Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Герасимович(математический анализ)

.pdf

Скачиваний:

468

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

5.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3023 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Пример 9.1. Д оказать, что функция Дирихле
	если х — рациональное				число,
	если х — иррациональное число
не интегрируема	на отрезке [0 ; 1].
Р е ш е н и е .	Действительно,	если	при	разбиеннн	отрезка [0; 1] на частичные
отрезки выбрать	на каждом нз	них	рациональную		точку £6 [x_i; jc*]. получим
	П	f(lk)&Xk =		П
	S	f(lk)&Xk =		S 1 • Дх* = 1.
	6 = 1			6 = 1

Если ж е выбрать иррациональную точку £*, имеем

ПП

а п = S f ( l )Д х=	S 0 -Дх* = 0 .
4=1	4=1

Таким образом, при разбиении т„ отрезка [0; 1] на частичные отрезки интеграль ная сумма может принимать как значение, равное 0 , так и значение, равное 1 . Следовательно, предел интегральной суммы не существует, т. е. не существует опре деленный интеграл, хотя ф ункция'Дирихле ограничена на всей числовой оси.

Сформулируем без доказательства достаточное условие интегри руемости функции.

Теорема 9.2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь], то

она интегрируема на этом отрезке, т. е. существует $ f(x)d(x).

Отметим, что интеграл Римана существует для значительно более широкого класса функций, нежели рассматриваемый класс непре рывных функций. В частности, справедлива следующая теорема, обобщ ающ ая теорему 9.2.

Теорема 9.3. Если функция f(x) ограничена на отрезке [а; Ь] и непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек разрыва

первого

рода,

то она

интегрируема на этом отрезке.

Пример

9.2. Вычислить

$ x 2dx.

Р е ш е н и е .

Т ак

как подынтегральная функция является непрерывной на [0; 1],

то

определенный

интеграл

$ x 2d x

существует и равен площади S

криволинейной

трапеции, ограниченной параболой у — х 1 и прямыми х — I, у = 0 (рис. 9.2). Разобьем

отрезок [0 ;

1 ] на

п равных

частей

точками х0 = 0 ,

х | =

Дх,

х г =

2Дх...........

х„ = 1 =

пАх,

Дх = 1/п.

В качестве

возьмем крайние правые точки каж до

го

из

отрезков

( |t =

х&).

Составим интегральную

сумму:

а„ =

х? Дх +

хг Дх + .. . +

х 2Дх =

(Дх) 2 Дх +

2Дх)2Дх + .. . +

(пДх)2 Дх =

(Дх) 3 (1 + 22 +

32+ ...+ п2).

п(п +

1 ) ( 2 п + 1)

Учитывая,

что

1 +

+ . . . + п2 =

получаем

\ x 2dx =

lim а „ =

lim 2

f(lk)Axk —

Дх-*-0

Р и с .

9.2

* = 1

218

Таким образом,	площадь	криволинейной трапеции, ограниченной параболой
у = х 2 и прямыми х =	1, у = 0,	равна 1/3.

Как видно из примера, непосредственное (по определению) вы числение определенных интегралов как пределов интегральных сумм связано с громоздкими вычислениями.

9.4. О С Н О В Н Ы Е СВОЙСТВА О П РЕ Д Е Л Е Н Н О Г О ИНТЕГРАЛА

Рассмотрим свойства определенного интеграла.

1. Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (а = Ь),

то интеграл равен нулю:

\f(x)d x — 0 .

Это свойство следует из определения интеграла.

2. Если f(x) = 1, то

\d x = b — а.

	а
[> Действительно, так как f ( x ) =		1, то
5dx =	lim 2 I -A xk =	i Axk = b - a . <3
a	X-*-0 fc = l	fc = l

3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

Ь	а
J f(x)dx — — \| f(x)dx.
ь
Интеграл \f(x)d x был	определен для случая а < Ь (см. § 9.1).
а

Если а > Ь, свойство 3 рассматривают как дополнение к определе нию (доопределение) определенного интеграла. Свойство 3 можно интерпретировать следующим образом: определенные интегралы

Ьа

и^f(x)dx являются пределами интегральных сумм, различаю

щихся лишь знаком. Это следует из того, что в случае b < а все числа

Axk = xk — Xk-\	в разбиении	т„ = {а = х 0 > х\ > ... > хп = Ь) будут
отрицательными	(при a<Cb	все Axk > 0 ).

