Герасимович(математический анализ)

\R { x ,

...)dx =

J R { f, tr\ tr\ ...)sts~ ldt.

„

f

- J x d x

.

Пример 8 .2 1 . Вычислить

\

— ^

= t6 + -=- f5 + — t* + 2f3 + 3f2 + 6 f + 6 In U — II

+ C =

О

L

= x + ■ ^ г л / х 2~+ 2 ~\Jx +

3 -^ 7 +

+ 6 In \-\fx — 11 +

C.

О

L

Интегралы вида

J R {

X , ( - ^

- ) т '/Я|,

) m’/n\

•••) dx (m,,-

ri\, m 2, n 2, ... — целые числа).

Эти интегралы

подстановкой

Пример

8 .2 2 . Вычислить \

-------!— т ~ \ / —--- — dx.

J

(1

— х у

V 1 +

х

Р е ш е н и е .

Сделаем

замену

\

— х

/ 2

1 — t2 .

4tdt

,

2 Z2

1 + л:

= 1 • х = .

d x = — —- ■

, 1 — х ■-

1 + t2

1 +

t2

(1

+ t2)2

Тогда

______

Интегралы вида /■ = ^ -

dx

-

U =

t __j Ax + B)dx ,

/ 3 =

л]ах? + Ь х + с

's/ax2+ Ь х + с

d x

-. Д ля

вычисления

интеграла

/ 1 выделяется

пол-

x^jax2+ Ь х + с

ный квадрат под знаком

радикала:

и применяется

подстановка

х +

А = и, d x =

du.

1

2 а

В результате

этот интеграл

сводится к

du

табличному: / , = ^ _____

(Ax +

B )d x

= ф

^

аХ + Ь1

+ {

В 7 . Ш г1х =

^ -yjcuf + b x + c

^

~\Jax2 +

bx + с

_ Л

f

d (дх2 +

bx +

с)

/ g

__

A b ' ) l i =

2а

'

~\Jpдс2 +

ftx +

с

'

^ а '

= - ^ \ ( ах2 +

bx + c)~ l/2d(ax2 + Ьх +

с ) + ( В —

=

=

- ^

T

^ T

T +

( В ---- 2а~У^

где /i — вычисленный

выше интеграл.

интеграла 1\

Вычисление интеграла

/ з

сводится

к

вычислению

подстановкой:

Пример

(Зх — 1 )dx

8.23. Вычислить

л!хг +

2 х +

2

Р е ш е н и е .

Имеем интеграл вида

/ 2:

Г ( 3 . - 1 ) ^

, Г

(3/2) ( 2 к + 2 )

4

л „

+

+

2 r „ 4 { t , +

2,

+

2 ) _

д / * 2 + 2 х + 2

д / х 2 + 2 х + 2

^ J

- 4 (

----

d ( * + [ )

_ ==3 Л/ ^ + 2х + 2 - 4 1 п | ( х +

1) +

Л/у г-(-2 г +

2 |

+

С.

J

Л/(*+1)2 + 1

djC

S----= = = = =

х'у/x2 +

2 х — 1

Р е ш е н и е . Имеем интеграл вида

/ 3:

“ - 1 I ^

l / x - l , _

= a rc c o s -----—-----\- С =

arccos —-——-------1- C.

ф

-\J2

Интегралы вида \R(x, y a x 2 +

bx + c)dx. Частные случаи вы­

тригонометрических подстановок.

Квадратный

трехчлен

ах2 +

Ьх +

с

путем

выделения

полного

квадрата

и замены

переменной

может

быть

представлен

в виде

u 2± k 2.

Таким

образом, достаточно

ограничиться

рассмотрением

трех видов интегралов:

I\ =

\R(u,

л]к,2 — u2)du,

I 2 =

\R ( U, -\/k2 +

u2)du,

h

= \R(u,

лJU2 — k 2)du.

Интеграл

I \ = \ R { u ,

~\Jk2 — u2)du

подстановкой

u =

k s i n t (или

u =

k c o s t)

сводится к интегралу от рациональной

функции относительно sin t

и cos t.

например, подстановку и = k sin t,

Действительно,

применим,

k > 0 , тогда du — k cos tdt,

-\Jk2 — u2 — k cos t,

Интеграл

I 2 =

\R ( U, -\]k2 +

u2)du

подстановкой

u = k t g t

(или

u =

k c t g t )

сводится к интегралу от рациональной

функции относительно sin t

и cos t.

например, подстановку u — k t g t ,

Действительно,

применим,

k > 0 , тогда

du — k sec2 tdt, s j k 2 + и2 =

k sec t,

Действительно,

применим, например,

подстановку и = k sec t,

тогда du = —

■dt,

-\/и2 — k 2 — k t g t ,

cos

t

д /u2 — k 2)du — \^R(k sec t,

k tg t ) d t .

