распределения масс. Линия |
(фигура) называется однородной, если |
р = const на всей |
линии (фигуре). Если при |
этом р = 1, |
то масса |
линии (фигуры) |
численно |
равна длине линии |
(площади |
фигуры). |
Д ля вычисления М х, М у, /х, 1У,/о,х с, Ус эту линию (фигуру) разбивают произвольным образом на п частей, что достигается разбиением от резка [а; Ь] оси Ох, на который проектируется плоская линия / или плоская фигура D. На каждой части выбирают точку Рк, k = \ , п, и сосредотачивают массу тк £-й части линии (фигуры) в точках Рк.
Так как линия (фигура) однородна, то масса |
fe-й части линии / т к = |
= рД/й, где М к — длина k -го участка линии. |
Масса k -й части одно |
родной фигуры D т к = pAS*, где AS k — площадь к -й части фигуры D. Д алее рассматривают материальную линию I (фигуру D ) как
фиктивную систему материальных точек Рк, k = \, |
п, |
с массами т к. |
Тогда искомые величины Мх, М у, М, 1Х, 1У, / 0, хс, |
ус |
приближенно |
равны соответствующим величинам рассматриваемой фиктивной системы материальных точек Рк, т. е. могут быть найдены по форму
лам (10.19) — |
(10.21). |
Точное значение искомых величин определяется как предел соот |
ветствующего |
приближенного значения при К = тах{Адс*}->-0 . От- |
|
[“; ъ) |
сюда следует, что рассмотренный алгоритм вычисления статических моментов, моментов инерции и координат центра масс материальной кривой (фигуры) приводит к составлению интегральных сумм, а пре дельный переход при стремлении А- > - 0 — к определенному интегралу.
Вычисление статических моментов, моментов инерции и коорди нат центра масс плоской линии. Пусть материальная кривая АВ
длиной I задана уравнением у = f(x), х £ [а; Ь]. Будем считать кривую
А В |
однородной (р = const). |
|
|
|
|
Вычисление моментов плоской линии и координат центра масс |
проведем по описанному выше алгоритму. |
|
|
1. |
Разобьем отрезок [а; |
Ь] |
на п частичных отрезков точк |
х к'. |
а — хо < |
Xi < ... <Lxn~ \ < х п = |
b. |
Обозначим |
Кхк = хк — х к- \ . |
Выберем внутри каж дого частичного отрезка [хк-\', |
д:*] произвольным |
образом точку g*, k — 1, п. Через точки разбиения хк проведем пря |
мые, параллельные оси Оу (рис. 10.29). |
Эти прямые'разобьют |
кри |
вую АВ на частичные дуги длиной А4 |
и массой |
т к — рА/*. Тогда |
каждой точке |
**] будет соответствовать точка Рк(1к', f(h))- |
2. Заменим теперь каждую часть дуги А1к материальной точкой |
Рк(Ы |
f(lk)) массой т к = |
рМ к, k = \, п. |
|
|
|
3. |
Будем рассматривать материальную кривую А В как фиктивную |
систему, состоящую из |
п материальных точек |
РкЦк', f (£*)). |
к = |
= 1, |
п. Тогда масса М материальной кривой АВ, |
статические |
мо |
менты М х, М у, моменты инерции 1Х, 1У, / 0 |
и координаты центра масс |
находятся по следующим приближенным формулам: |
|
|
п |
п |
|
п |
|
|
A f « 2 рА1к, |
2 р/(|*)А/*, |
Му ж 2 р£*АIk, |
|
|
k « l |
6 = 1 |
|
k=\ |
|
|
п |
п |
|
|
|
|
/*Ж 2 pf2(lk)Mk, /»« 2 р5*А/*, /о = /* + /< |
|
OftQ |
* = 1 |
fe=l |
|
|
|
(где |
A k = |
V l |
+ |
(Г(1 *))2д**). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Хс « |
Му/М, |
у с ж М х/М . |
|
|
4. |
Переходя |
к |
пределу при Х = |
тах{Ах*}-^0, |
получаем |
точные |
значения |
искомых величин: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М = S р V 1 + (y ' f d x , |
|
|
|
М х = |
\рул]\ |
+ ( y 'fd x , |
М у = |
\рх -\/1 + (y 'fd x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 10.22) |
^ |