4. Постоянный множитель можно выносить за знак определен ного интеграла:

ьь

J cf(x)dx = с J f(x)dx V с £ R.

аа

[> Действительно,

\ cf(x)dx = lim 2	cf(lk)Axk = d i m 2 f{ h )A x k —
a	k = l X-^Uk = l
	b

= c$ f(x)dx. <] a

5. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых на [а; Ь] функций fi(x), f2(x), ..., fn(x) равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых:

ь ьь ь

S(fi(x) ± f 2(x) ±	... ± fn(x))dx = 5 fi(x)dx ± 5 f 2(x)dx	± ... ± $ fn(x)dx.
а	аа	а

Доказательство этого свойства аналогично приведенному выше.

З а м е ч а н и е . Совокупность свойств

5 называют

свойством линейности-.

если f 1(jc)

и f2(x)

интегрируемы на [а ;

Ь], то лю бая их линейная комбинация Cifi (х) +

c2f2 (x),

с 1, с2 6

R, такж е

интегрируема

на

[a;

ft]и

5 ( с i f i (х )

+ C2f2(x))dx =

\ fi (x)dx +

c2 S fi(x)dx .

6 (аддитивность

определенного

интеграла).

Если

существуют

интегралы \f(x )d x и

\ f(x)dx,

то существует

также интеграл \f(x)d x

для лю бы х

чисел

а,

Ь, с

5 f(x)dx =

\ f(x)dx +

\ f(x)dx.

[> Действительно,

предел

интегральной

суммы не

зависит от

способа разбиения отрезка [а; Ь] на частичные отрезки и от выбора Это позволяет при составлении интегральной суммы включить

точку	с	в число	точек	разбиения.			Пусть	с =	х„, т. е.	[а; Ь} =
— [а\	с] U[с; &] =		([а; i]U[b			* 2] U - U [ * m - i ;			m])U([m;	*m+i]U
U ...U[*n-i; b]). Тогда
		n		m			n
		2	f(lk)bxk = 2		ш	A** + 2		f(lk)Axk.
		k = 1		=	1		k — m
Переходя		к пределу при		тах{А**} =			А,-»-0, имеем
			Ь	с			b
			J f(x)dx =			J f(x)dx +		5 f(x)dx. <]
			а	а			с

Геометрический смысл свойства 6 состоит в том, что площадь криволинейной трапеции с основанием [а; Ь] равна сумме площадей

криволинейных трапеций	с	основаниями	[а; с] и	[с;	Ь] (рис. 9.3).
7. Если f(x) ^ О V* 6 [а;		Ь], то
ь
Jf(x)dx ^ О, а <			Ь.
а
t> Действительно, так	как /( £ * )^ 0 и		А х * ^ 0 ,	т о	интегральная

2 2 0

сумма 2 Д!*)Ах* ^ 0. Переходя к пределу в последнем равенстве, имеем 4 = 1

пЬ

• lim	2 f ( b ) A x k =	J f(x)dx > 0. <
i ^ O	* = l	о

8 (монотонность определенного интеграла). Если интегрируемые функции f(x) и ф(лс) удовлетворяют неравенству f(x) ^ q>(x) V х в £ [а; Ь], то

ьь

5 f(x)dx ^ J <р(x)dx, a < ib .

аа

>	Действительно, так	как f (х) — ф(лс) ^ 0 V* 6 [я; Н то, согласно
свойствам 5 и 7, имеем
ь	ь	ь	ь	ь
S	(f(x ) ~ 4>{*))dx = 5 f(x)dx — 5 y(x)dx ^		0 =>- \ f(x)dx ^	\ <p(x)dx. <
а	а	а	а	а

На рис. 9.4 дана геометрическая интерпретация свойства 8 . Так как f(х) ^ ф(лс), то площадь криволинейной трапеции аА 2В 2Ь не меньше площади криволинейной трапеции аА\В\Ь.

