Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Герасимович(математический анализ)

.pdf

Скачиваний:

468

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

5.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 309 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

оо или неопределенность. Если вычисление пределов приводит к не

определенным выражениям вида оо — оо, 0 • oo,-2 _,J?L, необходимо

О оо

провести дополнительные исследования, т. е. «раскрывать неопределенности» (методика раскрытия неопределенностей изложена в § 3.7).

	Теорема 3.7. Если функция f(x) при х-+хо имеет конечный пре
дел	уо,то f(x) — уо — бесконечно малая						функция		при	х->-хо.
	> По условию			теоремы	существует Н т/(х) =				у 0.	Рассмотрим
функцию f(x) — y 0.				Вычислим			X —►Хо
функцию f(x) — y 0.				Вычислим
		lim (f(x) — уо) = lim f(x) — lim y 0 — Уо — Уо =								0.
		X —►Xo		X-* -X o		X -* -X Q
	Следовательно,			функция	f(x) — уо — бесконечно					малая	при
Х-*~Хо.		<]
	С л е д с т в и е . Если при х-*-х0 функция f{x) имеет конечный пре
дел, то в бб(хо) она				представима в виде f(x) = у 0+					a(jt), где а(х) —
бесконечно малая функция при х~*-хо-
	Теорема 3.8 (о сравнении функций). Если в 0&(хо) справедливо
функциональное			неравенство		f(x) ^ (р(х) и			существуют конечные
пределы lim f(x),			lim ф(х), то		lim f(x) <		lim (jp(jc).
		X~*-Xo	X -* -X o		X -* -X Q		X - + X O
	Теорема 3.9. Если в Og(*o)					справедливы функциональные					не
равенства г\|з(х)^ f ( x ) ^ ф(х)					и	существует		lim г\|з(х) =		lim tp(x) = уо,
								X -+ -X Q		х -* -Х о
yo 6	R,	то существует lim f(x) =				у 0.
	>			X —►Хо			ф(х). Согласно теореме 3.8,
	>	По условию теоремы гр(х) ^ f(x) ^					ф(х). Согласно теореме 3.8,
				lim гр(л:) ^	lim f(x) ^		lim ф(х)
				X —►Хо	Х -^ Х о		Х -^ Х о
или
		Уо < lim f(x) <				y0=^Hm f(x) =		у0. <1
				X —►Хо		Х -^ Х о
	Теорема 3.10. Если в окрестности точки Хо задана сложная функ
ция	y — f(u(x)) и		существуют			пределы	1im и(х) =		и0	( и ( х ) ф 0	при
							Х - + Х о
х ф х о), lim f(u) = уо, то существует предел								сложной		функции	у =
= f(u (x)fli“точке хо и
				lim f (u(x))= lim f(u).					,
				X - ^ X q		U -*-Uo			,

Пример 3.9. Найти lim sin (x1 + я/2). x—►О

Р е ш е н и е . Так как данная функция — сложная, ее можно представить в виде

f(<p(x)) = sin и, где	и = х 2 +	я /2 . Тогда
lim u =	lim (х2 +	я / 2 ) = я / 2 =И нп s i ^ x 2 •+• л / 2 ) =	lim s i n u = l .
х - ^ х о	х - ^ 0	х - ^ 0	ы -* -л / 2

3.5.ПЕРВЫЙ И ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ

Первый замечательный предел. Докажем, что lim	= i . Так
х - ^ 0	х

как f(x) = является четной функцией, рассмотрим ее только на

интервале	]0; л/2[. Возьмем				дугу A M единичного		круга,	соответст
вующую углу, радианная				мера которого равна х			(рис. 3.11). Тогда
\| ОА 1= 1,	IМ Р \| =		sin х,	\| OP \| =		cos x. Площадь	сектора	ОA M за
ключена между площадями треугольников ОМА							и ОТА:
S AOMA <	сек<	S		i-ICMI \ Р М \ < ± - \ О А \ 2х < ± - \ О А \ \АТ\.
Так как	\|ОЛ\| =	1,	\РМ\ =		sin х,	\АТ\ =
= tg х, то
sin х < х <		tg х о 1 <			*	<
					sin X

1___ „ ^ sin х ^ J

<<^cos х С

Всилу четности функций cos х и

последнее двойное неравенство справед ливо и для интервала ] — я / 2 ; 0 [.