= SpУ2л[\ + |
( y 'fd x , |
Iy = |
\ p x 2^Jl |
+ ( y 'fd x , I0 = Ix+ Iy, |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x c = My/M, |
y c = M x/M . |
|
|
Полученные формулы справедливы и для любой неоднородной |
(р = |
р(лс)) материальной линии |
АВ. |
|
|
|
|
|
Пример 10.22. Найти статические моменты относительно осей координат и коорди |
наты |
центра масс |
однородной (р = |
1) полуокружности х 1 + у 2 |
= R2 (у ^ 0). |
Р е ш е н и е . |
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У = |
V * 2 — х2- У' = |
|
I----- = |
=• |
V 1 +(У'У = |
Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У* 2 - * 2 |
|
У ?2 - * 2 |
|
На основании |
формул |
(10.22) получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я |
|
|
|
|
|
|
/? |
|
|
|
|
|
|
|
~R |
|
|
|
R ----дх = л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M s = |
\ |
X ----; |
— |
■dx = |
— R - J R ^ — X 2\R |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
- « У ? 2 - * 2 |
|
|
|
l _ * |
|
|
М асса |
M полуокружности |
численно |
равна длине полуокружности |
(М = л/?), |
поэтому по |
формулам |
( 1 0 .2 2 ) находим |
координаты ее центра |
масс: |
|
х с = Л ^ /М = 0, у с = Мх/М = 2R2/nR — 2R/n.
Итак, С(0; 2 Я /я ).
Вычисление статических моментов, моментов инерции и коорди нат центра масс плоской фигуры. В этом случае так же, как и при
Р и с . 10.30
вычислении площадей плоских фигур, в качестве базовой фигуры удобно принимать криволинейную трапецию.
Пусть дана материальная криволинейная трапеция аАВЬ, огра ниченная графиком функции у = f(х) ^ 0, х £ [а; Ь], осью Ох и пря мыми х — а, х = Ь. По этой трапеции непрерывно с плотностью р = = const распределена масса М. Тогда М — pS, где S — площадь криволинейной трапеции.
Вычисление статических моментов М х, М у, моментов инерции 1Х, 1У, /о и координат центров масс х с, ус проведем по уже известному алгоритму.
1. Разобьем отрезок [а; Ь] на п частичных отрезков точками а —
= хо < Xi < ... < x n = |
b. Обозначим S.xk = х к — хк-\. |
2. Выберем точку |
£* = -^-(xk- i + х к). Через точки разбиения х к |
проведем прямые, параллельные оси Оу (рис. 10.30). Эти прямые разобьют криволинейную трапецию на частичные трапеции. П ло щадь каждой такой fc-й частичной трапеции приближенно равна площади прямоугольника со сторонами Ахк и f(£,k)'- A Sk zz f(Z,k)Axk,
масса |
т к = pAS*. |
3. |
Сосредоточим массу каждой частичной криволинейной трапе |
ции в точке Р к (Ы 4 -/(£*))> т - е - в Центре симметрии прямоугольника со сторонами а х к, Д£*)- Будем рассматривать материальную криво
линейную трапецию аАВЬ как фиктивную |
систему, состоящую из п |
материальных точек Рк(^,к; у |
/(£*)), k = |
l, |
п. Тогда ее масса, стати |
ческие моменты |
М х, М у, моменты инерции Ix, l y, I о и координаты |
центра масс находятся по приближенным формулам: |
п |
|
|
п |
|
|
п |
Мж 2 Рf(lk)Axk, М*«~2 рf 2(lk)Axk, М у = 2 р Ы ( 1 к)Ахк, |
А = |
1 |
|
* k = |
\ |
|
4 = 1 |
/л « |
т |
2 рf3(lk)Axk, |
Iy = |
2 р !2/ ( Ы |
Ах*, /о = Ix -f 1у, |
|
1 k= 1 |
|
* = 1 |
|
|
|
|
Х с ^ М у / М , У с & м х / М . |
4. Переходя к пределу при А = max{Ax*}->-0 ( Х ^ О о ^ ^ х ; /(£*)- |
|
|
|
|
[о; *] |
|
|
-у), получаем точные значения |
искомых величин: |
|
|
|
|
&' |
|
|
|
|
|
Л4 = |
J pydx, |
|
|
|
|
V |
|
|
о |
|
|
|
М х : у jj py2dx, М у = |
^ |
p j o / d * , |
|
|
|
|
|
|
(10.23) |
|
/* = y ^ p y 3dx, |
Iy = |
^ p x 2ydx, |
I0 = Ix + Iy, |
аа
Хс = М у/М , у с = М х/М .
