Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Герасимович(математический анализ)

.pdf

Скачиваний:

468

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

5.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 3015 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Пример 5.26. Вычислить е0,1 с точностью до 0,001. Р е ш е н и е . Запишем формулу М аклорена для ех:

		„н				рЬх
+ т г + т		+ - + * - +			* • « - т г + п г * " ' ’ 0 < е < 1
При х = 0,1 имеем
		+	+ т		+ т + щ _
			1 !	2 !	"	л!	'
Погрешность	приближения ие		должна превышать 0,001, следовательно,
			ео10(О 01У+ \|
		* ■ « -------5 r t i 5 i - < 0 -°0L
Поскольку е010 < 2,			2				п = I, 2, 3.........	иахо-
Поскольку е010 < 2,		т о ------ л ------------- < 0 ,0 0 1 . Полагая					п = I, 2, 3.........	иахо-
3		10"+ (л + I)!
дим, что последнее неравенство выполняется, начиная с п = 3.
Итак, с точностью до 0,001
В частном	случае при		п = 1	функция		f(x)	аппроксимируется
многочленом первой степени
		f ( x ) « f ( x о) + f ' ( x о) ( х — Х о )
с погрешностью
	Ri(x ) —		(х — х 0)2, х0 <			I <	х -	(5.29)
Так как	по	определению		х	— х 0 =	Д д с ,	f'( x 0)A x = d f(x 0),
то
		К) / Ы		+

Погрешность, возникающая при применении такой приближен ной формулы, не превышает модуля остатка /?г(дс), задаваемого формулой (5.29).

Пример 5.27. Найти с помощью дифференциала функции площадь								5 круга
радиусом г = 1,01. Оценить погрешность вычисления.
Р е ш е н и е . Площ адь	круга	S = nr2. Полагая				г0 = 1 ,	Дг = 0,01 и	заменяя
приращение функции S = S(r) ее дифференциалом, имеем:
S (г)«	S (го) +		d S (го) = S (го) +			S ' ( r 0)Ar,
S ( l ,0 1 ) «		S (l) + 2n -0,01 =				1,02я.
При этом погрешность ие превосходит
R i(r) =		-2 j	(г -	г0)2,	Го <	6 < г.
Так как S"(r) = 2л и не зависит			от г,	то
	/?2 (г) =		0 .0 1 2 =		0 ,0 0 0 1 я.
Пример 5.28. Найтн приближенное значение функции f(x) =							е х'~ х в точке х = 0,03
с помощью дифференциала. Оценить погрешность вычислений.

138

	Р е ш е н и е . Запиш ем приближенную формулу для вычисления значений f(x) =
=	е* с помощью дифференциала в окрестности точки х»:
			f(х ) «	f(xB) +		df(хв) =	f(xо) + f '( x 0)Ax.
	Так	как хо — 0, * =	0,03,	Ах = 0,03, то
				f(0,03)№ f(0) +			Г (0)0,03
с	погрешностью
		tf 2 =	- Ш И		х2 = И М - (0,03)2, 0 <			I <	0,03.
Найдем		Г (0) и
			f'(x) =		( 2 x —	l)ex*~x=>f'(0) =		— 1,
		l"(x) =		2ex' ~ x +		(2x — 1 f exl- x=>f"(l) <			3.

Следовательно, f ( 0 , 0 3 ) » 1 + ( — 1)-0,03 = 0,97 с погрешностью Rj(x) < ——1^22L =

= 0,0017.

Формула Тейлора используется также при исследовании функции на экстремум, в теории рядов, при вычислении интегралов.

6. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ

6.1.В О ЗРА С ТА Н И Е И У БЫ ВА НИЕ ФУНК ЦИ И

Спомощью производной функции можно произвести полное ее исследование (найти промежутки возрастания и убывания, экстре мумы, точки перегиба, промежутки выпуклости и вогнутости, асимп тоты графика) и построить график этой функции.