Таким образом, для любого х £ ] — я /2 ;

0 [ и ]0 ; я / 2 [	выполняется	неравенство
c o s x <	< 1. Другими	словами, при
* - ► 0 предел	отношения		заключен между 1 и l i m c o s j c = l .
Согласно	теореме 3,9,
		l i m	^	1 .
		дг- 0		*

Его называют первым замечательным пределом. Этот предел исполь

зуют для раскрытия некоторых неопределенностей вида -5-.

Пример 3.10.			Вычислить пределы:
. 4	1-	t g *	I- sin 5х	;	.. tg х — sin jc		.
1)	lim — — ;		2) lim -----------		3) lim - £	------x ---------
	* - ► 0	x	0 tg 2x		x^ -0

Р е ш е н и е . Применим первый замечательный предел. Имеем:

1 )	lim	tg х
	0	x
2 )	lim	sin bx
	о	t g 2x

	sin	х ..	-= 1;
lim ---------lim ■
x ^ o	X	0 cos X
	/	sin bx	2x	j>\	A
= \ im ( -		5x	tg 2x	2 )	2 '
x->-0\

3) lim lg -* - s i n *		lim (	tg x	1 — cos x	) =	2	2
ДГ— 0	X J	x-»0 V	*	x	) =	2	2
Второй	замечательный предел. В § 3.1 было определено число е
как предел				/	1 \ п		= е ,	n £ N . В	общем
как предел	последовательности lim( 1 Н—					)	= е ,	n £ N . В	общем
				П-*-ос\	П /
случае это	число	можно	определить		как	предел		функции	f(x) =
= ^ 1 -)—	при х- + оо :

М1 + т ) ‘ = *-

Это и есть второй замечательный предел.

/	1 \ Х	= е	1	х-*-
Если в равенстве ИгпП	+ — \	= е	положить — — U то при	х-*-

-► оо t —-0. Тогда получим другую форму записи второго замеча тельного предела

lim(l + t){/t = е. t-*o

Второй замечательный предел применяется для раскрытия не определенностей вида 1 ” .

Пример 3.11.	Найти, l i m^ l +	■
Р е ш е н и е .	При х-*- оо получаем	неопределенность вида 1°°. Имеем

i l i ( 1+ т ) " -		1+ т ) * Т “	г‘:
х 4* 2 Х1		.
х _ g у
Р е ш е н и е . Разделив числитель и знаменатель на х,			получим
ton f i + i y =	,im		e
jc-*>oo \ x — 3 /	*-►oo (1 •+• ( — 3 / x f f

3.6. СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ.

СРА ВНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ

Свойства бесконечно малых функций. Приведем ряд теорем, ис пользуемых при сравнении бесконечно малых функций.

Теорема 3.11. Конечная сумма бесконечно малых функций в

Об(хо)	есть функция, бесконечно малая в бь(х0).
>	Если	ai(x),<= 1, п,—бесконечномалые		функции	вб»(хо),	то
		___	П	П
limai(x) = 0,		i = l , п. Так какlim	2 a i ( x ) =	2 limai(jc) =	0,	то
X - + X 0			X—►Хо f = s 1	Г = 1

конечная сумма бесконечно малых функций есть функция беско нечно малая. <]

Теорема 3.12. Произведение бесконечно малой функции и функ ции, ограниченной в О»(хо),( есть бесконечно малая функция.

\> Пусть <p(jc) ограничена в дб(хо), т. е.


