Герасимович(математический анализ)

Рассмотрим примеры нахождения производных высших по­ рядков.

Пример 5.10. Найти производную п -го поридка от функции у = In (1 + х). Р е ш е н и е . Выполнии последовательное дифференцирование, находим:

В § 5.9 было дано правило нахождения первой производной от функции, заданной неявно, и показано на примере, что у'х в общем случае содержит как аргумент х, так и функцию у.

По определению вторая производная от функции у = f(x) есть производная от первой производной. Следовательно, для нахождения второй производной надо продифференцировать найденную первую производную по аргументу х, продолжая рассматривать у как функцию от х. В выражение для второй производной войдут х, у и у'. Подставляя вместо у' его значение, находим у", зависящую только от х и у. Аналогично поступаем при нахождении у y IV и производных более высоких порядков.

Пример 5.12. Найти производную третьего поридка от функции y = f(x), з а ­ данной уравнением х 1 + у 2 = а2.

Р е ш е н и е . Найдем первую производную 2х + 2уу' = 0 , откуда у ' = — х/у. Диф-

Производные высших порядков от функции, заданной параметри­ чески. Пусть у — функция от х, заданная уравнениями

х — ф(0> t f T \

у = Ш

Поскольку вторая производная от у по х есть первая производ­ ная от у'х по х, то задача нахождения второй производной сводится к отысканию первой производной от функции, заданной параметри­ чески (см. $ 5.11):

119

у'х = y't/x't, \ х = ф(<). J

Следовательно, по определению первой производной для функ­ ции, заданной параметрически, имеем:

х = ф№>1^ у'х = у ! I х ь! ^ У " = [у ’х У / х ’Л

и производные высших порядков.

Р е ш е н и е . Выполняя последовательное дифференцирование, получаем:

}

Ух =

x'tA.{ U 0111— a sin It a 2 Usin01113 1 » Ax—=UaVU3c o s < ;

УХ — у х )

Ух —

i 3

5.13. Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ы В Ы С Ш И Х П О Р Я Д К О В

Рассмотрим функцию у = f(x). Дифференциал этой функции dy — = f{ x ) d x зависит от х и dx = Ах, причем Ах от х не зависит, так как приращение в данной точке х можно выбирать независимо от точки х. В этом случае dx в формуле первого дифференциала будет постоянным. Тогда выражение f'(x)dx зависит только от х и его мож ­ но дифференцировать по х.

Дифференциал от дифференциала функции у = f(x) в данной точ­

120

ке х называется дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом.

Дифференциал второго порядка обозначается d2y или d2f(x). Т а­ ким образом,

af2t/ = d(dy).

Аналогично дифференциал третьего порядка от функции у = f{x)

d3y = d ( d 2y).

Вообще дифференциал п-го порядка (или п-й дифференциал) функции у = f (х) определяется как дифференциал от дифференциала (п — 1)-го порядка:

= (f"'(x)dx) (dx)2 =* f"'(x) (dx)3.

Можно установить справедливость формулы для дифференциала га-го порядка

d(n)y = f(n)(x) (dx)n.

В дальнейших записях скобки при степенях dx будем опускать:

d ^ y = f n\ x ) d x n.

Отсюда следует, что производная я-го порядка есть отношение ее дифференциала n -го порядка к п -й степени дифференциала не­ зависимой переменной:

d ny

f n\ X):

d x "

В частности, при п = 1, 2, 3 получим соответственно:

r w = - g - . Г М - - 0 -

При этом предполагаем, что аргумент х функции у = f(x) является независимой переменной.

Выведем теперь формулы для вычисления дифференциалов высших порядков в случае, когда аргумент х является дифференци­ руемой функцией х — ф(t) некоторой переменной t. Как видно из

121

рис. 5.8, для одного и того же At, но

тать независимыми от х, так как d x

дем считать его дифференциалом от произведения двух функций f'(x) и dx, т. е.

d 2y = d(f'(x)dx) == d{f'(x))dx + f'(x)d2x =

лой, состоящей из двух слагаемых.

Покажем, что ранее выведенная формула для второго дифферен­ циала d 2y = f"(x)dx2 (в случае, когда х — независимая переменная) является частным случаем формулы (5.8). Действительно, если х — независимая переменная, то d х = (x")dx2 = 0 • dx2 — 0 , и второе сла­ гаемое в формуле (5.8) отсутствует.

Приведем формулу для вычисления дифференциала третьего порядка:

d 3y = f'"(x)dx3 + 3f"(x)dxd2x + f'(x)d3x.

Из полученных формул для d 2y, d 3y следует, что при вычислении дифференциалов более высоких порядков от сложной функции про­ исходит нарушение инвариантности формы. Другими словами, фор­ мулы для дифференциалов порядка выше первого различны. Их вид зависит от того, является ли аргумент х независимой переменной или дифференцируемой функцией другой переменной. (Напомним, что для дифференциала первого порядка его форма записи остается неизменной.)

5.14. ТЕО РЕМ Ы О С РЕ Д Н Е М ЗН А ЧЕН И И

Теоремы о среднем — одно из свойств дифференцируемых функций. Одним из важнейших классов (множеств) функций, изуча­ емых в курсе математического анализа и имеющих первостепенное значение при решении задач практического характера, является класс непрерывных функций. В предыдущей главе мы показали, что класс дифференцируемы? функций является подмножеством мно­ жества непрерывных функций. Дифференцируемые функции пред­ ставляют особый интерес, так как большинство задач техники и

122

естествознания приводят к исследованию функций, имеющих про­ изводную. Такие функции обладают некоторыми общими свойствами, среди которых важную роль играет ряд теорем, объединенных общим названием теоремы о среднем. В каждой из этих теорем утвержда­ ется существование на отрезке [а; Ь] такой точки, в которой иссле­ дуемая функция у — f(x) обладает тем или иным свойством.