Теорема 6.1. Д л я того чтобы дифференцируемая на ]о; Ь[ функция не убывала (не возрастала) на этом интервале, необходимо и до статочно, чтобы /'(д с)^О ( f '( x ) ^ O ) для всех дс6 ]а; Ь[. Если же для

любого дсб]а; b[ f ' ( x ) > 0 {fix) <		0 ), то функция f возрастает (убы
вает)	на этом интервале.
Д ругим и словами:
1 )	f{x) не убывает на ]а; b[	- « * V * 6	]a;	b[. f ' ( x ) ^ 0 ;
2)	fix) возрастает на ]a; b{	-«►V'xGja;		&[: f ' ( x ) > 0 ;
3)	fix) не возрастает на ]а;	V х 6	]а;	b[: f i x ) ^ 0 ;
4)	f\x) убывает на ]о; b[	-«*Удс6	]а;	b\: f i x ) < 0.

>1. Рассмотрим случай неубывающей функции.

Необходимость: Пусть fix) не убывает

на }а\ Ь[. Тогда Удсб]а;

fe[ при Ддс >

Ay =

fix +

Ддс) — / ( д с ) ^ 0 ^ - | | - > 0 = > И т - ^ -

/ '( д с ) ^ 0 Удс£]а;

Ь[.

Достаточность.

Пусть

f i x ) ^

0 V дс 6 ]о;

Ь[.

Тогда

по

формуле

Л ангранж а

имеем

/(дег) —

/ ( * i ) = / ' ( £ ) (дс2 —

ДС|).

Так

как

/ ' ( £ ) ^ 0

(дс| <

£ < д с2), то V дс|, дс2 6 ]а; 6 [:дс|<дс2

/(дс2) — /(дс|) ^

0 ,

т. е. f

не

убывает

на

]а; 6 [.

Д окаж ем

теорему для

случая

возрастающей

функции. Пус

f'i д с )> 0

на

la; b[. Т о г д а У Е б ]а ;

b[ / '( £ ) >

и поэтому Удс|, дс2 :дс| <

дс2=*-/(дс2) — /(дс|) = Р(Е)(дс2 — ДС|) > 0,

т.

е.

/(дс)

возрастает

на

]о;

Ь{. <

Подчеркнем, что условия теоремы для возрастающей и убываю

щей функций достаточны, но не необходимы.

х =

Например, функция

у = х 3 возрастает иа ] — 1;

1[,

однако

производная в точке

обращ ается в нуль.

Геометрический смысл теоремы состоит в следующем: касатель ная к графику возрастающей на ]а; Ь{ функции {fix ) > 0 ) составляет острый угол с осью Ох; касательная к графику убывающей на ]а; Ь[ функции (/'(дс) < 0) образует тупой угол с осью Ох. Если функция

140

f(x) на }a\ b[ является постоянной: f(x) = C,			С = const,	то f'{x) = О
и касательная к графику функции параллельна оси Ох.
Пример 6.1. Найти интервалы возрастания и убывания функции				/ (JC) = 1/(1 -f-
+ **)•	Функция /(х) = 1/(1 +	х 2) определена,	непрерывна и дифференци
Р е ш е н и е .
руема на R. Д л я	отыскания интервалов	монотонности	функции найдем f'(x):
	/'(*)= — 2 лс/(1 +jc2)2.
И з теоремы 6 .1 следует, что f(x) возрастает на некотором множестве, если f'(x) > 0.
Решим неравенство — 2дс/(1 + х2) 2 > 0.		Оно выполняется на ] — оо;		Of. Следова

тельно, { ( х ) = 1/(1 + х 2) возрастает на			] — об;	Of. По той ж е теореме ((х)			убывает на
множестве,	где /(х ) < 0 .	Неравенство	— 2дс/(1 +		х 2)2 <	0 выполняется	на ]0;	оо[.
Итак,	функция f ( x ) = ---------- — убываю щая				на 10;	oof. Ее графиком (рис.		6.1)
		1 + xJ
является кривая, которую		называют локоном		Аньези*.

6.2.ТОЧКИ Л О К А Л ЬН О Г О ЭКСТРЕМУМ А ФУНКЦИИ.

НЕОБХ ОДИ М ОЕ И ДО СТА ТО ЧНЫ Е УСЛОВИЯ СУЩ ЕСТВОВАНИЯ

ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ

Экстремум функции. Особую роль в исследовании поведения функции на множестве играют точки, разделяющие интервалы воз растания и убывания функции. Д ля функции у = f(x) на интервале ]а; Ь[ такой точкой является точка х0, отделяющая интервал возра

стания f(x) ]а; *о[ от интервала убывания ]ж0; Ь[ функции		(рис. 6.2).
И з	рисунка видно, что существует Оь(х0) ( 6 > 0), такая,	что f(x0) >
>	f(x).
	Определение 6.1. Точка х 0 называется точкой локального макси

мума (минимума) функции f(x), если существует 8-окрестность точки

Р и с. 6 . 2

р и с. 6.3

* М ария Гаэтана Аньези (1718— 1799) — итальянский математик.