Пример 8.25. Вычислить \ у а *

— x2 dx.

Р е ш е н и е . Применим подстановку х =

a sin t. Тогда dx =

a cos tdt, -\fa2 — x2 =

= a cos t. Таким образом,

^

a2 — x 2d x =

a 2 ^co s2 tdt —

+ c o s 2 t)dt =

+

+

sin 2t +

С =

1 +

sin t cos < + C.

Выразим t,

sin t

и cos t

через x:

t

.

X

sm

X

— ,

Va ~ x

= arcsin — ,

t —

cos t = —------------

a

a

a

Следовательно,

a2— x2 dx =

arcsin

+ "?T V 4*2 — * 2 +

C.

Пример 8.26. Вычислить

+

a 2 dx.

a tg /. Тогда dx = a sec2 tdt. Имеем

Р е ш е н и е .

Применим

подстановку

x =

\-jx2 + a 2dx =

dv

=

dx,

v

=

x

~sjx? + a2 = x-yjx1+ a 2 -

f

(

a

^

a

2 dx = xj

^

-

[

-

j

^

dx + [

a2dx

J

-^jx2+

aJ

^

'

-\/дс* + a2

л / v

J -

Л 2

J

J

Перенеся $ "\/* ^+ a* d x

в левую

часть

уравнения, получим

х2 +

a 2d x =

у

V ^

+

a* + - у - In |х +

-yjx* +

a 2 | + С.

З а м е ч а н и е

1. Интегралы J v aJ — x2dx, \ л [ х — a?d x такж е можно вычислять

по

частям.

Пример 8.27. Вычислить

\

-------

■.

J

х4 -\/а2 + х2

----------

Р е ш е н и е .

Применим подстановку х =

a tg t. Тогда dx =

a sec2 tdt^ja? + x2 =

=

a sec

Г

dx

_

f

a sec2 tdt

_

I

f

cos3 1

_

J

х*л]а2 +

х 2

'

a< ^

ta x c t

a<

'

sin41

= _ 1 _C

(' — sin

<)d(sin t)

=

_ L f

(sin /)—4d(sin t ) ------ ^

(sin /)~ 2d(sin t) =

a 4 J

sin4 t

a 4 J

a

J

'

3 t

+

- 4

. +

C.

3a4 sin

a

4 sin

t

Выразим

sin t

через x: x =

a tg *=>sin t —

—

.x

. Тогда

■-------

-y/as +

jt2

[

dx

_

(a2 +

x2)3/a

|

д / а ^ + х 2

| c

'

x4V ? T ^

* * *

a'x

такж е одной из следующих трех подстановок Эйлера:

1 )

если

а > 0 , то

используется подстановка ~\jax2 -f- bx +

с = t ± хл[а\

2)

если

а < 0 , с >

0, то применяется подстановка л!ах2 +

Ьх +

с = tx ± л/с\

3)

если а С 0 , а

подкоренное выражение раскладывается

иа

действительные

множители а(х — лС|) (х — х 2), то используется подстановка у а х2

+ Ьх + с = t(x — х0),

циального бинома x m(a + bxnydx,

выражаются через элементарные

функции только в следующих трех случаях:

1 )

если p £ Z ,

то применяется

подстановка

x =

ts,

где s — общий знаменатель дробей т и п ;

2)

tn -I- 1

£ Z, то используется

подстановка

если —

а +

bxn =

ts,

где s — знаменатель дроби р =

k/s;

3)

ttl -I- 1

Z, то применяется

подстановка

если — ^

a x ~ n +

b =

ts,

где s — знаменатель дроби р =

k /s .

Во

всех остальных случаях,

как было

показано П. Л. Чебыше­

Пример

8.28. Вычислить

f

~\А + V -£

dx = [ x ~ l/2(l

+

x ' ^ y ^ d x .

-\[x

^

1

1

1

tn -I- 1

= 2 £ Z, поэтому при­

Р е ш е н и е . Здесь p = —

£ Z, m =

— —, я = — , — - —

меним подстановку 1 - \ - x i/A =

t3. Тогда

x =

(t3 — l)4, d x =

4 (/3 — 1)3 3t2dt,

S

+

x l'*)l'*dx =

\(t3 -

l ) ~ 2t • 4(t3 -

l f 3 t 2dt =

\ 2 \ t 3{t3 -

\)d t =

=

12^ (/«— t3)dt = 1 2 ( 4 ~ 4 ) +

C = - r ^ ( i

+

-V*)7 -

-

j i / i

i + -V *Y + c

Пример

8.29. Вычислить \ x i/7(2x +

3)x/3dx.