Пример 10.23. Найти координаты центра масс однородной vk — ч |
Jr |
ограниченной дугой эллипса |
X2 |
|
и2 |
, лежащей в |
первом |
квадранте, |
и осями |
— - |- |
2 |
_ = 1 |
координат. |
|
|
а |
|
Ьг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nab (см. |
Р е ш е н и е . |
Так как площадь фигуры, ограниченной эллипсом, равна |
пример 10.4), то масса фигуры, лежащей в первом квадранте, М' = лаЬ/4. |
|
Найдем статические моменты относительно осей координат, используя формулы |
(10.23): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"■-т5-- IS*’('1- 5)dx- т(х- I » “ |
|
а |
|
а |
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
^ xydx = |
|
хл/aF— x2dx = — |
л]а2— x2d(a2— х2) = |
|
о |
о |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
= |
- |
Ь |
|
. , |
243/2 1“ |
° 2Ь |
|
|
|
|
|
|
За |
|
а 2 - |
х 2)3/2 |
1о |
= — j - . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
Вычислим координаты центра масс: |
|
|
|
|
|
|
|
_ |
Му __ |
агЬ 4 |
|
_ 4а |
__ Мх^ _ |
ад2 |
4 |
_ 4Ь |
|
с |
М |
3 |
|
nab |
|
З л ’ |
|
М |
3 |
nab |
3п |
|
Итак ,с(~- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ Зл |
Зл / |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В прил. 1 даны координаты центра масс некоторых простых |
однородных фигур. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д ля нахождения |
центра |
тяжести |
плоской |
фигуры, имеющей |
сложную форму, принимают метод разбиения фигуры на простей шие фигуры, координаты центра масс которых либо известны, либо достаточно легко определяются. При этом сложную фигуру D пред ставляют в виде объединения простейших фигур, из которых выре заны некоторые фигуры. Эти фигуры (вырезанные) обозначим через
D 1, Z)2, ..., Dn, а их |
площади — S b S 2, |
..., |
S„. |
|
Тогда координаты центра масс фигуры D можно найти по фор |
мулам: |
|
|
|
|
|
|
21 |
( ± S 6)*C |
2 ( ± S k ) y c |
|
х с = |
— |
„-------------------------. Ус = |
^ „ |
---------------— , |
( Ю . 2 3 ) |
|
|
2 ( ± S t ) |
|
2 ( + S*) |
|
|
k=\ |
|
k=\ |
|
где x Ck, y Ct — координаты центра масс фигуры Dk, Sk — площадь
фигуры Dk, k = l , п. В этих формулах площадь фигуры берется со знаком « + », если Dk ci D, и со знаком « — », если й к ф О , т. е. если элементарная фигура Dk вырезана.
При нахождении координат центра масс можно использовать свойства симметрии фигуры. Если фигура имеет плоскость, ось или центр симметрии, то центр тяжести лежит в этой плоскости, на этой оси или в этом центре.
