17. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох

оо

движется материальная точка. Пусть начальная и конечная точки пути имеют абсциссы а и b(a<zb) соответственно. В каждой точке отрезка [а; Ь] модуль силы принимает определенное значение и явля ­ ется некоторой функцией абсциссы, т. е |F | = F (x ) . Таким образом,

F = | F | i — -F(x)i, s = (b — a)i, | s | = 6 — a.

Будем считать функцию F(x) непрерывной. Д ля нахождения ра ­ боты переменной силы вновь используем алгоритм, основанный на составлении интегральной суммы и предельном переходе к опреде­ ленному интегралу.

1.Разобьем отрезок |s| = la; b\ на п частичных отрезков точка

Xk: a — x 0- < x \ < x 2 < . . . < x n = b, где Ах* = х* — х* _ ь k = \ , п ,— длина k-ro частичного отрезка. Как известно, работа на всем пути равна сумме работ на малых его участках. Обозначив работу на всем пути через А, а работу на частичном отрезке [хк- й х*] через AAh, получим

262

прерывности функции F(x) существует и выражает работу перемен­

0,1

А - j 40xdx = 20х* IS-1= 0,2 Д ж .

о

10.6.В Ы Ч И С Л Е Н И Е РАБОТЫ

ЭЛ ЕК ТРО Д В И ГА ТЕЛ Я ПЕРЕМ ЕНН ОЙ МОЩНОСТИ

Рассмотрим теперь другую задачу на отыскание работы. Найдем

вестно, при постоянной мощности двигателя N его работа A = NAt. Воспользуемся алгоритмом составления интегральной суммы и

предельного перехода к определенному интегралу.

263

п

где / о — максимальное значение тока; со — круговая частота; t — время, а сопротивле­

10.7. В Ы Ч И С Л Е Н И Е С И Л Ы Д А В Л Е Н И Я Ж И Д К О С Т И

Пусть пластинка, имеющая вид криволинейной трапеции, погру­ ж ена вертикально в жидкость, плотность которой р, таким образом, что ее боковые стороны параллельны поверхности жидкости и нахо­ дятся ниже ее уровня на расстояниях а и b соответственно (рис. 10.25). Требуется определить силу давления жидкости на пластинку.

Если пластинка находится в горизонтальном положении на глу­ бине h от поверхности жидкости, то сила давления Р жидкости на эту пластинку будет равна весу столба жидкости, основанием кото­ рого является данная пластинка, а высотой — глубина h, т. е.

где g = 9,8 м /с2; S — площадь пластинки.

Если же пластинка погружена в жидкость вертикально, то давле­ ние жидкости — сила давления на единицу площади — изменяется с глубиной погружения.

При решении задачи будем учитывать, что по закону Паскаля давление в жидкости передается одинаково по всем направлениям, в том числе и на вертикальную пластинку.

Выберем систему координат так, как показано на рис. 10.25. Пусть уравнение кривой А В имеет вид у = f(x), где функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b].

Д ля нахождения силы давления снова используем алгоритм составления интегральной суммы и предельного перехода к опреде­ ленному интегралу.

1.Разобьем отрезок [а; b} на п частичных отрезков [x*-i;

точками а = х0 < х\ < ... <Lxn- \ < х п = Ь. Обозначим Ах к = Хк —

264

— Xk~\, k = 1, п. Проведем через точки xo, *i, хп прямые, парал­

ной полоски

Sk « f(lk)Axk.

3. Считая, что все точки каждой элементарной пластинки нахо­ дятся на одной глубине h = значение силы давления на нее можно вычислить по формуле (10.16):

Просуммировав найденные значения АР*, k = i, п, получим при­ ближенное значение силы давления жидкости на всю пластинку:

П

Рп = 2 gp£*/(£*)Ax*. k=\

Точность этого приближенного равенства тем больше, чем меньше длины частичных отрезков [xk-i', Xk}.

4.З а точное значение Р силы давления жидкости на пластин

принимается предел Рп при А, = max{Ax*}-»-0: [а; 6]

п

Р= П т 2 gplkf(lk)bxk.

)i—0 ft=l

Так как Рп представляет собой интегральную сумму для непре­ рывной функции рxf(x) на отрезке [a; ft], то указанный предел суще­ ствует и выражается определенным интегралом

(рис. 10.26), ограниченная прямыми х = а, х = Ь и кривыми у =

265

на поверхности. Вычислить силу давления жидкости на каждую из сторон этой

одну из сторон его четвертой части и удвоить полученный результат. Выберем систему

а =7/7

10.8. В Ы Ч И С Л Е Н И Е СТАТИЧЕСКИХ МОМЕНТОВ, МОМЕНТОВ ИН Е Р Ц И И И КОО РДИ НАТ ЦЕНТРА МАСС

Общие сведения. Пусть на плоскости задана прямоугольная

точки А(х; у), в которой сосредоточена масса т, относительно оси

О п р е д е л е н и е 10.2. Моментом инерции материальной точки А(х; у), в которой сосредоточена масса т, относительно оси Ох (оси Оу, точки О) называется величина, численно равная произве­ дению массы этой точки и квадрата расстояния до оси Ох (оси Оу, точки О):

/* = т у 2, 1у = т х 2, 10 = 1х + 1у = т(х2 -\-у2).

этой точки относительно любой ее оси равен статическому моменту данной системы материальных точек относительно той же оси.

Пусть требуется вычислить статические моменты, моменты инер­ ции и координаты центра масс однородной плоской материальной линии или плоской материальной фигуры с известной плотностью р

267