3 М >■ 0: Ух £ Оь(х)=> \|ф(х)\| ^		М,
а а(х) — бесконечно	малая функция в Og(*o)- Тогда
V е / М >■ 0	З б \| >■ 0:У х(; Ов\|(хо)=На(х)\| <		е/М.
Возьмем 8 = min(8 , 6 1 ), тогда \а{х)\ < .е /М		и	\|ф(х)\| < М V х £

£ 6 8 (хо). Рассмотрим произведение а(х)ф(х) в 0&(хо):

Y	\| а ( х ) ф ( х ) \| = \| а ( х ) \| \| ф (л г )! < ^ М = е ,

т.ё. а(х)(р(х) — бесконечно малая функция. <1

Сл е д с т в и е 1. Произведение некоторого числа и бесконечно

малой функции	в бь(хо)	есть бесконечно		малая функция.
С л е д с т в и е	2. Произведение двух бесконечно малых функций
в Ot,(хо) есть бесконечно		малая функция.
Теорема 3.13. Частное от деления бесконечно малой функции
а(х) в бь(хо) на	функцию ф(х), такую, что lim ф(х) ф				0 ,	есть беско-
нечно малая функция.				х —►Хо
нечно малая функция.
С> Так как	а(х) — бесконечно малая			функция,	то	lima(x) =
= 0. Рассмотрим а(х)/ср(х), тогда						X—►Хо
= 0. Рассмотрим а(х)/ср(х), тогда
		lim а(х)
	Пш	___ =	____-___= 0
	х-~х„ ф М	Hm q>(x)	lim <р(ж)
		X—►Хо	Х-^Хо

и а(х)/ц>(х) — бесконечно малая функция. <1

Сравнение асимптотического поведения функций. Под асимпто тикой, или асимптотическим поведением функции в окрестности некоторой точки х 0 £ R, понимают описание поведения функции вблизи точки хо, в которой функция, как правило, не определена.

Асимптотическое поведение функции обычно характеризуют с помощью другой, более простой или более изученной функции, ко торая в окрестности исследуемой точки с малой относительной погрешностью воспроизводит значения изучаемой функции.

О п р е д е л е н и е		3.16. Если а(х), Р(х) — бесконечно малые функ
ции и
		х - ^ х о PW
то они	называются	бесконечно малыми одного	порядка малости.
Д ля	таких функций принято обозначение а(х) = 0($(х)). Запись
a(x ) 6 0	(l) означает,	что функция а(х) при х-*хо	ограничена, т. е.

0 ( 1) — множество ограниченных функций при х-*хо.

Если а(х), Р(х) — бесконечно большие функции и l i m - ^ i =

X—►Хо р(*)

= с Ф 0, то они называются бесконечно большими одного порядка роста при X ->XQ.

Например, функции а(х) = sin Зх, р(х) = 2х при х->-0 имеют одинаковый порядок малости, так как

sirr3x	1 ..	3 s in 3 x	3
Й - Е ---T i		n ---- "2~		'
т. е. 2х = 0 (sin Зх) и sin Зх = 0 (х )	при х->-0.
О п р е д е л е н и е 3.17.	Если	функции	а{х),	Р(х)— бесконечно
малые и

то они называются эквивалентными при х —^хо.

Функции а(х)

и Р(х), эквивалентные при х ^ х о ,

называют также

асимптотически

равными

при

х ^ х о - Асимптотическое

равенство

(эквивалентность)

функций

обозначается

символом

или « :

a ( x ) ~ P ( x ) или

a ( x ) « P ( x )

при

х ^ х о -

Например, sin

х ~

х при х-»-0,

так как

lim Sl° х

а(х) такова,

х-^0 X

X ^

Если

функция

что

l ima(x) =

0, то

при

XQ спра-

X—►Jfo

ведливы

следующие асимптотические равенства:

sin а(х) ~

а(х),

tg а(х) ~

а(х),

arcsin а(х) ~

а(х),

arctg а(х) ~ а(х),

V 1 +

а(х) — 1 ~

| а

( 4

д/l + а { х ) — 1 ~

-^а(х),

1п( 1 +

а ( х ) ) ~ а(х).

