Герасимович(математический анализ)

водные f'(x) и g'(x)

удовлетворяют тем

ж е требованиям, что и са-

ми функции f(x) и g(x), и

lim

Г"(и

существует,

применив дважды

' „) {

правило Лопиталя,

найдем

*-*“*0

§

\Х)

lim

=

lim

^

=

lim

•

х—Хо g(x)

х-»х<,

g (*)

х - х а g"(x)

личного типа с помощью

правила

Лопиталя.

I

•€* € ~ х _2х

Пример 5.15. Вычислить ПГП —

Р е ш е н и е .

Непосредственная

подстановка

предельного

значения

х — 0 при-

водит к неопределенности вида

0

„

ее раскрытия трижды применим правило

Д л я

Лопиталя:

е‘ - е ‘ - 2 х

lim

ех + е ~ х — 2

е* — е ~ х

lim ---------- 5---------=

----------— 5-------- =

lim ------- -------- --

x-*-0

X

x--0

3 x

x-*-0

OX

=

,.

■ex+ e - x

-5- .

1

lim

------5 ----- =

3

* - ► 0

6

Пример 5.16. Вычислить

lim

In 5*

c tg *

x ^o + o

Р е ш е н и е .

Непосредственная

подстановка

предельного

значения

приводит к

ОО

\ / х

hm

In 5*

lim

—

- = lim

..—sin2*

— -----

------- г—

--------------x

х ^о + о

c tg *

х ^о + о

l / ( — s m J x) x-»o+o

=

lim

sm * lim

sin *

=

0 .

*---------

* - ►0 +

0

x^O+ O

Пример 5.17. Вычислить

l i m f —---------7—— V

x ^ 0 \ X

tg * /

lim

I( -—- —-

^ -=U lim

= Hm

=

Hm

1/COS

'

~

1

о

\ х

tg

*х /

о X tg *

x-~0

tg * +

* /co s

*

=

hm

— ,

sin2 *

= lim

sin 2 *

— =

0 .

, ■ n . , 0

-------------5

ж— 0

* +

(sin

2 * ) / 2

лг^о

1 +

cos 2

*

Пример 5.18. Вычислить

lim

(* In *).

0 + 0

'

Р е ш е н и е .

Непосредственная

подстановка

предельного

значения приводит к

lim ( x l n x ) = lim

*n * -

lim

— У-?~ - =

lim ( —x) = 0 .

jt-»-o+o

*-*o+o 1/дс

*-*o+o

— 1/jc

*-*o+o

Пример 5.19.

Вычислить

lim X х.

lim

In у =

lim

дс In х = lim

- 0 ,

*-►0 + 0 -

*-»-o+ o

*-*o+ o

1/дс

lim

In y = In

lim

у = 0 =^- lim

у — 1 .

*-►0 + 0

x-M> + 0

x^-0 + 0

Пример 5.20. Вычислить

lim

дс1/"'/*-

J t —► +

OO

Р е ш е н и е . После

непосредственной

подстановки

предельного значения по­

функции приводим данную неопределенность к

виду

— . Обозначим у = х [

ОО

тогда 1п у = —р -ln дс. Имеем:

V*

1п у =

lim

In х

=

lim

2

lim

— —

— — — 0 ,

w + "

^

+o°

V*

^

+ °° V*

lim

In I/ =

In

lim

y =

0 =^-

lim

y = e ° — 1 .

J t —► - J - OO

J t —► - j - OO

J t —► - j - o o

дс

In cos х

— tg дс

sin дс

lim 1п у =

1

1

1

l i m -------5-----

l im ------- 2—

— ------- l im ----------

l i m ----------------------

------,

x-*-0

0 ДС

х-Ю 2 дс

^ 2

jt—о x

x-*o cos дс

2

lim In у = In lim у =

---- — =► lim у = e - l / 2 = — —.

5.16. Ф ОРМ УЛА

Т Е Й Л О РА

ние можно представить в виде Af(xo) =

f'(x0)Ax ■+■о(Ах), т. е.

* Брук Тейлор (1685— 1731) — английский

математик.

5 Зак 1270

129

fix) =

f(xо) + f'(xо) (x — Xo) +

o(x — Xo).

Другими

словами, существует многочлен первой степени

Pi(x) =

f(x0) + bi(x — XQ),

(5.15)

такой, что при х ^ х о

f{x) =

Pi (х) - f о(х — Хо),

причем

Pi(x)

удовлетворяет

следующим

условиям:

Pi(xo) =■ f(xo),

P'i(xo) =

b i= f'(x o ) .

Поставим

более

общую

задачу. Пусть

функция,

определенная

f'(x о),

f"(xо), f"'(xо),

...,

f n)(x0).

Требуется выяснить, существует ли

многочлен Рп(х) степени

не выше п, такой, что

f(x) = P n(x) + o ( x - x о)".

