Герасимович(математический анализ)

траектория точки, участвующей одновременно в двух равномерных движениях, одно из которых совершается вдоль прямой, а другое — по окружности. Полярное уравнение спирали Архимеда имеет вид

г= аф,

т.е. полярный радиус точки линейно зависит от ее полярного угла с

торых раскручивается против хода часовой стрелки и соответствует положительным значениям ф, другая — по ходу часовой стрелки и соответствует отрицательным значениям ф. Спираль Архимеда сим­ метрична относительно перпендикуляра к полярной оси, на котором

и удаленная от нее на расстояние а, является асимптотой гипербо­

где а > 0, а ф 1; £>(r) = R; £(г) = ]0; оо[. Она пересекает все свои

59

радиусы-векторы под одним и тем же углом. Это свойство кривой используют в технике.

Синусоидальными спиралями нызывают семейство кривых, урав­ нение которых в полярных координатах имеет вид

rm = атsin т у или rm = атcos m<p.

В зависимости от m уравнение определяет кривые различных

* Якоб Бернулли (1654— 1705) — швейцарский математик.

60

2.7.ПРОСТЕЙШИЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

ВДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

построить:

1)график функции y = f(x) — кривую L;

2)затем график функции у = Д х ,+ а) — кривую L\ — смещением кривой L на а единиц влево по оси абсцисс;

Зная графики функций f\(x) и ^С*). можно геометрически по­ строить график их линейной комбинации a.if\(x) + аг/^М , где а ь а г € R. Д ля этого ординаты точек графика f i(jc) умножаются на а ь ординаты точек графика f 2(x) — на а 2 и складываются. Их сумма и определяет ординаты точек графика линейной комбинации функций.

Если известны графики функций fi(x) и f 2(x), то для построения графика функции y — fi(x)f2(x) надо найти произведения ординат точек графиков сомножителей. Они и будут ординатами точек гра­ фика произведения функций.

61

3.ПРЕДЕЛЫ

3.1.ЧИСЛОВАЯ П О СЛ ЕД О ВА ТЕЛ ЬН О С ТЬ И ЕЕ П РЕ Д Е Л

Числовая последовательность. Если каждому натуральному числу п £ N поставлено в соответствие некоторое вполне определенное число х n= f(ri), х п£ R> то говорят, что на множестве N задана числовая последовательность. Таким образом, числовая последовательность — это числовая функция f, определенная на множестве натуральных чисел N (отображ аю щ ая множество N в R (f: N->-R)).

Числовую последовательность обозначают так:

(Хп) = (Х 1, X2, Х3, ...).

Число f(n) называется п -м или общим членом последовательности

и обозначается х п, а формула xn — f{n) называется формулой общего члена последовательности.

Примеры числовых последовательностей:

то к ней применимо большинство понятий, введенных в § 2 . 2 для числовых функций, характеризующих поведение последовательно­ сти на D ( f ) = N. Существуют последовательности ограниченные (ограниченные снизу, сверху), последовательности возрастающие, убывающие, монотонные, неубывающие, невозрастающие и даже периодические. Однако нельзя говорить о четных и нечетных после­ довательностях, поскольку на множеств N нет двух взаимно про­ тивоположных чисел. Сформулируем эти понятия для числовых последовательностей, взяв за основу соответствующие определения

Возрастающие и убывающие последовательности называются

монотонными.

63

f -

Предел числовой последовательности. Операция предельного перехода является одной из основных в математическом анализе. Впервые понятие предела встречается в элементарной математике, где с помощью предельных переходов определяется длина окруж ­ ности, объемы цилиндра и конуса и т. д. Оно также используется при определении суммы бесконечно убывающей прогрессии.

Введем понятие предела числовой последовательности, которое позволит нам в дальнейшем определить и другие, более сложные, операции предельного перехода.

О п р е д е л е н и е 3.1. Число а называется пределом числовой последовательности (хп), если для любого сколь угодно малого по­

64

Заметим, что для вычисления пределов редко пользуются определением 3.1, чаще применяют различные приемы преобразования п-го члена, например

Во всех предыдущих случаях под пределом последовательности понималось некоторое число. Иногда встречаются неограниченные последовательности, такие, что с увеличением га общий член после­ довательности (jcn) неограниченно возрастает. Такие последователь­ ности называют бесконечно большими.

Примерами бесконечно больших последовательностей являются последователь­ ности

1 ) (п); 2 ) ( - я ) ; 3) ( ( - 1 Т+'п).

Члены первой последовательности принимают только положительные значения. В этом случае говорят, что последовательность имеет бесконечный предел, и пишут lim = + о о . Члены второй последовательности принимают только отрицательные

П-+ оо

значения. В этом случае говорят, что последовательность имеет бесконечный предел,

и пишут l i m j c „ = — оо. Члены третьей последовательности по модулю иеограни-

п~+ оо

ченно возрастают, принимая то положительные, то отрицательные значения. В этом случае говорят, что х„ имеет бесконечный предел, и пишут, не указывая знака беско­ нечности, lim хп — оо.

я —► оо

Дадим определения последовательностей, имеющих бесконечный

Признаки сходимости числовых последовательностей. Сформули­ руем необходимый признак сходимости числовых последователь­ ностей.

66

Теорема 3.1. Если последовательность (хп) сходится, то она ограничена:

Yra £ N, что и означает ограниченность числовой последователь­ ности. <

Заметим, что ограниченность последовательности является не­ обходимым, но не достаточным признаком сходимости последова­ тельности.

Например, последовательность ((— 1)") = ( — 1, + 1 , — 1, + 1 , ...) является огра­ ниченной расходящейся последовательностью.

Теперь сформулируем достаточный признак сходимости число­ вых последовательностей.

Теорема 3.2. Всякая ограниченная монотонная последователь­ ность сходится.

Отметим, что монотонность ограниченной последовательности является достаточным, но не необходимым условием ее сходимости, т. е. существуют ограниченные сходящиеся немонотонные последо­ вательности.

Пусть n0 = max(rai, n2). Тогда для любого га > ra0 будут одновре­ менно выполняться неравенства:

=>а — г < у п < : а - \ - Е о \ у п — а | < е V га > га0.

67