Теорема 3.14. Предел отношения двух бесконечно малых функ ций равен пределу отношения эквивалентных им функций, т. е. если

при х ^ х 0 а{х) ~ ai(x),

P(x) ~

p,(x), то

t> Запишем

р,М •

« М

а(х)

ai(x)

р1(лс)

«iM

PiM

PM '

Переходя в этом равенстве к пределу при

х ^ х о

учитывая, что

lim-2^ - = l ,

lim - J^ - =

находим

■jt-jt, * iw

PiM

lim

Hm ( ^ L

«!&. Щ

) =

x^xo

jt-jt„\*iM

PiM

PM /

l i m ^ L • lim-^iW

• l i m i £ l

l i m

- ^ .

X - * X o ®lM

X - * X o PlM

X —*-XQ

X -+ XO PlM

Теорема 3.14 используется при вычислении пределов, так как

каждую бесконечно малую (или только одну)

можно заменить беско

нечно малой,

ей эквивалентной.

Пример 3.13. Найти

lim

S' n

*- ► 0

+ 0

Р е ш е н и е .

Так как

sin 2х ~ 2х

при

х->-0 +

то

lim

S'n ^ X

lim

-— = =

lim

2~фс =

jc—►O-j-O

“\/it

Jf—►O-j-O

~>Jx

x—►0~j-0

„

JC2 — 5jc +

Пример 3.14. Найти

lim -

* - 2

tg(4 — x )

О п р е д е л е н и е 3.18. Если функции	а(х), 0(л:) — бесконечно
малые и
lim - x rr = 0 ,	-
JC-*-Xo РМ

то говорят, что а{х) является бесконечно малой функцией более вы

сокого порядка по сравнению с функцией р(л:).
В этом случае пишут: а(х) — o(P(x)). Запись а{ х) £ о( \)	при X ^ XQ
означает, что функция а(х) является бесконечно малой	при х->-хо,

т.е. о (1) — множество бесконечно малых функций при х-*-хо. Если функции а(х) и р(х) при х ^ х 0— бесконечно малые и а(х) =

=оф(х')) при х->-х0, то а(х) является бесконечно малой более высо кого порядка, чем р(х).

Например,	функция	а(х) = х®	при х->-0 является бесконечно малой более вы
сокого порядка,	чем р(лс) — sin дс3, т. е. х5 = o(sin х3), так как
		Ига — - —5- = lim х2 • lim — - —5- = 0 .
	х— 0 sin х		х-»о	-о sin хг
О п р е д е л е н и е		3.19.	Если	функции а(х), р(х)— бесконечно
малые и

} ™ т ? - с ф 0 - к > 0 '

то а(х) называется функцией k -го порядка малости по сравнению

сЭ(х).

Вчастности, если а(х), р (х) — эквивалентные бесконечно малые функции при х ^ - х а, то а(х) — функция й-го порядка малости по сравнению с Р(х).

Если	а(х),	р(х)— бесконечно						большие функции			при х -^х о и
lim	= с ф		0 , k >		0 , то а(х) — функция k-го порядка роста по
(р(х))*
сравнению с р(х).
Пример 3.15. Доказать,					что а(х) — р(х) имеет				второй	порядок	малости по срав-
нению с х при			если			4
нению с х при			если	а(х) = -— , р(х) — 2 - х .
						Z -}- х	X?
Р е ш е н и е .		Найдем		а(дс) — р(х) —			X?				\|\|\|^
Р е ш е н и е .		Найдем		а(дс) — р(х) —			2 +	х ' ^ меем			\|\|\|^
	lim		« ( х ) - Р(х) д 1 .т				X2		= l i m _	! _ _	1
	jc-t-О		х2			х-Л х2 ( 2 + х)			х-+о 2 + х		2
Пример	3.16. Определить					порядок	роста бесконечно			большой	функции /(х) =
= х3 + 1 2 х + 3 относительно х						при х-*- оо.
Р е ш е н и е .		Так кал

то порядок роста /(х) по сравнению с х при х-»- оо равен 3.