141

х0> такая, что д ля всех х £ Об(*о) выполняется неравенство

А/ Ы = f{x) — f (х0) < О (Af (х0) = f(x) — f (хо) > О).

Значение f(x0) называют локальным максимумом (минимумом) функ ции и пишут

шах	f(x) =	f(xо) ( min	/(х) = /(х0)).
ио«(о)		jce Oe(jto)
Точки максимума	или	минимума	функции называют точками

экстремума функции, а максимумы и минимумы функции называ ются экстремумами функции.

Из приведенных рассуждений следует, что экстремумы функции носят локальный характер — это наибольшее или наименьшее зн а чения функции по сравнению с близлежащими ее значениями.

Если функция /(х) на [а; b] имеет несколько максимумов и мини мумов, то возможен случай, когда максимум функции меньше ее минимума.

Например, на	рис. 6.3 точки xt, х 3 являю тся точками максимума функции f(x),
а 2, 4 — точками	ее минимума, ио f ( x i ) < . f( x ^ .

	Наименьшее и наибольшее значения функции на [а; b] в отличие
от	локальных	ее экстремумов называют абсолютными минимумом
и	максимумом	функции f(x) и обозначают min f(x),	т а xf(x).
		*£[а; 6]	*£[а; 6]
	Д л я функции,	график которой изображен иа рис. 6.3, абсолютным минимумом
будет /(а), абсолютным максимумом — /(&).

Необходимое условие существования экстремума функции. Спра ведлива следующая

Теорема 6.2. Если в точке х 0 функция f(x) достигает экстремума, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует.

>Пусть f(x) в точке х 0 достигает максимума. Тогда существу

дб(х0), такая, что

У*£()б(*о) f(x0) > f(x)=>f(x0) > f{x0 + Ах), Ах ф 0.

При Ах <	0	+		>	0 , при	Ах > 0 ^		+ ^	т	М <	0 ,
Если пределы левых частей этих неравенств при Ах-»-0 сущест
вуют, то:
		Hm К*° + у		~	= f'(x о — 0 ) >		0 ,
		д*-о	Ах
		(Д * < 0 )
		Ит_/(*. + у			=	f,(Xo _\|_ 0 ) <	0 .
		Лг—0	Ах
		(Л*>0)
Если	производные		функции		f ' ( x ± 0) в точке		х0	равны		нулю,	то
существует f'(x 0) = f'(x 0 — 0 ) =					f'(x 0 +	0 ) = 0 .			не сущест
Если f'(x о — 0) и f'(x о +				О) отличны		от нуля, то f'(x о)			не сущест
вует.

142

Аналогично доказывается случай, когда х 0 — точка минимума. <] Геометрический смысл теоремы 6.2 заключается в следующем:

в точках экстремума функции fix) касательная к ее графику парал лельна оси абсцисс, если существует f'(xo) = 0 (рис. 6.4, а); парал

лельна оси ординат, если f'(x 0) бесконечна (рис. 6.4, б);		существуют
не совпадающие левая	и правая касательные, если	} '{ х о — 0 ) Ф
Ф Г { х о + 0 ) (рис. 6.4,	в).
а	5	в

Р и с . 6.4

Точки, в которых производная функции у = f(x) обращается в

нуль или не существует, называют критическими или точками						воз
можного экстремума. Точки, в которых производная					функции	у =
= f(x) обращается в нуль, называют стационарными.
Критическая	точка	х 0 называется	угловой	точкой	функции	fix),
если f'( x 0 — 0) Ф	f'(x 0 +	0) (см. рис.	6.4, в).	Критическая точка х0

называется точкой возврата функции, если ее левая f'(x0 — 0 ) и пра

вая	f'(xo + 0) производные бесконечны (см. рис. 6.4, б).
	Не всякая критическая точка функции f(x) является точкой ее
локального экстремума.
	Например, х = 0 — критическая		точка	функции	f(x) =	x 5, так как f'(x) — 5x4
при	х = 0	обращ ается в нуль, но х =	0 не	является	точкой	локального экстремума
функции.		В этой точке функция возрастает.