(5.16)

Найдем многочлен степени

не выше п (запись которого

анало­

гична

(5.15)):

Рп(х) = bo +

Ь{(х — Хо) +

Ь2(х — Хо)2+ . . . + Ьп(х ~ Хо)п,

(5.17)

функции f(x) и ее соответствующих производных в той

ж е точке:

f{xо) = Pnixо), Пхо) =

P'nixо),

..., рп)(хо) = P<hn)(xо).

(5.18)

Определим коэффициенты

Ьо, Ь\

..., Ьп многочлена

(5.17)

так,

P'nix) =

b\ + 2b2ix

— Хо) + ЗЬз(х — Xof + . .. + nbn{x — х0)п~ \

Pnix) — 2 • lb 2+ 3

• 2 • b3(x — Xo) + ... + n(n — l)bn(x — Xo)n~ 2,

P'"(x) =

3 - 2 -

163 + ••• + « ( « - \ ) i n - 2 ) b n { x - X o ) n~ \

(5.19)

Pin\ x ) =

n ( n -

1) (« — 2)-- -2 • \bn.

Подставляя

в левые

и

правые части равенств

(5.17)

и (5.18)

вместо

х значение х 0,

находим

значения

всех

коэффициентов 6 ,

i = 0 , п:

fix0)=

PniXo)—

bo,

'

bo =

f(x0),

f'ixo)=

P'nixo)=

bi,

b I = f ' i x

0),

f" ix 0) =

P" (xo) =

2 • lb 2,

f'"ixo) =

P'"ixo) =

6 3

,

b3= l f " ' ( x o ) ,

3 • 2 • 1

f(”)(xo)=

P(nn\xo) =

n\bn,

U « = ^ r / (nW

Подставляя

найденные

значения коэффициентов в

равенство

(5.17),

получаем многочлен

вида

Рп(х) = f(xо) + f'(x0)(х — Хо) + - Ц р - (х — Хо)2 + ... + f(

(х —Хо)",

п !

погрешность, возникающая при замене

функции

f(x)

многочленом

Р„(х)

в у j ,1

1

окрестности точки хо. Д ля тех значений

У‘ №

\ R n W

х из окрестности точки х0, для которых

погрешность

R n{x)

достаточно

мала,

многочлен

Рп(х)

дает

приближенное

представление функции.

W

x)

Согласно

определению

многочлена

Р„(х),

из

условий

(5.18)

следует,

что

'

Rn{xо) = R'n(xо) =

....= $ ,л)(х0) =

0.

?

X0

X

к

Д окажем, что

Р и с . 5.13

R n(x) =

о((х — х 0)п) о lim

—■—-

=

0.

х-*-Хо (X — Х о )

Применим п раз правило Лопиталя для раскрытия неопределен-

R„(x)

0

ности -— —— вида — :

(

х -

Х й

Т

о

R (: - ' ](X)

lim

Rkx)

— lim

Rk(x)

n\

= 0,

х - + х „

( х

—

Х о ) "

x - r x a

П ( X

—

Хо)"

X '*-Xr, n \ ( X — Xo)

т. e. R n(x) =

o((x — x0)n) при x->-xo. Таким образом, доказана следую­

щ ая важ ная

Теорема 5.8. Если функция у = f(x) определена и п раз диффе­

ренцируема в Ов(хо), то при х-*-х0 имеет место формула

f{x) = fix о) 4- f i x о) (х — Хо) +

И*о)

2!

+

(х — х °)п +

°(х — *°)"

или в

более краткой форме записи

/<*>(*„)

(5.20)

f w

= £

k\

(х — Хо)* - f о(х — Хо)",

*= 0

где R aix) = оЦх — хо)") — остаточный

член в форме Пеано.

Формула (5.20) называется формулой Тейлора п-го порядка с

остаточным членом в форме Пеано.

Если в формуле Тейлора

(5.20)

положить хо =

0, получим част-

Тейлора. Получим представление его в форме

Л агранж а.

Потребуем, чтобы функция f имела п +

1 производную в окрест­

ности точки Хо. Введем

новую функцию g(х) — (х — дсо)л+1. Очевид­

но, что

g(xo) =

g '(x 0) = ... = g(n){xо) =

0 , g<n + 1)(j-) =

(n + 1)! Ф 0 .

Применим

к

функциям

R n(x) = f ( x ) — Р„(х)

и g(x) =

( x — Jto)"+l

теорему Коши. Тогда в силу условия R n(xо) =

R'„(xо) = . . . =

# (пл)(дсв) — 0

получим

R J x )

/?„(*) — /?„(*o)

R'njci)

Rkjci) — R'n(x0)

R „ (c2)

g(x)

g(x) — g(x0)

g'n(c,)

gi(Xo)

gn (C2)

_

_

R £ \ c n)

_

R("\c„) -

R(:Uxo)

_

R k +l4t)

f f n\c«)

& П)( С п ) - £ П)(Хо)

&П+Ч ) '

где ci€]xo; x[\

C2 €]*o;

ci[;

...; cn £ }x 0;

l £ ] x 0-,

c„[cr]xo;

x[.

