Герасимович(математический анализ)

Если А — конечное множество, то число его элементов обозна­ чают через |Л | и называют мощностью множества А.

Элементами множеств могут быть объекты самой различной при­ роды. В математике чаще рассматриваются множества, состоящие из чисел, точек, кривых и т. д.

Логические символы. При формулировке теорем и их доказа­ тельств приходится повторять отдельные слова и выражения. Чтобы сократить записи, используют приводимые ниже логические символы.

Квантор общности обозначается V, читается: «любой», «всякий», «каждый». С помощью квантора общности V выражение «для любого х из множества М» можно записать короче: V х £ М ] выражение «во всяком треугольнике ЛВС» записывают в виде V ДЛВС .

Квантор существования обозначается Э, читается: «существует», «найдется». С помощью квантора существования Н выражение

сится к одному из иих, иногда заключают в скобки. Например, выражение «для

кает». Например, выражение «из утверждения а следует утвержде­ ние Ь» записывают так: а=>Ь.

Символ эквивалентностиообозначает равносильность утверж­ дений, расположенных по разные стороны от него, и читается: «тогда и только тогда, когда ...», «равносильно...», «необходимо и доста­ точно». Например, выражение «в любом треугольнике ABC сторона А С равна стороне ВС тогда и только тогда, когда угол Л равен углу В» записывают в виде У дЛ В С : А С = В С о /LA = А.В.

Отношения между множествами. Существуют различные отно­ шения между множествами. Рассмотрим два из них: равенство и включение.

О пр е д е л е н и е 1.1. Множества А и В называются равными, если каждый элемент множества А является элементом множества В и, наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А.

Равенство множеств Л и В обозначают Л = В. Равные множе­ ства состоят из одних и тех же элементов.

Напрямер, если А — множество корней уравнения (* — 1) (х — 2) (х — 3) = 0, т. е.

8 '

«Л содержится в В», или «Л включено в В», или «множество В со­ держит множество А».

Понятие подмножества определяет между двумя множествами

отношение с: называют отношением строгого включения.

Известно, что всякое натуральное число п 6 N является целым, поэтому N с: Z. Но всякое целое число р £ Z является рациональным, следовательно, Z с; Q. Всякое же рациональное число q 6 Q является

Например, множества рациональных и иррациональных чисел не равны между собой и ни одно из них не является подмножеством другого.

1.2. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

Над множествами определяют операции, во многом сходные с арифметическими. Введем понятие таких операций только для случая двух множеств Л и В. Будем рассматривать всевозможные под­ множества одного и того же множества, которое называют основным или универсальным. Обозначим универсальное множество буквой U.

Например, в планиметрии в качестве универсального множества можно рассматрявать множество всех точек плоскости R2. Тогда различные фигуры на плоскости будут подмножествами R2. Прн изучении функций действительной переменной за универсальное множество принимают множество действительных чисел R и т. д.

О п р е д е л е н и е 1.3. Объединением множеств А и В называется множество А[ ] В, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В (или обоим одно­ временно):

A U В = {х | х в А или х 6 В или х £ Л и х £ В)

Напрнмер, если А — {2, 3, 4, 6 ), В = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }, то A U В = {1, 2, 3, 4, 5, 6 ).

Геометрически объединение множеств интерпретируется с по­ мощью диаграмм Эйлера — Венна. На этих диаграммах множества изображаются точками кругов, треугольников или геометрических фигур произвольной формы. Геометрическая интерпретация объеди­ нения множеств Л и в дана на рис. 1.1.

Операция объединения множеств удовлетворяет коммутативному и ассоциативному законам:

Л1) Я = В1)Л, Л1)(В1)С) = (Л [)В)[)С.

9

Очевидно, что

и

А [ ) А = А , A U 0 = А , A [ j U : U.

Например, если Л = { 1 , 3, 7, 8 ), В = {2, 3, 4, 8 ), то Л П В = {3, 8 ).

Геометрическая интерпретация пересечения множеств Л и В дана на рис. 1.2. Так же, как и операция объединения, операция пересече­ ния подчиняется коммутативному и ассоциативному законам, т. е.

А ( \ В = В { \ А, Л П( ВПС) = ( ЛПВ) ПС.

Очевидно, что

А [ ) А = А , A ( ] 0 = 0 , A f ) U = A.

Операции объединения и пересечения подчиняются дистрибутив­ ным законам:

л п ( в и с ) = ( л п в ) и ( л п О , л и ( в п о = и и в ) п ( л и с ) .

О п р е д е л е н и е 1.5. Разностью двух множеств В и А называется множество В \А , состоящее из всех тех и только тех элементов, кото­ рые принадлежат В, но не принадлежат А:

В \А = { х \ х £ В , но x i A } .

Геометрическая интерпретация разности двух множеств дана на рис. 1.3.

АПВ

Р и с . 1.3

Пусть, например, Z — множество целых чисел р. Примем это множество за универсальное и рассмотрим два его подмножества:

А = {р | 0 < р < 30}, В = \р\ 10 < р < 40}.

Т огда

A U В = {р)0 < р < 40), Л П б = | р | 1 0 < р < 30), В \ А = {р I 30 < р < 40).

10

О п р е д е л е н и е 1.6. Разность U \A называется дополнением множества А до универсального множества U и обозначается А:

А == U \A = {х\ х^А) .

Геометрическая интерпретация множества А дана на рис. 1.4. Очевидно, что

A( J A = U, А П А = 0 , А = А , ~0 = U, U = 0 .