Достаточные условия существования экстремума. Выяснить, ка кая из критических точек функции будет точкой ее локального экст ремума, можно с помощью трех достаточных признаков существо вания экстремума функции.

Теорема 6.3. (первый достаточный признак существования экст ремума функции). Пусть хо — критическая точка непрерывной функ ции fix). Если f'(x) при переходе через точку х 0 меняет знак с « + » на « — », то хо — точка локального максимума; если f'(x) при переходе через точку х 0 меняет знак с « — » на « + », то х0 — точка локального

минимума;	если f i x )	при переходе через точку				х 0 не меняет знак,
то' хо не является точкой локального					экстремума.
[> Пусть х 0 — точка			возможного		экстремума, причем f'(x) > 0
V x 6 0&(хо -	0 ) и f'(x) < 0 V x e 0&(хо + 0 ).
Тогда
	при f'(x) >	0	V x 6	0{,(хо — 0)=>f(xo) >
	при f'(x) <	0	V* 6	О&(х0 +	0)=>f(xo) >	f{x) J

143

^НОб(*0) :f (Хо) > f (*),

т.е. точка хо является точкой локального максимума.

Аналогично доказывается и существование точки локального минимума.

Если f'(x) сохраняет знак в окрестности точки х 0, то в этой окрест ности функция монотонна, т. е. точка х 0 не является точкой локаль ного экстремума. <]

На рис. 6.5 дана геометрическая интерпретация точки локаль ного максимума.

Пример 6.2.	Найти	локальные		экстремумы	функции f(x) = -i- х ? -----i- х*.
Р е ш е н и е .	Д ан н ая	функции	определена и		непрерывна на	R. Ее	производная
f ( x ) = х 2 — х такж е непрерывна			на	R. Найдем	стационарные	точки	функции из
уравнения f'(x) — 0 : х 2 — x = 0=>xt =				0 , х2 = 1 .

Исследуем зиак производной в окрестностях стационарных точек.
Если х 6 Ое(0 — 0), то f'(x) =	х 2 — х > 0; если	х £ Ов(0 + 0), то f ( x ) <		0.	В	точке
х = 0 f '( х) меняет знак с « + »	на « — ». Следовательно, стационарная			точка		х = 0
является точкой локального максимума функции:		m ax f (х) — f (0 ) =	0 .
Если х £ Ое(1 — 0), то f ’(x) =	х 2 — х < 0; если	*ео.(о)	(х) >
Если х £ Ое(1 — 0), то f ’(x) =	х 2 — х < 0; если	х £ Oe(1 -\|- 0), то f	(х) >	0.	В	точке

х = 1 f'(x) меняет знак с « — » на « -\|-»			. Значит, стационарная точка х = 1 есть точка
локального	минимума	функции: min	f(x) = / ( 1) =	— 1 / 6 .
		jceo.(i)
График	функции	f( дг) = — дг3 — — з? приведен		на рис. 6 . 6

Теорема 6.4 (второй достаточный признак существования экст ремума функции). Стационарная точка хо функции f(x), дважды дифференцируемой в Об(х0), является точкой локального минимума


f(x), если f"(x0) >		0 , и точкой локального максимума, если f"(x0) <					0 .
>	Пусть	выполнены условия			теоремы и f"(x о ) > 0 . Тогда		f (
в Ов(х0)	возрастает,		но	f'(x 0) = 0 ,	следовательно, в	Oe(x0) f (х)
меняет знак с « — » на			« +	> (рис. 6.7). Согласно теореме 6.3, точка
хо является точкой локального минимума функции f(x).
Если	f"(x0)<C 0, то		f'(x) в Ов(х0) убывает, но f'(x0) =			0, следова

тельно, в Об(х0) производная функции f'(x) меняет знак с «-|-> на « — »

(рис. 6 .8 ). Тогда, согласно теореме 6.3,		точка хо	является	точкой
локального максимума функции f(x). <]
Пример	6.3. Используя теорему 6.4, найти	локальные	экстремумы	функции
f{x ) = x */ i —	* 72.