Таким

образом, мы показали, что

Rn(x) _

/&“+ 1)(1)

g(x)

g^"+ 4 )

’

где 1 6 ]*о; х[. С учетом того, что g(x) = (х — *о)л + g (n+ °(£) = (n +

1)!,

R t +l)(t) =

r

+l4 t \ имеем

Rn( x ) =

^

(X — х0у + 1, £ 6]*о;

х[.

где О<С0<С1, т. е. остаточный

член в

форме Л агран ж а

можно

записать в виде

*»(*) =

/("+1)(; +

9,()Г

ДС°))

(* ~ *0)"+ ‘ -

Таким образом, формула Тейлора с остаточным членом в форме

Л агранж а имеет внд

f(x)= f(xo) + ^ ( x - x

0) + ... +

^

( x -

x 0y + ? ^ ( x - x

0T + l,

имеет

вид

,(*) _

f(0) +

i | l

* + £ Ж

*° + ... +

*• +

*■+', (5.22)

где 0

< 0 <

1.

5.17. Р А ЗЛ О Ж Е Н И Е ПО Ф О РМ У Л Е М А КЛО РЕНА

НЕКОТОРЫ Х ЭЛ ЕМ ЕН ТА РНЫ Х ФУ Н К Ц И Я

Разложение по формуле Маклорена функции f(x) = ex. Находим

последовательные производные от }(х) = ех:

П*) =

е * Л

f( 0 ) =

1 ,

f'(x) =

ex,

/ '( 0 ) =

1 ,

р п\ х ) =

ех,

/<га)(0 ) =

1 ,

f n+ l\ x ) =

ex.

^ рп+1\<дх) =

ев*.

Подставляя

полученные значения

ДО),

f'( 0),

...,

/*л)(0), f-n+[\Qx)

в формулу

(5.22), имеем

Х»+1

(5.23)

(Я+ 1)1

где 0

< 0 <

1 .

Разложение по формуле Маклорена функции

f(x) — sin х. Н а ­

ходим последовательные производные от f(x) =

sin дс:

f(x) =

sin х,

\

.

f'(x) =

cos х = sin (x + л / 2 ),

П х ) =

— sin дс =

sin (дс +

2

f ) .

r w =

— cos дс =

sin (дс +

3

t ) -

П х ) = s in ( x + n Y ) ,

/<»+■>(*) =

sin (дс + (n +

1 ) *)■

.

f(0 ) =

0 ,

f'( 0 ) =

1 ,

f"{ 0) =

0 ,

f'"(0 ) -------- 1 ,

/<">(0 ) =

sin (/!-= .),

^ " + 1)(0 x ) = s i n ( 0 x + ( « + l ) f - ) ,

0 < 0 < 1 .

Подставляя полученные значения в формулу (5.22), имеем

s m x = x -

X3

I

X5

—

+

—

" + 7 Г 8‘п

( п т

)

+

+

(^TT)Ts i n ( 0JC + (ra+

O f ) .

(5.24)

где

0 <

0 <

1 .

Разложение

по формуле

Маклорена

функции

f (х) = cos дс. Вы­

числив значения последовательных

производных от функции /(дс) ==

= cos дс

при дс =

0 , имеем (с учетом

того,

что

f n\ x )

=

cos (дс + п у )

cos дс=

1 -

2 L

+

- J p - . . . + -^ -co s n - j

+

+

-

^ r

c° s ( 0Jc + ( « +

l ) f ) ,

(5.25)

где

0 <

0 <

1 .

Разложение

по формуле

Маклорена

функции

/(дс) = In (1 + дс).

Функция /(дс) =

In (1 + дс) определена и бесконечно дифференцируема

на

интервале ] — 1;

оо[.

Найдем

последовательные

производные

от этой

функции:

/(дс) =

1п (1 -Ь дс),

Г(дс) =

(1

+дс)

,

f " ( x ) = — (1 + *) >

/"'(дс) =

2

* 1 ( 1

+

дс) ,

= ( — 1 ) " « ! ( 1 + х ) - (л- ^ ,

f(0 ) = О,

Г (0 ) = 1 .

f" ( 0 ) =

— 1 ,

/'" (0 ) =

2 •

1 ,

/"(0 ) =

( — 1 )

(п — 1 )!,

^/*л + |'(0дс) =

( — 1)"п!(1 +0дс)_(л+1),

О < 0

<

1 .

