Герасимович(математический анализ)

С физической точки зрения годограф вектор-функции можно рас­ сматривать как траекторию движущейся в пространстве материаль­ ной точки, а всякую линию L в пространстве как годограф некоторой вектор-функции.

З а м е ч а н и е . Если предположить, что вектор а = a(f) изменяется только по длине, а его направление остается постоянным, то ja(f) I f 6 Л есть множество связан ­ ных векторов, расположенных иа луче, выходящем из точки О. Годографом такой

В качестве начала координат возьмем общую точку О приложения

векторов а = а (t). Если OM = a(t), то а = а(/) называют радиус омвектором точки М и обозначают г(/) (рис. 7.4). Любой радиус-вектор

r{t) = OM пространства R3 задается своими координатами x(t), y(t),

r(t) = x(t)i + y(t)} + z(t)k.

Так как каждой упорядоченной тройке чисел х, у, г соответст­ вует единственный радиус-вектор г = г(/), то задание вектор-функции

Исследование векторной функции скалярного аргумента сводится

168

Р е ш е н и е . Рассмотрим функции, задаю щие годограф L:

х — 21 — 1 ,

y = 3t — 5, t g R. z = — 1 + 3.

Это параметрические уравнения прямой в пространстве. Исключая из последней

7.2.П РО И ЗВ О ДН А Я ВЕКТО Р-Ф УНКЦИ И

ДЕ Й С Т В И Т Е Л Ь Н О Г О АРГУМЕНТА.

ГЕО М ЕТРИ Ч ЕС К И Й И МЕ ХАНИЧ ЕСК ИЙ СМ Ы СЛ П РО И ЗВ О Д Н О Й

Введем понятие предела, непрерывности и производной для век-

Таким образом, для того чтобы вычислить предел вектор-функ- ции, достаточно найти соответствующие пределы координат этой функции. Если хотя бы один из пределов координат функции г(^) не существует, то не существует и lim г (7).

169

О п р е д е л е н и е 7.5. Если существует предел отношения при­ ращ ения Аг(/о) вектор-функции в точке to к приращению скалярного аргумента At при A t —>~0, то этот предел называется производной вектор-функции г(£) в точке to и обозначается r' (to) или г(^о).

Таким образом,

Вычисление производных от векторной функции скалярного аргумента в точке to сводится к вычислению производных ее коорди­ нат.

Выясним геометрический и механический смысл производной вектор-функции, т. е. вектора r'(to). Пусть вектор-функция г(/) опре­

170

собой разность двух векторов, есть вектор, соединяющий конец вектора уменьшаемого с концом вектора вычитаемого (рис. 7.6).

Отношение Ar(t0)/A t представляет собой вектор, коллинеарный вектору Ar(to), так как он отличается лишь скалярным множителем. Таким образом, вектор Дг(to)/At (см. рис. 7.6) совпадает по направле­

нию с секущей M 0Mi. При A t-> 0 точка М i стремится к М 0, переме­ щ аясь по кривой L, а секущая МоМ\ занимает предельное положение, определяемое касательной к годографу L в точке М 0. Отсюда сле­ дует, что вектор

г ' ( / о ) = Н т - ^ М

д/-*о Д»

совпадает по направлению с касательной к годографу в точке Мо и направлен в сторону возрастания t. Итак, с геометрической точки зрения производная вектор-функции в точке to есть вектор г ' (to), направленный по касательной к годографу этой функции в сторону возрастания параметра t.

Выясним механический смысл производной вектор-функции. Предположим, что материальная точка движется по траектории, являющейся годографом вектор-функции г(/), где роль параметра t играет время движения. За промежуток времени Дt точка на кривой переместится из положения Мо в положение М. Вектор Дг(/о) задает перемещение материальной точки за время At. Отношение Дг(^0)/Д^ есть средняя скорость перемещения точки за время At. Переходя к пределу при Д<->-0, получим мгновенную скорость v точки в момент времени to:

V = г ' (to) = lim Д^ о) = x'(to)i + y'(to)i + z '(t0)k. Ы-+0

Таким образом, механический смысл производной от векторфункции состоит в том, что г ' (to) есть вектор мгновенной скорости

171

перемещения материальной точки по траектории, являющ ейся го­ дографом функции.

Производная вектор-функции r'(t) является, в свою очередь, вектор-функцией скалярного аргумента, и ее также можно диффе­ ренцировать.

Производная функции r'(t) в точке t = to называется второй про­ изводной вектор-функции г (t) по скалярному аргументу t в точке to

Мы показали, что с механической точки зрения производная r'(fo) равна скорости v(^o) движения материальной точки в момент времени to:

г '(to) = У(to).

Вектор а(^о), равный производной скорости \(t) по времени t в момент to, называют ускорением:

г" (to) = —Jj^- — &(to)-

Механический смысл второй производной от вектор-функции состоит в том, что г" (t0) есть вектор ускорения движения материаль­ ной точки в данный момент времени to-

х = R cos ф = R cos a>t, у = R sin ф = R sin at.