З а м е ч а н и е . Так как	— \|Дх)\|	<; f(x) < ; \|/(х)\|	V * € [о; Ь],	то
ь	ь	ь	ь	ь
— S \ f ( x ) \ d x ^	\ f( x ) d x <	J \|/(jc)\| d x o \	\ f ( x ) d x \| >	\f(x)dx .
a	a	a	a	a

9 (об оценке определенного интеграла). Если m и М — соот ветственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x), не прерывной на отрезке [а\ Ь], то

ь
m ( b — a ) ^ . \ f ( x ) d x ^ . M ( b — a),		a<Cb.	(9.2)
а
> По условию m <1/(*) <1 Л1V х £[а\ Ь).		Применяя	свойство 8
ь	ь	ь
к этим неравенствам, имеем m \ d x	f(x)dx < 1	dx. Согласно свой-
а	а	а

ству 2 , \ dx = b — а, следовательно,

	b
	m(b — a) < 1 J f(x)dx ^ M(b — a). <]
	a
На рис. 9.5 дана геометрическая интерпретация свойства 9 в
случае,	когда f(х ) ^ 0 Vх£ [а; Ь]. Площадь прямоугольника аА\В\Ь
равна	т(Ь — а), площадь прямоугольника аА^Вф — М(Ь — а). Из

неравенства (9.2) следует, что площадь криволинейной трапеции аАВЬ не меньше площади первого прямоугольника и не больше

площади	второго.
10	(теорема о среднем). Если функция f(x) непрерывна на о
резке [а;	Ь], то существует такая точка g £ [а; Ь), что
	\f(x )d x = f(Q(b — a),

т. е. определенный интеграл от непрерывной функции равен произ ведению значения подынтегральной функции в некоторой промежу точной точке | отрезка интегрирования [а; Ь) и длины Ь — а этого отрезка.

>Известно, что непрерывная функция f(x) на отрезке [а; Ь] д

стигает	своего наименьшего	m и наибольшего М -значений, т. е.
m <1 f(x)	М \ х £ [а; Ь). Из данного неравенства на основании свой
ства 9 имеем		ь
		ь
	m(b — а) ^	^ f(x)dx <1 M(b — а).
		а

Разделив все члены двойного неравенства на Ь — а > 0, получим

tn <	V	' <	м -
	Ь — а
		ь
		\ f(x)dx
Другими словами, число	К =	аь _ а	находится между наимень

шим и наибольшим значениями функции f(x). Поскольку непрерыв-

2 2 2

ная на отрезке [а; Ь] функция f(x) принимает все промежуточные значения, леж ащ ие между т и М, в том числе и значение Я, то суще ствует 1 6 [а; &], такое, что f(Q = Я. Значит,

5 f(x )d x

откуда	№ = пг= пг>	(9-3)
откуда	ь
	\f(x )d x = № ( b - a ) .	<
	а

Число f(|), определяемое по формуле (9.3), называется интеграль ным средним значением функции f(x) на отрезке [а; Ь].

На рис. 9.6 дана геометрическая интерпретация свойства 10 в случае, когда f (х) > 0 \ х 6 [а; Ь]. Так как значение f(|) (Ь — а) числен но равно площади прямоугольника с основанием Ь — а и высотой f(g), то теорема о среднем утверждает, что существует прямоугольник, равновеликий криволинейной трапеции аАВЬ.

9.5. О П Р Е Д Е Л Е Н Н Ы Й ИНТЕГРАЛ

СП Е РЕ М Е Н Н Ы М ВЕРХНИМ П РЕ Д Е Л О М

До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоян ными пределами интегрирования а и Ь. Если оставить постоянным

нижний предел интегрирования а,	а верхний х изменять так, чтобы
х £ [о; Ь], то величина интеграла	будет изменяться. Интеграл вида

\f(t)d t = 0>(x), * 6 [а; Ь],

называется определенным интегралом с переменным верхним пре делом и является функцией верхнего предела х. Здесь для удобства переменная интегрирования обозначена буквой /, а верхний предел интегрирования — буквой х.

