Герасимович(математический анализ)

и. Далее, пусть на множестве Е(и)

задана функция y = f(u)(D(f

£=£(«)). Тогда функция ср переводит

(ставит в соответствие, отобра­

жает) элементы х в элементы и,

а

функция f переводит элементы

и в элементы у:

x Z * u - + y o y

=

f((?(x))o(f<><p).

цией от функции

(записывают у = f(q>(x))). Часто

сложную функцию

называют

такж е

композицией функций f и ср

или суперпозицией

функций

и обозначают f оф. При этом функцию

и = у(х) называют

y =

f(u),

и = ф(дс).

Пусть

у — дфС'Ф^))) — сложная функция двух

промежуточных

аргументов

t и

и:

У = f (ф("Ф ( x ) ) ) o ( f ° 4 > ° i l s > ) : x X u ^ t - + y .

Ее

можно

представить

в

виде

цепочки

равенств: y =

f(i), < =

ф(ы),

и =

ф(лг).

Например, функция у =

-\]ах

Ь

является сложной. Ее можно записать

в виде

следующей

цепочки равенств:

у =

л/и, и = ах +

Ь.

Здесь

<р(х) = а х + Ь ,

£>(<p) =

R,

f(x) =

л[х, D(j) =

(*|jc>0},

(f°<f)(x) = f(q>(x)) =

=

^Jax + b, £)(/оф) = {дг|ах +

6

>

0 }.

Функция

y =

sin2 (2x +

1)

является

сложной

функцией двух

промежуточных

аргументов

t

и и.

Действительно,

у

нее

можно

выделить промежуточные звенья:

у — t2, t =

sin и, и = 2х +

1 .

Таким образом, у =* sin2 (2х +

1) является сложным отображением:

x - tu - Z i- i:y* e> y = f(<p(y(x)))<t-(foq>oTf>),

где i|>(x) *= 2х + 1;

ф(и) =

з т

u;

f(t) — t2\ D(f°<poty) = R; E(f°<p°ilp) =

\у \ у = sin2 (2х -+•

+

1)> ■*€ R} =

10;IJ.

функции:

у = ln(2x +

y = sin х,

у = a rc sin e 1, у =

С л о ж н ы м и явл я ю тся

6),

=

л/sin (1 / х 2),

у =

lg sin х

и

т. д.

Обратная функция.

Функция

y = f(x)

является

отображением

множества D(f)-+E(f),

где D(f) — область определения; E( f ) — мно­

жество значений функции y — f(x).

f

Рассмотрим

взаимно

однозначные

(биективные)

отображения

(см. §

1.3), т. е. взаимно

однозначные

функции.

При взаимно однозначном отображении множества D на мно­

жество Е каждый элемент у

множества Е является образом одного

и только одного элемента х множества D и наоборот, т. е.

у = f(x) — взаимно

однозначная

ф у н к ц и я о

o V x £ D

l y £ E : y =

f(x);

V*,, х 2 6 D,

х хФ x 2: f { x i ) ^ f ( x 2).

Например, функция у — х3, D(f) = E ( f ) =

R,

является

взаимно

однозначной

(f — биективное

отображение множества R на множество R), так как каждому

значению

х £ R

соответствует

единственный

элемент

i / € R,

такой,

что у = *

( x i x 3), причем у

является образом только одного элемента х

(рис. 2.9)

и, наоборот,

каждому элементу у £ R соответствует

только

одни

элемент

х £ R, такой, что

х =

= у о х =

JC3-»-*).

у £ Е ( у ) ставится в

соответствие единственный

эле­

Так как каждому элементу

мент х (: D,

то соотношение х =

-Цу такж е является

функцией,

обратной к функции

у = х ъ.

Пусть у =

f(x) (D-+E) — взаимно однозначное

(биективное)

ото­

Действительно,

для

каждого элемента (образа)

t) £ Е

существует два прообраза

— х и х (рис.