Соотношения вида а(х) = 0(Р(х)), а(х) = о(Р(х)), а ( х ) ~ Р ( х ) при х ^ х 0

называют асимптотическими оценками.

3.7. ОСНОВНЫ Е ПРИЕМ Ы РАСКРЫ ТИЯ НЕОП РЕДЕЛЕН Н О С ТЕЙ

Раскрытие неопределенности вида -Ц-. Неопределенное выра

жение вида -Ц- получаем	при нахождении Пт/(дс), хо $D(f), если f(x)
"	Х - * Х о

является дробью, числитель и знаменатель которой содержит мно

жители (х — дсо)а , а 6 R-

Основная

трудность

раскрытия неопреде

ленности в этом случае состоит в выделении

множителей вида (х —

— хоГ в числителе и знаменателе дроби. Затем преобразуем

дробь

и получаем

/ ( д с ) =

(дс —

дс0)

\(х),

а £ R,

причем

x 0 ^D(fi).

Тогда

{

О,

если

а >

О,

fi(xо), если а = 0 ,

оо,

если

а <

0 .

Способы выделения множителей числителя и знаменателя дроби

зависят от вида / ( д с ) .

Пусть f(x) — рациональная дробь. В этом случае числител

знаменатель дроби разлагают на множители.

Пример

3.17. Найти пределы:

1 )

jc4 -+- лс3

x* +

3x + 2

дс2 — 1

г ; 2 )

lim

х - 6

lim -;-------— .

►о*3 + 2*2’

х— 22х2 +

х— 1(jc — 1)2

Р е ш е н и е .

*э( * + 1)

jc+ 1

„

1 . lim —^ — ■— -

lim х --------------=

0 .

* - о * 2(* + 2 )

х - о

х +

2 .

Пт

* 2 +

3* ± 1 . =

Ига

( i± ,,.? y + ,1)

Х + -

• =

1 .

х * - 2 2 х 2 + х - 6

X- » - 2 2 ( * + 2 ) ( * - 3 / 2 )

X— 2 2 ( * - 3 / 2 )

дс2 — 1

(х — 1)(дс+ 1)

ДС+1

oo.

l i m - ------ —- = h m - i — - - / Y

’ =

lim — —— =

x ^ l ( * - l ) 2

x - l

( * ~ 1)2

1 - 1

2.Пусть f(x) — дробь, содержащая иррациональные выражени

Вэтом случае выделение множителей вида (дс — дс0)а достигается переводом иррациональностей в числитель или знаменатель, а также заменой переменной на новую переменную.

Пример 3.18. Найти	пределы:
1 ) lim —V .1	2 )	lim -------- т —	: 3 > lim	‘ .
*->-о+о		JC“*° 2 — -0 с + 4	X~*l ( - \ x — l)2
Р е ш е н и е . 1. lim	—	* = lim	-\/x - 0	— x — 0.
——0		jf—►O-^-O

2 . Hm-------		£ _ _ _ — Пт--------			? ( 2 + У Й Н ) -----------					Hm J & + V ^ + l j =
x- ° 2 -		V * + 4		(2 — д/х + 4 ) (2 +				д/х + 4)		4 ~ * ~	4
= — 4.	Можно	найти	этот	предел	и	с	помощью		замены	переменной.	Обозна
чим х +	4 = /2, тогда
	lim ---------	—х		= lim 4	=	1 -	-	hm	g T p P + A = - 4 .
		2 - V* + 4						~ ' ^ 2
3. П т 4 = 1 -. = п т ( V ^ ~ 1 ) ( V ^ + 0 = Hm j £ + l _ =
~1 (-\/7— If			x-*'1	(-\Jx— \y				*-“ 1 -\/x"— 1

3.Пусть /(дс) — дробь, содержащая тригонометрические функц

Для раскрытия неопределенности в этом случае используют первый замечательный предел или эквивалентные бесконечно малые функ ции.