In (1 + x ) = x - ± . +

l y + 'J L +

x" + 1

(5.26)

(я +

1)(1

+

0 *)»+'

Разложение

по

формуле

М аклорена

функции

f(x) =

(l -j-x)m.

Функция f{x) =

(l + x ) m,

m 6

R,

определена

и

бесконечно

диффе­

ренцируема на интервале ] — 1;

1[. Разложим ее по формуле М акло­

рена.

Д ля этого

найдем

последовательно

производные

от f{x) =

= (1 + * Г :

Нх) =

( 1 + х ) т,

Г(х)= т(\+хГ-1,

f"(x) =

m ( m -

1 ) ( 1 + х ) т~ 2,

f" (х) =

т (т — 1 ) (т — 2 ) (1 +

х)т _ 3 ,

f(n\ x ) =

m ( m -

l)...(m

— n +

1 ) ( 1

+ *)т - л ,

/<"+'>(*) =

т ( т

— 1 ) - . ( т

— п)(1

+

х)т - я- \

f(0 ) = l ,

f'( 0 ) =

m,

f"(0) =

m ( m — 1),

f" {0 ) =

т ( т

— 1 )(т — 1),

f(n)(0) =

т (

т

— 1 ) --- (т — га +

1),

^ я + 1)(вх)

— т(т — \ ){т — 2 )---(т — га) (1+ 0 х)т - л _ | .

Подставляя

найденные значения функции

иее производных в

точке хо = 0 в формулу

(5.22),

имеем

(1 + J c r = 1 + m j c + - g ^ g p i I j c a + . . . +

^ +

где

+/?п(*),

(5.27)

/ ; . ( * ) -

" ( " - ' b y — ) (| +

е,у

Полученные

разложения

функций,

задаваемые

формулами

(5.23) — (5.27),

называют основными

и

используют

для представ­

ления многих функций по формуле Тейлора.

Приведем

несколько

примеров:

Пример 5.22. Разлож ить по формуле Тейлора функцию f(x) — e ~ x“в окрестности

точки

Ха = 0 .

Р е ш е н и е .

Указанное

разложение можно

найти, вычислив /(0), /'(0), ...,

f("V0)

и применив

формулу

(5.22),

но

проще

использовать разложение функции

f(x) =

ex, задаваемое формулой

(5.23). Заменив в формуле

(5.23) х

на

— х 2, получим

г2

г 4

г6

1)Л+,- ^ г + /г»М.

=

1

Г Г

~2 !

ЗГ +

" +

( '

Пример

5.23.

Разлож ить по

формуле

Тейлора функцию /(*) =

1п (*)

в окрест­

ности точки

*о =

1•

f(x) =

In (1 + х),

Р е ш е н и е .

Воспользуемся

основным

разложением функции

задаваемым

формулой (5.26). Зам еняя в нем х иа х — 1, имеем

(

^

+ (£^_... + (_ 1 Г . ( ^

+ а д

где

(х— 1)'|+1______

Rn(x) =

( - i y

1 ) ( 1 + 0 (jc— 1))л + 1

( л +

представление

f(x) = g(x) + o(g(x)).

(5.28)

Пример 5.24.

Выделить

главную часть»

функции

f (х) =

х* + 2х* +

5х в Ов(0).

Р е ш е н и е .

Так как

lim

х 4 •+• 2х2 •+• 5х

то функция g(x) = 5x

является

---------- =-----------= 1,

х »-0

дх

главной частью f(x) в

Оц(0 ),

т. е.

х* + 2x'J +

5х = 5х +

о (5*).

Пример 5.25.

Выделить

главную

часть

функции

f(x) =

х3 + 2х +

1

в 0#(оо).

Р е ш е н и е . Так

как

lim

х3 I 2х

I

1

1,

то функция

g(x) = x 3

является

—

—

=

главной частьюf(x) в

X -* - оо

X

Ов(оо).

Действительно, в

примере

5.24 главной

частью функции f(x) — х 4 + 2х2 + 5х

в Ot(0 ) является такж е

функция

gi (*) =

2 jr2 -|-5х,

поскольку

lim

f(x)

=

lim

х4 +

2х2 +

5х

- - ---

----s

--------‘------ 1 =>

Х--0

g i (x)

дг—о

2x‘ +

5x

=>x* + 2x2 +

5x =

2x2 +

5x

+

o(2x2 + 5x).

у*е'X

У

ном в форме Л агран ж а

(5.23).

Значения /(дс) в 0&(хо) вычисляют по формуле

/ ( д с ) « / ( д с о ) +

- Ц

^ -

(дс — дс о) + . . .

+

(дс — ДСо)Л,

погрешность приближения

| / ? д ( дс )| =

| I

I

(ДС — д с о ) " +

1 1 , дс0 < £

< д с .