2.10),

т. е. обратное отображение

E - + D

функцией

не является, так

как любому у £ Е соответствует не один, а два элемента х.

Приведенный

пример показывает, что не

всякая

функция у =

функция x = f ~ x(y). По существу эти две функции

(рис. 2.11)

выра­

жают одну и ту же зависимость между переменными х н у .

Только

при

функциональной

зависимости

у — f(x) мы

рассматриваем

х

как

аргумент, у как

функцию. При функциональной зависимости

x — f ~ l(y) аргументом

служит у,

функцией — х,

поэтому

график

обратной функции х — f ~ (у) совпадает с графиком функции у =

f (х)

(см. рис.

2.11).

Если

же у обратной функции, так же как и у данной, аргумент

сы

первого координатного угла.

Таким образом, график обратной функции y = f ~ l{x) симметри­

чен

графику данной

функции y = f(x) относительно биссектрисы

первого координатного

угла.

На

рис.

2.12 изображены графики функции

у — х3 и

обратной ей функции

у = У х .

функции у = х* с D ( f ) = R не существует

Д ля

обратной

функции. Однако если

эту функцию

рассматривать только в области D ( f ) = R+ ,

где она монотонна, то

1)

решая

уравнение y = f(x) относительно х, находим x = f~'(y);

2)

меняя

обозначения переменной х на у, а у на х, получаем

Р и с . 2.13

Р и с . 2.14

Пример 2.2. Показать, что функция у — Зх +

2 имеет обратную, и найти ее ана­

литическое выражение.

у = Зх + 2

Р е ш е н и е .

Функция

монотонно возрастает и, следова­

тельно,

имеет

обратную. Решив уравнение у = Зх +

2

относительно ж,

получим

х =

f ~ 1(у) =

(у — 2)/3. Поменяв

местами обозначения,

найдем

обратную

функцию

у =

f ~ l(x) =

(x — 2)/3. Графики

этих функций приведены

на рис. 2.14.

2.4. ОСН ОВНЫ Е ЧИ С Л О В Ы Е ФУНК ЦИИ И ИХ ГРАФИКИ

Линейная

функция

у = ах-\-Ь

(а,Ь 6 R).

Область

определения

этой функции

D{ f ) = R, а

множество значений

Линейная

функция

возрастает

при

а >

0, убывает

при

а < 0.

График

функции — прямая

линия

с угловым

коэффициентом

k = a = t g a ,

отсекающая на оси Оу отрезок,

равный b

(рис. 2.15).

Квадратичная функция у = ах2 +

Ьх +

+ c(a, b, c£R> а Ф 0). Рассмотрим два

случая.

а > 0.

D(f) =

1.

Пусть

Тогда

R,

на промежутке ]— оо; — Ь/(2а)], возраста­

у = а х + Ъ

Ь

ет

на

промежутке [ — b/(2a); оо[. График

функции — парабола с осью х =

— Ь/ ( 2а),

х

вершиной

в точке

и

ветвями,

направленными

вверх

(рис. 2.16, а ) .

Р и с .

2.15

а

5

у к

у * а х г+Ьх *с

(a< 0) / r f jN .

•

Р и с. 2.16

£'(/) = J —

2.

Пусть

теперь

а <

0.

Тогда

D( f ) — R,

о о ;

Функция возрастает

на

промежутке ] — о о ;

— Ь/(2а)}

и убывает

на

промежутке [— Ь/(2а); + о о [ .

График функции — парабола с осью

x = — b/(2a),

вершиной

в

точке

ветвями,

на-

правленными вниз (рис. 2.16, б).

Степенная функция

у = ха (а £ R). Рассмотрим наиболее

часто

встречающиеся

случаи.

1.

Пусть

а

=

2п,

п £ N,

у = х 2п. Тогда

D ( f ) = R,

£(/) =

[0;

оо [.