144

Р е ш е н и е . Д ан н ая

функция

определена,

непрерывна н дважды дифференци

руема

на

R. Определим

стационарные точки {(х ):

- X, X3— X= 0=>*1 = 0 , Х2= — 1, х3=

Найдем

значения

0),

/ " ( ± 1 ) .

Учитывая, что

f"(х) =

Зхг —

получаем f"(0) =

— — 1 <

0 ,

т.

е.

* i =

— точка

локального

максимума функции: m ax f(* ) = 0 ;

f " ( — 1) =

х г = — 1 — точка локального

*€0 t(0)

> 0 , следовательно,

минимума

функции:

min

f(x) =

— 1/4; f"{ 1) = 2 >

0, т. е. х3 = 1 — точка локального минимума функ-

л;ео*(—1)

ции:

min

f ( * ) = — 1/4.

Графнк функции у = х*/4 — х г/ 2 приведен

на рис. 6.9.

Теорема 6.5 ( третий достаточный

признак

существования

экстремума

функции).

Пусть

функция

f(x) —

п раз непрерывно дифференцируема

точке

лс0

f'(xo) =

f"(xo) = ... =

f ^ - ' \ x о) = 0,

Г(хо)Ф О .

Тогда:

1 )

если

п — четное

fn(x0) <

0 ,

то

хо — точка

локального

макси

мума.

если

п — четное

fn(x0) > 0 ,

2 )

то хо — точка локального минимума;

если п — нечетное, то х 0 не является точкой локального экст

ремума.

Пример 6.4. Найти локальные экстремумы

функции f(x) = x A— 4*3.

Р е ш е н и е . Д ан н ая функция определена, непрерывна н дифференцируема на R.

Найдем стационарные точки f(x):

f { x ) =

4х3 —

12х2,

4х3 — 12** =

0 =>*1,2 =

0, х3 =

f"(x) =

12х2 — 24*, f"(3) = 36 > 0 , /"(О) = 0 .

Стационарная

точка

* =

является

точкой

локального

минямума

функции:

min

f(x) =

f( 3 ) = — 27.

Are о,(3)

f'"(x) =

Д л я

исследования

стационарной

точки

* = 0

находим

24* — 24,

/" '( 0 ) =

— 24.

Согласно теореме 6.5, точка * = 0 не является точкой локального

экстремума

f(x).

145

6.3. А БС О Л Ю ТН Ы Е ЭКСТРЕМ УМ Ы Ф УНКЦИИ НА О Т РЕ ЗК Е

Одной из основных характеристик функции f(x) на отрезке [а; b] являются ее абсолютные экстремумы, т. е. наибольшее и наимень шее значения f(x) на [а; Ь].

Если функция f(x) непрерывна на [а\ Ь\ то наибольшее и наимень шее значения она принимает на концах этого отрезка или в точках ее локального экстремума. Следовательно, для отыскания абсолют

ных экстремумов min f(x),	m ax f(x) надо найти ее значения на кон-
*6 [а;6]	*е[а;6]

цах отрезка [а; b], в точках локального экстремума и выбрать со ответственно наименьшее и наибольшее из них.

Если х\, хч, ..., х п — точки локальных экстремумов, то

m in/(■*) = min{/(a), f ( b) , f ( x i),	f(Xn%
*e[a; b]

	m ax f(x) =	max{/(a), f{b), f{xi),
	*€[a; 6]
Пример 6.5.	Найти абсолютные экстремумы		функции
[ - 1; 4	Определяем	стационарные точки	/( дс):
Р е ш е н и е .

/'(дс) = Здс2 — 12дс -(- 9, Здс2 — \2х + 9 = 0=>*| =

f ( Xn)}.

/ (х) = х3 — 6 х2 -(- 9х на

1, х г = 3.

Вычисляем значения /( х) на концах отрезка			и в стационарных точках: / ( — 1) =
= - 1 6 , /(4) = 4, f( 1) = 4, /(3) = 0.		Тогда
min	/ (JC) =	min {— 16, 4,	4, 0 1 = — 16.
* e [ - i ; 4 ]
m ax	fix ) = max{— 16,		4, 4, 01 = 4.