Пример 10.24. Найти координаты центра масс заштрихованной на рис. 10.31 фигуры (AtMN — полуокружность радиусом г = 1, OL — дуга параболы у = 2х).
Р е ш е н и е . Заштрихованную область D можно представить как фигуру D\ (прямоугольник ЛИгЛзУЬ), из которой удалены фигуры £>2 (полукруг NMAa) и D3 (половина параболического сегмента OFL). Найдем координаты центра тяжести фигур Di, D2 и D3.
Центр масс прямоугольника находится в центре его симметрии, т. е. в точке
Ci(0,5; 1), его площадь Si = 20. |
|
|
Фигура Dy представляет собой половину круга, центр которого находится в |
точке 0,(3; 0), а радиус |
г = \ . Площадь вырезанного полукруга |
S 2 = я /2 ж |
1,57. |
Воспользовавшись прил. |
1, находим координаты центра тяжести |
полукруга |
х с>= |
4 |
|
|
|
= 3 — — « 2,58, у Сг = 0 (в силу симметрии Dt относительно оси Ох.) Следовательно, |
С2(2,58; 0 ).
|
Фигура Dз представляет собой половину параболического сегмента. Его площадь |
S 3 = |
f |
|
4 |
|
|
|
|
1 , |
вычисляем |
координаты |
центра |
\ (2 — 2x2)dx = — « 1,33. Используя прил. |
масс |
фигуры D3: х Сг = |
3/8 = 0,375, |
у с> = |
6/5 = |
1,20, |
т. е. С3 (0,375; 1,2). |
|
|
Найдем координаты центра масс заштрихованной фигуры по формулам |
(10.23): |
|
|
jeCiSi — x c S 2 — x c S 3 |
0,5 • 20 — 2,58 ■1,57 — 0,375 • 1,33 |
0,318, |
|
|
S 1 - S 2 - S 3 |
|
2 0 - |
1,57— 1,33 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yc,S. - |
y ClS 2 - y c,S3 |
_ |
1,2 0 - |
1 ,5 7 - 1 ,2 • 1,33 |
= 1,076. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 0 — 1,57— 1,33 |
|
|
|
, = |
Итак, |
центр |
масс |
заштрихованной |
на рис. |
10.31 фигуры |
имеет |
координаты |
0,318, |
у Г = |
1,076. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПР И Л О Ж Е Н И Я
I. Центры масс некоторых фигур
Фигура
Координаты центра масс фигуры
Треугольник
р / |
Xl ~t~* 2 + Хз |
У] j/ 2 |
+ Уз \ |
л |
з |
з |
) |
Четверть круга
Ук R
ОЯ *
Полукруг
Четверть окружности
Полуокружность
R
с
Окончание прил. 1
П р и м е ч а н и е . Центры тяжести симметричных фигур: отрезка, окружности, круга, шара, призмы, цилиндра, параллелограмма и так далее, находятся в центрах симметрии этих фигур.
2. Основные методы интегрирования
Вид интеграла
2
\f(<f(x))y'(x)dx
\P„(x)ekxdx,
^ Рп(х) sin kxdx,
) Р„(л:) cos kxdx
J Рп{х) In xdx,
\ Р„{х) arcsin xdx, ) Рп(х) arccos xdx, ( Pn(x) arctg xdx, j P„(x) arcctg xdx
Метод интегрирования
3
Подстановка cp(x) = и, ср'(x)dx = du
Интегрирование по частям \udv =
= uv — \vdu. (Положить и = Рп{х).)
Интегрирование по частям $ udv =
= uv = \ v d u . (За и принять множи тель при Р„(х).)
П ар агр аф , в котором описан метод
А
8.4
8.4
8.4
\e“x cos bxdx, |
Двукратное интегрирование по |
8.4 |
\eax sin bxdx, |
частям |
|
j|Sin(ln x)dx, |
|
|
]cos(ln x)dx |
|
|
