Герасимович(математический анализ)
.pdf
А.И. Герасимович
Н.А. Рысюк
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ
В двух частях
Часть 1
МИНСК «ВЫ Ш ЭИШ АЯ ШКОЛА»
1989
ББК22.161я2
Г37
У Д К 517(035.5)
Р е ц е н з е н т ы : : кафедра высшей математики Белорусского института инженеров железнодорожного транспорта; кафедра высшей математики Вильнюсского инженерно-строительного института
Герасимович А. И., Рысюк Н. А.
Г37 Математический анализ: Справ, пособие. В 2 ч. Ч. 1.— Мн.: Выш. ш'к., 1989.— 287 с.: ил.
ISBN 5-339-00084-2.
Рассматриваются основные вопросы дифференциального и интегрального исчисления функций одной переменной, предусмотренные программой курса «Высшая математика» для технических вузов. Содержатся примеры и задачи, иллюстрирующие теоретические положения, приводятся алгоритмы некоторых методов..
Д л я студентов технических вузов всех форм обучения, инженеров, а также для тех, кто самостоятельно изучает курс высшей математики.
ББК 22.161 я2
ISBN 5-339-00084-2 (ч - l )
ISBN 5-339-00269-1 |
© Издательство «ВЫшэйшая школа», 1989 |
ПРЕДИСЛОВИЕ
Ускоренное развитие науки и техники предъявляет повышенные требования к математическому образованию современных инжене ров. Главное из них — это ориентация обучения студентов на при менение математических методов к решению прикладных задач и широкое использование ЭВМ в учебном процессе. Основой матема тической подготовки инженера является общий курс высшей мате матики. Опыт показывает, что успешному освоению этого курса спо собствует работа не только с учебниками и учебными пособиями, написанными, как правило, «академическим» языком, но и использо вание различного рода вспомогательных изданий — справочников и методических справочных пособий, отражающих уровень препода вания общего курса высшей математики в конкретном вузе.
Вниманию читателя предлагается справочное пособие по мате матическому анализу, которое разработано на кафедре высшей ма тематики № 2 Белорусского политехнического института — голов ного втуза республики. Оно написано в соответствии с программой общего курса высшей математики для технических вузов.
В данном пособии сделан упор на применение математического аппарата по готовым схемам (формулам, теоремам и определениям). Доказательства ряда теорем и выводы формул,не приведенные здесь, читатель может найти в учебных изданиях, указанных в списке ли тературы.
Пособие имеет следующую структуру. В нем содержатся опреде ления основных понятий, формулировки теорем и следствий из них, приводятся доказательства наиболее важных теорем и выводы мно гих формул. Начало доказательств теорем, следствий и свойств обозначено символом > , а конец — <]. Д ля наиболее употребитель ных определений и теорем дается вторая (краткая) их запись с по мощью кванторов и логических символов. Кроме того, в пособии приводятся примеры решения задач, иллюстрирующие теоретиче ские положения, а также алгоритмы и программы решения некото рых задач общего курса высшей математики с помощью численных методов на программируемом микрокалькуляторе «Электроника Б3-34» и ЭВМ, что подготавливает читателя к использованию вы числительной техники.
У предлагаемого справочного пособия довольно широкий адрес. Оно может быть использовано студентами технических вузов всех форм обучения для организации самостоятельной работы по изуче нию общего курса высшей математики, преподавателями вузов и техникумов — при подготовке лекционных курсов, практических и семинарских занятий. Инженерам и научно-техническим работникам
оно поможет получить необходимую информацию по практическому применению дифференциального и интегрального исчисления.
Пособие состоит из двух частей. В первой части изложено диф ференциальное и интегральное исчисление функций одной перемен ной: элементы теории множеств, числовые функции, их пределы и дифференцирование, векторные и комплексные функции действи тельного аргумента, неопределенный и определенный интегралы и их применение. В приложениях содержатся формулы для вычисления координат центров масс некоторых фигур и таблица основных мето дов интегрирования.
Главы 1—7 написали совместно А. И. Герасимович и Н. А. Рысюк, главы 8— 10 и приложения — А. И. Герасимович.
Авторы выражают благодарность рецензентам: коллективу ка федры высшей математики Белорусского института инженеров ж е лезнодорожного транспорта (заведующая кафедрой — кандидат физико-математических наук Ж . Е. Буховец) и коллективу кафедры высшей математики Вильнюсского инженерно-строительного инсти тута (заведующий кафедрой — кандидат физико-математических наук В. С. Лютикас) — за ценные советы и замечания, способство вавшие улучшению пособия, а также сотрудникам кафедры высшей математики № 2 Белорусского политехнического института — за помощь, оказанную при подготовке рукописи к изданию.
Все отзывы и пожелания просьба присылать по адресу: 220048, Минск, проспект Машерова, 11, издательство «Вышэйшая школа».