Пример 3.19.

Найти пределы:

tg 2 3x

; 2)

sin2 JC

+ JC4

3) lim

1 — cos х

1) lim - 2 - -----

h m

----- —f

------- ;

---------------X

( - ► 0

x^O

x^Q

Р е ш е н и е .

tg 2 3jc

tg 3 jc ~ 3 jc ,

(3jc)

9 JC

1. lim —

„

Л — = hm

- = 0 .

x^ o

I tg 2 3jc—(3jc) 2 I

, ^ o

,^ o

„ ..

sin2 jc + jc4

sin JC

sin JC .

J T ) =

—

2 . hm -

bx2

—= - = ■

lim1—

1( -----------------------------------------

5--------------

x _ o

x^ - » - o

1 — cos JC

2 sin2(jc/2 )

sin JC ~ JC,

lim — = oo.

3. h m --------

г------

lim ----------

~ —L

lim — r

*-И>

x ^ O

JCJ

sin

x - o

4 JC

о 2 JC

Раскрытие неопределенности вида

Неопределенное выражение

вида — получается при нахождении

lim f (дс ),

дс0 £ D{f),

в основном

х-*-х9

в тех случаях, когда предельное значение аргумента является беско нечным, а / ( д с ) — рациональная дробь или дробь, содержащая ирра

циональности. ^Если дсоб R, то ^ преобразуют в 1 .^

Выделением множителей дса, а £ R, в числителе и дср, р £ R, в зн а менателе и последующимихсокращением приводим функцию к виду /(дс) = дс°-(7 1(дс), причем xo^DQi). Тогда

!	0 ,	если	а	<	р,
	/1 (дс0),	если	а =		р,
	оо,	если	а	>	р.

1. Пусть f(x) — рациональная дробь вида

ОоХп+	a ijc"~ '	+ . . . +	q„	_
box^ +	b ^ - '	+ ... +	bm ’	°

Преобразуем эту дробь к виду

Находим

lim f(x) =

-*"

( 0I ,ао!

п ~

т '

Ф .1 )

lim х п т------- ^ ---------- Г ^ ^ Т Т '

если

Ьbmт

я i/uj Ь о ’

v°°V0.0 -если « >

Пример

3.20. Найти

пределы:

2* 3 +

Зх + 4

; 2 )

4л? +

5jc2 + 3

. .

* 4 +

2* +

1 )

lim

— г—!------- !—

lim

----- ^ —-—

:— ;

lim

------

— ----- .

X—►оо ^

-f- бх -f- 7

X—►оо

7х? -f- бх 4“

Jf—►оо

JC^ -f- 1

Р е ш е н и е .

Д л я

нахождения

пределов используем формулу

(3.1). Тогда:

п =

3, т =

5, п < т = >

lim

2* 3 +

3* +

„

JC5 -f- 6 jf "Ь 7

оо

п = т = 3=> lim

4х? +

Ьхг +

7х3 +

6 * +

“Ь

^Х

п =

4, т =

п > т =>- lim

-------

;-------------

о о .

X—оо

X “f" 1

Пусть

f(x) — дробь,

содерж ащ ая

иррациональности.

Тогд

как и в п. 1 , в числителе и знаменателе дроби выделяются множители

х а, х*,	где а ,	0 — максимально				возможные показатели степеней
(а, 0 6	Q). Затем производится сокращение дроби на х у (у =								min(a, Р)).
Пример 3.21.		Найти	предел	lim —	X
Пример 3.21.		Найти	предел	lim —
Р е ш е н и е .		Имеем		х-~°° -фс* +		3
Р е ш е н и е .		Имеем
		lim — х		=	lim	----- ■* - - =	1 .
			У ** + 3			x i j l + 3/х?
Раскрытие		неопределенности			вида 0 - оо. Неопределенное					выра-
жение	с \	- оо	сводится к неопределенности				вида	0	или	оо
жение	вида 0	- оо	сводится к неопределенности				вида		или	— .

Методику раскрытия этой неопределенности покажем на примере.