Наименьшее значение даииая функция принимает на левом конце отрезка в точке х = — 1, наибольшее — в стационарной точке х — 1 и на правом конце отрезка

в точке х = 4. График функции у =	х3 — бдс2 + Ях приведен		на рис. 6.10.
Пример 6 .6 . Найти ширину бруска наибольшей прочности, который можно
вырезать из бревна диаметром 25 см	(рис. 6.11), считая, что прочность бруска с пря
моугольным сечением пропорциональна ширине и кубу высоты.
	Р е ш е н и е . Обозначим через х шири
	ну бруска,	через	h — его	высоту.	Тогда
	прочность	бруска	у = kh3х,	где k — коэф
	фициент пропорциональности. Из				А А В С
	(см. рис. 6 . 1 1 ) находим
	h = V 252 -**=► (/ = Ь:;У(252 -				х2)3.
	Определим стационарные точки функ
	ции у = кхл!{252 — дс2)3:

Mf (-VrlS)

Рис. 6 . 1 0

146

у ' — k-\J(252 — x2)3 — Зкх2л]2Ь2 — л:2, у ' = 0,

тогда

252 — 4jc2 = 0 = > 2 jc= ± 2 5 = > jc = ± 1 2 ,5 .

По условию задачи х 6 ]0; 25[. Следовательно, наибольшаи прочность бруска

будет при ширине х = 12,5 см. В этой точке функция у = kx-\l(252 — jc2)3 имеет локаль ный максимум, так как у " = 0 .

6.4. И С С Л ЕД О В А Н И Е ФУНК ЦИИ НА В Ы ПУКЛОС ТЬ И ВОГНУТОСТЬ. ТОЧКИ П Е РЕ ГИ БА ФУНКЦИИ

О п р е д е л е н и е 6.2. График дифференцируемой функции у = = f(x) называется выпуклым вниз (или вогнутым) на ]а; Ь[, если дуга кривой у = f(x) V х 6 ]а; Ь[ расположена выше любой касатель ной, проведенной к графику этой функции (рис. 6.12).

О п р е д е л е н и е 6.3. График дифференцируемой функции у = = f(x) называется выпуклым вверх (или выпуклым) на }а; Ь[, если дуга кривой у = f(x ) V х £]а; Ь[ расположена ниже любой касатель ной, проведенной к графику этой функции (рис. 6.13).

О п р е д е л е н и е 6.4.	Точка М{хо\ f(x0)) графика дифференцируе
мой функции у = f (х), в	которой направление выпуклости меняется

на противоположное, называется точкой перегиба (рис. 6.14). Сформулируем достаточный признак вогнутости (выпуклости)

графика функции.

Теорема 6.6. Если функция y = f(x) на ]а; Ь[ дважды дифферен цируема и f " ( x ) > 0 Ух £ ]а; Ь[, то график этой функции на ]а; Ь[ вогнутый (выпуклый вниз). Если функция y = f(x) на ]а; Ь[ дважды

дифференцируема и f"(x) < 0		V x 6	]а;	b{, то график этой функции на
]а; Ь[ выпуклый.			b[	f " { x ) > 0. Возьмем точку х0 6 ]а;
>	Пусть на интервале	]а;

и покажем, что все точки графика функции y = f(x) на ]а; Ь[ лежат выше касательной к нему в точке хо, т. е. что ординаты этих точек больше ординат точек касательной с одной и той же абсциссой.

Уравнение касательной к кривой y = f(x)	в точке с абсциссой х 0:
Y — f(xо) = f' (хо) (х — х0)=>- Y = f(xо) +	f' (х0) (х — х0),

где Y — ординаты точек касательной. Разность ординат точек кривой и касательной

У — Y = f(x) — f(xо) — f'{xо) (х — хо).

147

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 3015 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.05.20152.32 Mб8геологическая практика.docx
#
31.05.201529.77 Кб25Геология Канарских островов.docx
#
12.11.2019150.02 Кб5Геометрическая оптика.doc
#
11.11.2019714.75 Кб6геоэкология.doc
#
31.05.2015347.65 Кб29Гера1.doc
#
31.05.20155.61 Mб468Герасимович(математический анализ).pdf
#
23.09.20193.02 Mб63Гидравлика (1-50)-47-49-50.docx
#
06.12.2018255.84 Кб9Гидравлика швед.docx
#
24.04.2019595.63 Кб30Гидравлика, гидромашины и гидропривод Конспект....docx
#
21.12.2018321.47 Кб46гидравлика.docx
#
27.09.2019116.65 Кб21гидрогеология.docx