Авторы
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
|
|
|
|
=ф- — знак |
логического следования |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
-о- — знак |
равносильности (эквивалентности) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
£ — знак |
принадлежности |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
def |
—знак |
соответствия |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
— равенство по определению |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
у |
— квантор общности |
|
|
|
|
|
|
А |
|||
|
|
|
|
3 |
— квантор существования |
|
|
|
|
|
Е |
||||
|
|
(а, Ь, |
с, |
...}— множество, состоящее |
из элементов |
а, |
Ь, с, ... |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
— пустое множество |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
A U В — объединение множеств А |
н В |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
А Г) В — пересечение множеств А |
и В |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
А \ В |
— разность множеств А и В |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
A, |
U \A — дополнение множества |
А |
до универсального |
множества |
U |
||||||||
|
|
А е В |
— множество А |
является подмножеством множества В. |
|
|
|||||||||
|
|
A cz В — множество |
А |
является |
собственным |
подмножеством |
мно |
||||||||
|
|
|
|
|
ж ества В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\х\Р(х)\— множество |
элементов |
*, |
удовлетворяющих |
условию |
Р(х) |
||||||||
|
|
|
sup А — точная верхняя грань множества А |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
inf А — точная нижняя грань множества А |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
f: |
X-*-Y — функция j, отображаю щ ая множествоX в (на)множество |
Y |
|||||||||||
|
|
f ~ l: |
Y —►X |
— функция, |
обратная к функции f, отображаю щ аямножество |
||||||||||
|
|
|
|
|
Y в (на) множество X |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
D (f) — область определения функции f |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
E ( f ) — множество значений функции f |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
f a g |
— композиция функций f и g, т. е. сложная функция, состав |
|||||||||||
|
|
|
|
|
ленная из функций f н g |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
[а; |
Ь] — замкнутый |
промежуток (отрезок; сегмент; числовой отрезок) |
||||||||||
|
|
|
|
|
с началом а |
н концом Ь, а < Ь |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
]а; |
/>[ — открытый |
промежуток |
(интервал; |
открытый |
числовой |
|
от |
|||||
|
|
|
|
|
резок) с началом а н концом b, а > |
Ь |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
[а; |
6 [ — полуоткрытый промежуток (полуинтервал; числовой отрезок, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
открытый справа) с началом а и концом Ь , а < Ь |
|
|
||||||||
|
|
|
]а; |
Ь] — полуоткрытый промежуток (полуинтервал; числовой отрезок, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
открытый |
слева) с началом а и концом Ь, |
а <.Ь |
|
|
||||||
[а; + |
оо[, ]— |
оо; а] |
— бесконечные |
промежутки |
(числовые лучи) |
|
|
|
|||||||
]а; |
оо[, |
] — оо; |
а[ — бесконечные промежутки |
(открытые числовые лучи) |
|
|
|||||||||
|
|
о(Р(*)) — бесконечно малая функция более высокого порядка, чем р(*) |
|||||||||||||
|
|
0.(а)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
(х| |
U — о | < |
е) — е-окрестность |
точки а |
|
|
|
|
|
|
|
||||
5
& (« )-
= {x|0 < U — al < e) — проколотая |
е-окрестность точкя а |
|
i — мнимая единица, i2 = — 1 |
|
|
Re z — действительная часть комплексного числа г |
|
|
Im г — мнимая часть комплексного числа г |
|
|
г — число, сопряженное комплексному числу z |
|
|
A rg г — аргумент комплексного числа z |
|
|
a rg z — главное значение аргумента комплексного |
числа z |
|
(ип) — последовательность с п -м членом ип |
|
|
N — множество натуральных чисел |
|
|
1 — множество |
целых чисел |
|
Q — множество |
рациональных чисел |
|
R — множество |
действительных чисел |
|
R+ — множество положительных действительных чисел |
||
Ro — множество |
неотрицательных действительных чисел |
|
R _ — множество |
отрицательных действительных |
чисел |
С — множество |
комплексных чисел |
|
1.МНОЖЕСТВА
1.1.ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА. ЛОГИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ
Множества. Способы задания. Понятие множества считается первоначальным, неопределяемым. Под множеством понимают со вокупность определенных и отличных друг от друга объектов, объе диненных общим характерным признаком в единое целое. В мате матике вместо термина «множество» часто говорят «система», «класс», «семейство», «совокупность».
Объекты или предметы, из которых состоит множество, назы вают элементами множества.
Множества и их элементы обозначают обычно буквами латин ского алфавита: множества — прописными А, В, С , ..., их элементы —
строчными а, Ь, с, ... |
Если элемент а принадлежит множеству А, |
|
то пишут а 6 А; если а |
не принадлежит множеству А, пишут а £ А. |
|
Множество задается или перечислением его элементов, или ука |
||
занием характеристики |
свойств элементов. |
|
Если множество А состоит из элементов а, Ь, |
с, d, то пишут |
|
|
А = {а, Ь, с, d} |
|
(читается: «Л по определению есть множество |
с элементами а, Ь, |
|
с, d»).
Если множество А задается указанием характерного свойства Р(х) его элементов, это записывают так:
Л ={*!/>(*)}.
Множество, состоящее из одного элемента, называют одноэле ментным и обозначают {а}. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают символом 0 .
Например, множество действительных корней уравнения х 2 + 1 = 0 пусто.
Все множества делятся на конечные и бесконечные. Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются
конечными.
Так, например, множество студентов потока, множество жителей города, мно жество решений кубического уравнения, множество вершин или диагоналей какоголибо многоугольника конечны.
Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.
Например, множество натуральных чисел, множество всех прямых, проходящих через фиксированную точку плоскости, бесконечны.