С геометрической точки зрения, функция Ф(х) в случае f(t) ^ 0 представляет собой площадь заштрихованной на рис. 9.7 криволи нейной трапеции.

Найдем производную от Ф(лс) по х, т. е. производную определен ного интеграла по верхнему пределу.

Теорема 9.4. Производная опре деленного интеграла от непрерыв ной функции /(х) по его перемен ному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функ ции, в которой вместо переменной

интегрирования	подставлено		зна
чение верхнего	предела:
Ф '(х ) = С \	f(t)di)' =	f(x).
а			х £
[> Возьмем	любую	точку	х £

6 [а; Ь} и придадим ей приращение Ах так, чтобы х -|- Аде £ [а; Ь). Тогда

223

								дс +	Лж	Ж
	АФ(лг) =		Ф(х +		Ах) — Ф(лс) =			\	f(t)dt — J f(t)dt.
								а		а
Используя аддитивность						определенного интеграла, имеем
			х		ж + Д ж			х		ж + Ддс
	АФ(х) =		\ f ( t ) d t +			J f ( t ) d t - \ f ( t ) d t =				j	f(t)dt.
		а			х		а		х
Применяя теорему о среднем, получаем
				Ах) — Ф(*)=			ж+Дж
	Ф(* +			Ах) — Ф(*)=			\	f(t)dt = f(D Ах,
где	х + Ах].						X
где	х + Ах].
Если Адс-кО, то х +					А х ^ - х , \|- ю с			и в силу		непрерывности функ
ции	f(x) на отрезке			[a;	b}f(l-)-*-f(x). По				определению производной
	Ф'(х) =	l	i	m =		limi	^	=	lim/(6) =		/(*). <
		4ж-*0		л х		Д х-^0	л х		А х-*0
									(6-*)
Из	теоремы	9.4	следует,			что определенный				интеграл с перемен-
					X
ным верхним пределом					\ f(t)dt является первообразной д л я подын-
				а

тегральной функции f(x) на отрезке [а; Ь]. Но, согласно теореме 9.2, X

интеграл $ f(t)dt существует для любого значения х. Таким образом,

теорема 9.4 является одновременно и теоремой о существовании первообразной Ф у каждой непрерывной функции f. Этой первообраз ной может быть определенный интеграл с переменным верхним пре делом. Таким образом,

J f(x)dx = J f(t)dt + С,

т. е. установлена связь между неопределенным и определенным интегралами.

9.6. ФОРМ УЛА НЬЮ ТОНА — Л Е Й Б Н И Ц А

Итак, функция f(x), непрерывная на отрезке [а; Ь), имеет на этом

отрезке первообразную, например Ф(x) = \f(t)dt.

Поставим теперь обратную задачу: зная одну из первообразных Ф(лс) функции f(x) на отрезке [а; Ь\ вычислить определенный интеграл от функции f(x) на этом отрезке или, что то же, найти определенный

интеграл	по известному неопределенному.
Пусть F(x) — любая другая первообразная функция f(x) на том же
отрезке [а; Ь). Так как первообразные			Ф(х) и F(x) отличаются друг
от друга	постоянным слагаемым,	то	имеет	место равенство
	X
	\f(t)d t = F(x) + C	V *€[a; Ь\		C g R .
	a

224

П одставляя в это равенство значение х = а, имеем

\f(t)d t = F(a) + C=>0 = F(a) + C=>C = — F(a),

т. е.

\f(t)d t = F ( x ) - F ( a ) V х£[а; Ь).

П олагая х = Ь и обозначая переменную интегрирования через х, получаем основную формулу интегрального исчисления:

j.f(x)dx = F(b) — F(a>

(9.4)

которая называется формулой Ньютона — Лейбница.

Формула Ньютона — Лейбница дает правило вычисления опре деленного интеграла: значение определенного интеграла на отрезке [а; Ь) от непрерывной функции f(х) равно разности значений любой ее первообразной, вычисленной при х = Ь и х = а.