Теорема 5.4 (Ролля*). Пусть функция f(x) удовлетворяет сле­ дующим условиям на отрезке [а; Ь\.

>Известно, что если f(x) непрерывна на [а; Ь\, то на этом отре

из двух значений М или m функция принимает в некоторой внутрен­

Это условие равносильно существованию разных односторонних пределов:

Геометрически теорему Ролля можно пояснить следующим обра­ зом: если непрерывная на отрезке [а; Ь] и дифференцируемая в интер­ вале ]а; Ь[ функция f(x) принимает на концах этого отрезка равные значения, то на графике этой функции найдется хотя бы одна такая точка С с абсциссой х = £, в которой касательная параллельна оси Ох (см. рис. 5.9).

З а м е ч а н и е . Условия теоремы Ролля являются достаточными, но не необхо­ димыми. Например, функция /(дс) = дс3 определена и непрерывна на [— 1; 1], диффе­ ренцируема во всех внутренних точках этого отрезка, однако для нее не выпол­ няется третье условие теоремы Ролля: f ( — 1) Ф ^(1). Тем не менее, существует точка | = 0, такая, что /'(£) = 0 (рис, 5,10).

* Мишель Ролль (1652— 1719) — французский математик.

123

Н а рис. 5.11 изображен график разрывной и недифференцируемой на [а; Ь\ функ­

> Составим вспомогательную функцию

ф(х) = (Ь — a)f(x) - (f(b) - f(a))x.

Покажем, что функция ф(х) удовлетворяет условиям теоремы

С

* Ж озеф -Л уи Л агр ан ж (1736— 1813) — французский математик.

Формулу (5.9) называют формулой Лагранжа. Иногда ее записы­ вают в виде

— fia))/(P — a) — k представляет собой угловой коэффициент хорды А В , a f'(l) — угловой коэффициент касательной к кривой f(x) в точ­

крайней мере одна точка С, в которой касательная параллельна хорде А В , при условии, что в каждой точке дуги А В существует касательная (рис. 5.12). (Напомним, что в силу условия f(a) = = f(b) теорема Ролля утверждает, что в точке С касательная параллельна оси абсцисс.)

Если в формуле Л агранж а (5.9) положить f(a) — f(b), получим теорему Ролля, т. е. теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранж а.

Положим в формуле Л агранж а (5.9) а = х о, Ь = х 0 -\- Ах. Тогда

мента и функции, поэтому ее называют формулой конечных при­ ращений.

Формула Лагранжа в виде (5.11) дает точное выражение при­ ращения функции через вызвавшее его приращение аргумента в отли­ чие от дифференциала функции, который определяет приближенное значение приращения функции: Ay « dy = f'(x0)Ax. Заметим, что в приближенных вычислениях приращение функции заменяют чаще дифференциалом, т. е. полагают A y w d y . Формула (5.11) приме­ няется реже, так как для ее использования необходимо указать точку | 6 ]а; Ь[, что, вообще говоря, не всегда удается.

Приведем пример использования формулы конечных приращений для нахождения приближенного значения функции f(x) в фиксиро­

125

>Составим вспомогательную функцию:

фМ = f « - Да)- (8(х) - g(a)).

Заметим, что g(b)=£ g(a). Действительно, если бы g(b) = g(a), то для функции g(x) на отрезке [а; Ь] были бы выполнены все усло­ вия теоремы Ролля, и по этой теореме внутри отрезка [а\ Ь\ нашлась бы по крайней мере одна точка |, для которой g '( |) = 0 , что про­ тиворечит условию теоремы. Следовательно, g(b) Ф g(a).

Покажем, что вспомогательная функция ф (х ) удовлетворяет усло­ виям теоремы Ролля. Действительно: 1) ф(лг) непрерывна на [а; Ь] как

Геометрические интерпретации теорем Коши и Л агранж а совпа­ дают. Действительно, обозначим независимую переменную через t и будем считать, что функции y = f(t), x = g(t) являются параметри­ ческими уравнениями некоторой линии. Когда параметр t «про­ бегает» отрезок [f1; t2\, текущая точка перемещается по какой-то дуге, начальная точка А которой имеет координаты (g(ii);

а конечная В — (£(/2); f(h))- Угловой коэффициент хорды, стягива­

126

5.15. ПРА ВИ Л О Л ОПИ ТА ЛЯ

При раскрытии неопределенностей (см. § 3.7) полезна следующая теорема, впервые доказанная И. Бернулли*.

Теорема 5.7 (правило Лопиталя**). Если функции f(x) и g(x) удовлетворяют следующим условиям:

1 ) определены и дифференцируемы на интервале ]а; Ь[, за исклю­

или — oo));

3) существует предел (конечный или бесконечный) отношения

>Приведем доказательство теоремы только для случая раскр

тия неопределенностей вида -jj-. Доопределим функции f и g в точке

Смысл правила Лопиталя, задаваемого формулой (5.13), заклю­ чается в том, что оно позволяет свести вычисление предела отноше­

* И о г а н н Б е р н у л л и ( 1 6 6 7 — 1 7 4 8 ) — ш в е й ц а р с к и й м а т е м а т и к .

** Г и л ь о м Ф р а н с у а Л о п и т а л ь (1 6 6 1 — 1 7 0 4 ) — ф р а н ц у з с к и й м а т е м а т и к .

127