Пример 3.22. Найти	предел lim - i- (tg х + 2x2).
	х-*-Ол
Р е ш е н и е . Непосредственная подстановка предельного значения х = 0 приводит
к неопределенности вида	оо • 0. Преобразовав данное выражение, получим неопреде-
0

леииость вида — :

Раскрытие неопределенности вида оо — оо. Неопределенное вы

ражение

вида

оо —

оо

преобразуется к

неопределенности

вида

-5-

ОО

ИЛИ — .

■.

■

оо

Пример

3.23. Вычислить

lim

(~^х2 '— 2дс — 1

— ~\jx2 — 7х-\- 3).

х-*-± оо

Р е ш е н и е .

Непосредственная

подстановка

предельного

значения

аргумента

х — ± оо

приводит

к неопределенности

вида

оо — оо. Выполним следующее

пре

образование:

lim

(~\]х2 — 2х — 1 — д/х2 — 7* + 3) =

lim

5 х - 4

±<х>д/х2 - 2 х

— 1 + д / х 2 - 7 х + 3

Получили неопределенность вида — . Раскроем ее, разделив все члены получен-

иого выражения

на х. Имеем:

оо

ltm

——

5 — 4 / х

-------------- —

.....................- = — \ х > О,

t±+ ооу J _ 2 / х - 1 / х 2 + y i - 7 /х + З /х 2

--- - р .' ....

5 — 4 /х

;

- д / l - 2 / х - 1 / х 2 - д / 1 - 7 /х + 3 /х 2

Раскрытие неопределенности вида 1” . Неопределенное выраже

ние вида

1 °° получаем

при вычислении пределов

lim f(x) = lim (<p(x))’,’w,

Х -К Го

X-*-XQ

если lim ip(x) =

1, a lim I|>(JC) =

oo. В этом

случае для раскрытия

не-

Х-*-Хо

определенности

применяют

второй замечательный

предел,

полагая

ф (х )= 1 + а ( х )

и преобразуя

выражение

к виду

lim (ф(х))«М =

lim (((1 +

а(х)) '/«MyMtM =

Х -*-Хо

X -* -X Q

l im

a ( j c ) i |j ( x )

lim

(q> (x)—

1) (JC)

——

g x -*-x 0

------ g x-*-x0

Приходим к неопределенности вида 0* оо, о раскрытии которой го ворилось выше.

Пример 3.24. Найти	пределы:
1 ) lim(l + sin x)l/x\	2 ) l i m f l - b — V .
JC-t-0	Ж-*-оо\	X /
Р е ш е н и е . 1. Так	как lim (1 -f- sin x ) =		I, l i m— = 0 0 , имеем неопределен
	н о		JC- * 0 x

ность вида 1“ . Д ля ее раскрытия воспользуемся указанной методикой:

				.	lim S i f i
		lim ((1	+	s in x )1/s,n)	= ex~*°	= e ,
		X -* -0
..	sin jc	1 .
так как Jim ------ =		1 .
x - o	x
2. Поскольку		lim A ^		=я1,П т х = о о ,	имеем	неопределенность вида l 00.
		x-*- oo \	X /	x-+ao

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 309 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.05.20152.32 Mб8геологическая практика.docx
#
31.05.201529.77 Кб25Геология Канарских островов.docx
#
12.11.2019150.02 Кб5Геометрическая оптика.doc
#
11.11.2019714.75 Кб6геоэкология.doc
#
31.05.2015347.65 Кб29Гера1.doc
#
31.05.20155.61 Mб468Герасимович(математический анализ).pdf
#
23.09.20193.02 Mб63Гидравлика (1-50)-47-49-50.docx
#
06.12.2018255.84 Кб9Гидравлика швед.docx
#
24.04.2019595.63 Кб30Гидравлика, гидромашины и гидропривод Конспект....docx
#
21.12.2018321.47 Кб46гидравлика.docx
#
27.09.2019116.65 Кб21гидрогеология.docx