г»

Q

1 , ~

1

, n =

, m + 1

8 ,

m + 1

Р е ш е н и е .

Здесь p = —

£ Z,

m — —

1,

---------- =

-=- g Z , --------------f- p =

о

/

tx

i

tx

31

ие

выраж ается

через

,

=

g Z, следовательно, интеграл

элементарные функции.

Пример 8.30. Вычислить

( --------

^ * _ 2(1

x t) ~ 3/2dx.

^

VO + х2)3

J

Р е ш е н и е , Здесь p = —

3

tn - I - 1

=

1

tn -I- 1

— Ф Z, m =

— 2, n — 2,----------

----- — ФZ ,---------- +

r

2 v

n

2 v

n

- |- p = — 2 6 Z,

следовательно,

делаем

подстановку: x

+

1 =

t =^x = (t

— 1)' - 1 / 2

d x = - U > - X ) - ^ 2 t d t ,

^ * ~ 2 (1

+ x * ) ~ 3' 2d x =

(t2 -

l ) ( l

+ ^ Г Г у )

3/\ t 2 -

l)~ 3/2tdt =

+

c — — (2jf*.+ ,!,L + c.

s j 1 + l / * 2

х л / х 2 + 1

(интегрируются

в

конечном

виде) только в трех случаях:

1 ) p £ Z ;

2)

6 Z; 3)

—

+ р 6

Z. Во всех остальных случаях

интеграл

*

Снмеон

Денн Пуассон (1781— 1 8 4 0 )— французский математик, механик

фнзик.

** Огюстен Ж ан

Френель (1788— 1827) — французский фнзнк.

Пусть

функция у = f(x) определена и

ограничена

на отрезке

[а; Ь], а < Ь .

Разобьем [а; Ь] произвольным образом на п частичных

отрезков

точками хо, х и ..., х„ и обозначим

это

разбиение через т„:

тп =

[х0,

х и ..., хп \а = x0 < X i

< . . .

< х п- \ <

Х п =

Ь}.

Пусть

Ахк =

Хк — Xk~ \ — длина

частичного

отрезка [хн-й Хк\

/г = 1, п.

На

каждом таком отрезке

произвольным образом

выбе­

рем точку

и составим сумму

а„ =

f(h )A xi + f{ l2)Ax2 + -

+

f(ln)Ахп =

2

f (lk)Axk.

(9.1)

k=\

и выбору

промежуточных точек

/г = 1 , п.

Пусть

X — длина

наибольшего

частичного отрезка разбиения

т„: X = max{Axft}, называемая диаметром разбиения.

О п р е д е л е н и е

9.1. Если существует конечный предел инте­

ь

ь

ь

а

а

а

9.2. ГЕО М Е ТРИ Ч ЕС К И Й И

Ф И ЗИ Ч Е С К И Й СМ Ы СЛ

О П РЕ Д Е Л Е Н Н О Г

О ИНТЕГРАЛА

У — f(x ) непрерывна

на отрезке [а; Ь]

и f(x) ^ 0. Фигура,

ограни­

ченная графиком А В

функции у = f(x),

прямыми х = а, х =

6 и осью

ческий смысл: произведение f(|*)Дх* равно площади

прямоуголь­

ника с основанием Дх* = х*— x*_i и высотой f(g*), а

сумма о„ =

П

n

b

s = lim

f{lk)Axk = ^ f(x)dx.

k = 1

a

скоростью v(t), to t

Т. Смещение точки за малый промежуток

времени

Atk — tk — tk - i

приближенно можно

считать

П

равным

v(lk)&tk,

где l k £ [ t k - 1;

и(Ы А th

f*]. Тогда интегральная

сумма

2

*

=

1

я

Т

S = lim

2

v (Ik) Atк — S v(t)dt

X-*0

* = 1

I

вием интегрируемости

функций, т.

е.

справедлива

следующая

ь

Теорема 9.1. Если

\f(x)d x существует, то функция f(x) ограничена

на отрезке [а\ Ь].

а

[> Действительно, если функция f(x) неограничена на [а; b], то

для

любого

разбиения

т„

отрезка

[а;

b] на

частичные отрезки

[хо\

Xi], [х\\

Хг], ...,

[хп- й

х„] найдется

хотя

бы один

частичный

на нем точку

так,

чтобы абсолютная

величина произведения

/(£*)Ах* была больше наперед заданного

числа. Таким образом,

при любом разбиении

т„ отрезка

[а; b] на

частичные отрезки инте-

П

тральная сумма

2 /(£*)Ах* будет

бесконечно большой по абсолют-