Введем теперь операцию декартова произведения двух произ­ вольных множеств А и В. Пара элементов (х\ у), х £ А , у £ В , назы­ вается упорядоченной, если указан порядок записи элементов х и у. При этом считается, что (xi] у\) — (х2', г/2) тогда и только тогда, когда Х\ — х 2, у 1 = уч. Элементы х и у упорядоченной пары (*; у) называются координатами этой пары (х — первая координата, у — вторая). Упорядоченные пары принято заключать в круглые скобки, в отличие от неупорядоченных пар, которые, как и множества элементов, за ­ писываются в фигурных скобках.

Оп р е д е л е н и е 1.7. Декартовым произведением двух множеств

Аи В называется множество, обозначаемое А У, В, состоящее из всевозможных упорядоченных пар (х\ у):

А Х В = «х; u ) \ V x e A , V y t B \ .

= { z € R № < z < t f ) .

Если A = { * 6 R I 1 < * < 3 ) ; fl = W e R | l < < у < 2 ), то декартовым произведением А х В яв­ ляется прямоугольник, изображенный на рис. 1.5.

1.3. ОТОБРАЖЕНИЕ МНОЖЕСТВ. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ МНОЖЕСТВ

Пусть А, В — произвольные множества и / — закон (правило), по которому каждому элементу а £ А ставится в соответствие един­ ственный элемент Ь £ В . Тогда говорят, что задано отображение f множества А в множество В, или оператор f, переводящий множе­ ство А в множество В. Отображение f множества А в В обозначают

элемента а при отображении f и обозначают f(a). Элемент а в этом случае называют прообразом элемента f(a).

Определение отображения коротко записывают так:

11

f: A ^ B o Y a e A Я Ь ^ В : b = f(a).

Множество образов всех элементов а £ А при отображении f на­ зывают образом множества А при этом отображении и обозначают

т .

№= т \ а £ А ) ^ В .

Задание отображения предполагает задание тройки (А, /, В), где А — отображаемое множество; В — множество значений отобра­ жения; f — закон, по которому каждому элементу а 6 Л ставится в

однозначным или ,биективным, если каждый элемент Ь 6 В является образом только одного элемента а £ А (рис. 1.6):

V а ц а 2б Л а\Ф а2=>1{а\)Ф 1(а2).

Если отображение f : А-*~В есть взаимно однозначное соответ­ ствие между элементами множеств Л и В, то можно говорить об об­

Если f ~ 1— отображение, обратное к f, то f — отображение, обратное к f ~ \ поэтому их называют взаимно обратными отобра­ жениями.

Например, пусть В — множество всех кругов, f — отображение, ставящее в со­ ответствие каждому кругу его площадь. Тогда f\ взаимно однозначно.

О п р е д е л е н и е 1.10. Д ва множества А и В называются экви­ валентными (равномощными), если существует хотя бы одно взаимно однозначное отображение одного множества на другое.

Эквивалентность множеств Л и В обозначается так: А ~ В (чи­ тается: «множество А эквивалентно множеству В»).

12

Элементы множества Z, т. е. целые числа, будем обозначать р. Множество Z обладает следующими свойствами:

=Р2, Pi > р 2;

4)в Z определены операции сложения, умножения и вычитания,

(кроме деления на нуль), причем сложение и умножение подчиня­ ются коммутативному и ассоциативному законам, а умножение — еще и дистрибутивному закону относительно сложения.

Любое рациональное число можно изобразить точкой на числовой прямой. Однако не каждой точке этой прямой будет соответствовать рациональное число.

Например, точке, отстоящей от начала координат на расстоянии, равном длине диагонали квадрата с единичной стороной, не соответствует никакое рациональное число (не существует такого рационального числа q — р / п , квадрат которого был бы равен 2 ).

Следовательно, между множеством рациональных чисел и множе­ ством точек числовой прямой не существует взаимно однозначного соответствия.

Числа, которые нельзя представить в виде отношения двух целых

14

Иррациональные числа можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Множество действительных чисел. Объединение рациональных и иррациональных чисел составляет множество действительных чи­ сел R. Перечислим основные свойства множества действительных чисел R, большинство из которых совпадает со свойствами множе­ ства Q: N c Z c Q c R ; R бесконечно, упорядочено, для него имеет место аксиома Архимеда. Кроме того, в отличие от множества Q, множество R несчетно и между действительными числами и точками числовой оси существует взаимно однозначное соответствие, т. е. каждому действительному числу х соответствует единственная точка числовой оси и, наоборот, каждой точке числовой оси соответствует единственное действительное число х 6 R.

В множестве R определены операции сложения, вычитания, умно­ жения, деления На любое действительное число, отличное от нуля, возведения в степень и др. Все эти операции подчиняются приво­

< с < у .

Первые три вида аксиом выполняются на множестве рациональ­ ных чисел. Аксиома непрерывности справедлива только в R.

15

При изучении функций одной действительной переменной рас­ сматривают подмножества множества R, такие, как интервал, полу­ интервал, отрезок (сегмент), полуотрезок; их называют промежут­ ками.

Интервал с концами а и Ь:

]а; -f- оо [, ] — оо; Ь[, ] — оо; - f оо [ — открытыми, остальные — полу­ открытыми.

Абсолютная величина (модуль) действительного числа. Дейст­ вительные числа могут быть положительными и отрицательными. Иногда приходится рассматривать абсолютную величину действи­ тельного числа, игнорируя его знак.

О п р е д е л е н и е 1.11. Абсолютной величиной (модулем) дейст­ вительного числа х называется число х, если х ^ 0, и число —х, если

Основные свойства абсолютной величины числа следуют из опре­ деления. Приведем их.

1.|*| > 0.

2.\х\ = | — х\.

16