Функция четная,

убывает

на промежутке ] — о о ; 01,

возрастает

на

промежутке ]0; о о [ . График — парабола порядка 2п

(рис. 2.17).

2.

Пусть

о =

2 я + 1 ,

r t £ N,

y = x 2a+l. Тогда

D ( f ) = R,

E ( f ) =

R.

Функция нечетная,

возрастает

на

R. График — парабола

порядка

2 п +

1 (рис.

2.18).

3.

Пусть

а

=

— 2п,

п 6 N,

у =

\ / х 2\

Тогда

D ( f ) =

R\(0}, E(f) =

= ]0;

о о [ . Функция

четная,

возрастает

на

промежутке ] — о о ;

0[,

убывает на промежутке ]0;

+ о о [ .

Графики

функции

\ / х 2л для п =

= 1 и /1 = 2 изображены на

рис.

2.19.

4.

Пусть

а

=

—2 / 1 + 1 ,

r t ^N,

у = l / * 2"-

Тогда

Z>(/) =

R\{0},

-1

О

1

X

Р и с .

2.17

Р и с . 2.18

У - 1 / Х

Оп-1

,П=1,2

у--1/ х 2п, п - 1,2

У * /* *

X

2

-1 0 х

1

Рис. 2.20

Р и с .

2.19

E(f) = R \[0}. Функция

нечетная, убывает

на

промежутках ] — оо; 0[,

]0; + оо[. Графики функции 1/х

для

п =

1

и п = 2 изображены

на рис. 2.20.

а (£ Z,

у = х а. Тогда

D(f) = ]0-

5.

Пусть

оо[, jE(/) = |0; оо[. П

чается

функция

y = jc /2 (или

у 2 = х 3).

График — ветвь полукуби-

ческой

параболы

(рис. 2.21).

Показательная функция у =

а* (а >

0, а Ф 1). Область определе­

0 < а <

1 функция убывает, при а > 1 — возрастает. График функ­

ции изображен на рис. 2.22.

Если

а =

е (е « 2,71828...), то функция

у = ех называется экспо­

нентой:

у =

ех = ехр(х), D(f) = R, E(f) = ]0;

oof. График экспоненты

дан

на

рис. 2.23.

Логарифмическая функция y — \ogax ( а > 0, а Ф 1). Эта функ­

ция обратна показательной. Область ее определения D(f) = ]0\

о о [ ,

множество значений £(/) = R. При 0 < а <

1 функция убывает,

при

а >

1 — возрастает. Ее график изображен

на рис. 2.24.

О

X

О

X

Рис.

2.21

Рис.- -^.22

Если

а = е, то

у = \ п х

называется

функцией

натурального

логарифма.

График

функции у =

\ п х

приведен на

рис. 2.25.

Тригонометрические

функции

у —

— sin х,

у = cos х,

y =

t g x ,

у =

ctg х.

Ф у н к ц и я

y — s m x ;

D { f ) ~

R, £(/) =

= [— 1;

1].

Она нечетная,

периодиче­

ская

с

периодом

Т =

2л.

Функция

возрастает

на промежутках

[— л /2 +

+ 2nk\

n / 2 -\-2 n k \

убывает

на проме­

жутках

[л/2-|-2л& ;

Зл /2 -j- 2nk),

k £ Z .

График — синусоида

(рис.

2.26).

Ф у н к ц и я у = cosx; D ( f ) = R,

£(/) = [— 1;

1].

Она

четная, пе­

[{2k — 1)л;

2 k n \

убывает

на промежутках

[2л/г; (2/г+1)л],

k £ Z .

График — косинусоида (см. рис.

2.26).

Ф у н к ц и я

y =

i gx\

D ( f ) = R\{n/2

n k I k £ Z},

£ ( / ) = R .

Она

нечетная,

периодическая.

Период

Т =

л.

Функция

возрастает на

D(f), т..е на промежутках

] — л / 2 +

лй;

л /2

л/г[, k £ Z . График —

тангенсоида (рис. 2.27).