Следовательно, радиус-вектор точки М

г = х\ + у} — R cos (о/i + R sin a>t], скорость v(/) движения точки M

v = r'(t) = (R cos (at)’i + (R sin (at)'j = — Rat sin (o/i + Ra> cos (atj,

модуль скорости

|v | = ~\j( — Ra> sin rnff + (Ru> cos to/ ) 2 = wR.

Найдем скалярное произведение векторов v и г :

(v, г) = — R 2& sin a t cos <йt + R 2a>cos a>t sin (at = 0,

т. e. векторы v и г взаимно перпендикулярны. Отсюда следует, что вектор v направ­ лен по касательной к окружности, по которой движется точка М.

Найдем ускорение a (t):

172

образом, ускорение материальной точки, движущ ейся с постоянной угловой скоростью по окружности, в каждый момент времени направлено к центру этой окружности.

7.3.УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ ПРЯМ ОЙ

ИН О РМ А Л ЬН О Й ПЛОСКОСТИ

КПРОСТРАН СТВ ЕНН ОЙ КРИВОЙ

Из курса аналитической геометрии известно, что каждому урав­ нению с тремя неизвестными F(х, у, г) = О (или в явной форме z =

— f(x >У)) соответствует в декартовой системе координат Oxyz неко­

Кривую в пространстве можно задать также параметрически:

Найдем канонические уравнения касательной прямой к прост­ ранственной кривой L, заданной параметрически уравнениями (7.1), в некоторой ее точке М 0 (х 0\ уо', Zo), соответствующей значению па­ раметра to £ Т. Искомые уравнения имеют вид

О п р е д е л е н и е 7.6. Нормальной плоскостью к пространствен­ ной кривой называется плоскость, перпендикулярная касательной прямой и проходящая через точку касания.

Пусть М 0(х0,- уо; 2 0) — точка касания (рис. 7.8). Уравнение плоско­ сти а, проходящей через эту точку, имеет вид

А (х — Хо)-\-В(у — уо) -f- C(z — Zo) = 0,

где п = (Л, В, С) — нормальный вектор плоскости. Из определения нормальной плоскости следует, что векторы п = (А, В , С) и r'(t0) коллинеарны, поэтому можно положить A = x'(to), B = y'(to), С = = z'(to)- Тогда искомое уравнение плоскости будет иметь вид:

Пример 7.5. Найти уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к годографу L, заданному параметрически уравнениями:

173

z

и нормальной плоскости

174

7.4. К РИ В И ЗН А КРИВОЙ

Дифференциал длины дуги. Пусть кривая L — график непре­ рывно дифференцируемой функции у = f(x). Такую кривую называют гладкой. Возьмем точку А за начало отсчета. Пусть М £ L, тогда длина дуги A M будет функцией абсциссы х точки М (рис. 7.10).

Обозначим эту функцию 1(х):АМ = 1(х). -Найдем дифференциал функции 1(х), который называют дифференциалом длины дуги. По определению дифференциал функции l(x) dl = l'(x)dx. Найдем выра­ жение для 1'(х). По определению 1'(х) есть предел отношения длины

дуги МТМ1 к Алг:

Примем без доказательства следующую теорему.

Теорема 7.1. Предел отношения длины дуги гладкой кривой к длине стягивающей ее хорды при стремлении длины дуги к нулю равен единице:

На основании теоремы 7.1 и свойств эквивалентных бесконечно малых величин (см. теорему 3.14) при нахождении предела (7.4)

75

Внеся dx под знак корня, получим простой, легко запоминаю­ щийся вид формулы для дифференциала дуги:

дифференциал дуги в точке М с абсциссой х равен длине соответ­ ствующего отрезка касательной к линии L в точке М ( х ; у). Это отре­ зок М Т (рис. 7.11). Таким образом, за приближенное значение дуги

и' — Ж . — J L

Подставляя у'х = у / х в формулу (7.5), получаем

dl = л]х2 + y 2dt.

Кривизна кривой. Основные определения. Одной из важных ха­ рактеристик кривой является мера ее изогнутости — кривизна.

Например, о двух плоских кривых А С В c i , и A D B cz L2 (рис. 7.12) можио ска­ зать, что кривая Li более изогнута, чем L\.

д

Р и с . 7.13

Однако для того, чтобы строго оценить степень изогнутости плоской линии, необходимо ввести количественную характеристику ее изогнутости (кривизны).

Рассмотрим на кривой точки М и Mi. Проведем в этих точках касательные к кривой. При переходе по кривой из точки М в точку Mi касательная поворачивается на угол Дф, который называется углом смежности (рис. 7.13). Отношение угла смежности дуги к ее длине называется средней кривизной дуги:

/Сер = Дф/Д/.

Средняя кривизна характеризует среднюю изогнутость кривой на всей дуге. На отдельных участках кривой кривизна может значи­

176

тельно отличаться от средней. Чтобы избежать такой неопределен­ ности, вводится количественная мера изогнутости кривой в точке М. Эта характеристика основана на том, что чем меньше дуга L (см. рис. 7.13), тем лучше средняя кривизна характеризует изогнутость линии вблизи точки М.

Вычисление кривизны кривой. Пусть кривая L является годо­ графом дважды дифференцируемой векторной функции действи­

177