Ф у н к ц и я

y =

ct gx;

D (f) =

R\{nk \ k £ Z), E(f) =

R. Она

нечет­

ная, периодическая

с периодом

7' = л.

Функция убывает на D(f),

т. е. на промежутках ]л&; л + л/г[,

/г £ Z. График — котангенсоида

(рис. 2.28).

функции: y = secx-

1

и =

cosec х = ■

cos х ’

"

I

sin j:

Обратные тригонометрические функции у — arcsin х, у =

arccos х,

у = arctg x , у =

arcctgx . Они определяются

как функции, обратные

соответствующим тригонометрическим функциям.

Ф у н к ц и я

у =

arcsin х

(рис. 2.29):

у — arcsin х о х

— sin у,

Ф у н к ц и я

у =

arcctg *

(рис.

2.32):

у = arcctg х о х =

ctg у;

D ( f ) = R, E(f) =

]0;

я[. Она

убывает

на

£>(/);

a rc c tg (—-\/з) =

5л/6,

a rc c tg (— 1) = Зл/4,

arc c tg (— 1/-\/з) =

2л/3,

arcctg 0 = л/2 ,

a r c c tg ( l/^ 3 ) =

л /3,

arcctg 1 = л / 4 ,

arcctg

"\/з = л /6 .

Исходя

из

свойства взаимно

обратных

функций f ( f ~ l(x)) =

= f ~ [(f(x)) =

x

и соотношений между

тригонометрическими

функ­

arcsin х -\- arccos х — л /2 , arctg х +

arcctg х — л/2,

arcsin х +

arcsin ( — *) =

0,

arccos х +

arccos(— *) =

л,

arctg х +

arctg ( — х) =

0,

arcctg х +

arcctg ( — х) =

л.

Можно рассматривать обратные

тригонометрические

функции

от

тригонометрических функций: у =

arcsin (sin х) (рис. 2.33), у =

=

arccos (cos х),

у — arctg(tg х)

(рис.

2.34),

у = arcctg(ctgx).

/

i

/

i

/

i

т

-2П / - З Щ 2 Х к -71/2У о я/г/л

jj/ У ^

х

S

/

4 i/2-

а

<Г

Р и с.

2.34

Гиперболические

функции у =

sh jc,

у =

ch х,

у =

th х, у =

cth х.

Ф у н к ц и я

у =

shjc = (е* — е ~ х)/2

( синус гиперболический); D(f) =

= R, E ( f ) =

R.

Она

нечетная, возрастает

на

R (рис.

2.35).

Ф у н к ц и я

у =

ch х =

(е* + е ~ х )/2

(косинус

гиперболический);

D ( f ) = R,

E(f) =

[1; + о о [ . Функция четная,

убывает

на

промежутке

] — оо; 0],

возрастает на [0; + о о [

(см. рис.

2.35).

Ф у н к ц и я

г/ =

th л: =

sh jc/ch л:

(тангенс

гиперболический).

Тогда t h x — (ex — e ~ x)/(ex -\-e ~ x); D(f) =

R, £(/) =

] — 1;

1 [. Функция

нечетная, возрастает на D(f) (рис. 2.36).

Ф у н к ц и я

у =

cthjc =

chjc/shjc

(котангенс

гиперболический).

Тогда у =

cth х = {ех + е ~ х)/{ех — е ~ х); D ( f ) =

R\{0}, £■(/)= R \[— 1; 1].

Функция нечетная, убывает на промежутках

] — о о ; 0[ и ]0;

+

оо [

(см. рис. 2.36).

Обратные гиперболические функции у =

ar§h х,

у =

arch х,

у =

= arthx,

у = arcthx . Они определяются

как функции, обратные со­

ответствующим

геперболическим функциям.

Ф у н к ц и я

у =

a r s h x (ареа-синус);

D ( f ) = R,

£ ( f ) = R

(рис.

2.37);