Разность F(b) — F(a) в правой части формулы (9.4) удобно запи сывать так: F{x)\ba. Тогда формула Ньютона — Лейбница принимает следующий вид:

{ f(x)dx = F(x)\ьа = F(b) - F(a).

Формула (9.4) позволяет избавиться от вычисления определен ных интегралов как пределов интегральных сумм, и задача вычисле ния определенного интеграла сводится к задаче вычисления не определенного интеграла (см. гл. 8 ).

9.7.О С Н О В Н Ы Е М ЕТОДЫ ВЫ ЧИ СЛЕНИ Я

ОП РЕ Д Е Л Е Н Н О Г О ИНТЕГРАЛА

Вычисление простейших интегралов с помощью формулы Ньюто на — Лейбница. Если F(x) — одна из первообразных непрерывной на [а; Ь] функции f(x), то справедлива формула Ньютона — Лейбница

	ъ
	^(x)dx =		F(x)\ba =	F(b) -	F(a).
	a
Эта формула позволяет свести вычисление определенного ин
теграла	к вычислению	неопределенного.
Так,	например:
к/2		\|»/2	„
S		\|»/2	„
S		= — c o s - g - +		cos 0 =	1 ;
	sin x d x = — cos х	= — c o s - g - +		cos 0 =	1 ;
iо
2) \| ( 6 хг + 3)dx = (2* 3 +		Зх) Ц =	(2 • l 3 +	3 • 1) - (2 • 0 + 3 • 0) = 5;
8 Зак. 1270					225
					225

	2
3) ^			= Inх\|*= ln2— In1=ln 2;
	‘б				6
4)	\ ^ M		=	r	= [{3 + x ) ~ '/2d(3 +	х) = 2 ф + х	'\|f = 2 ( - \ / 9 - V 4 ) = 2;
	Jt	l / 3	+	x	J
	0
5)	^	e ~ 2xd x =			— §“ e _ 2Х\| _ , = ~	y ( e° ~ e2) =	g 2 1 '

— l

Замена переменной (подстановка) в определенном интеграле.

Этот метод, как и в случае неопределенного интеграла, позволяет упростить вычисления, т. е. привести подынтегральное выражение к соответствующей табличной форме. Применение замены переменной в определенном интеграле базируется на следующей теореме.

Теорема 9.5. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а; 6 ], а функция х “ ср(7) непрерывно дифференцируема на отрезке [^; *2], причем ф([^; t2]) = [а; Ь] и ф(^) = а, ф(^2) = Ь, то справедлива формула

(9.5)

|> Пусть F(x) — первообразная для функции f(x) на отрезке [а; 6 ]. Поскольку ф(Л) = а, ф(?2) = Ь, то по формуле Ньютона — Лейбница имеем

\ f(x)dx =		F(b) - F(a) = F (Ф(*2)) -		F(<p(f,)) -		\ dFfo(O) =
a						t,
	=	[ F '( < p ( tW ( t) d t=	\f(y(t))<p'(t)dt. < 1
		f.	ii
Формула (9.5) называется формулой замены переменной в опре
деленном	интеграле. Д ля вычисления			определенного интеграла по
этой формуле необходимо сделать замену х =					ф(/), вычислить dx =
= Ф '(t)dt,	где	ф (< ) — некоторая	непрерывно		t,	дифференцируемая
функция,	найти	пределы интегрирования по				решив уравнения

ф(*1) = а и ф(t2) = b.

Отметим, что при вычислении интеграла методом замены Пере менной одновременно с преобразованием подынтегрального вы раж е ния изменяются соответственно и пределы интегрирования.

Пример 9.3. Вычислить

			h	1 + а/*
			о	1 + а/*
Р е ш е н и е .		Перейдем	к	новой переменной интегрирования, положив х = t2.
Тогда	dx = 2tdt.	При а = 0	имеем t\ = л[а = 0, при Ь — 9 t2 — ~\l9 = 3. По форму
ле (9.5)
9		3		3
17^"5ттт_“гК'--ттг)‘''-г«'-\|"\|.+'1»1-6-21"4
П	*	л		П
о

226

я / 3

cos X

			--- г-5— dx.
			sin x
			лS/6		cos x dx = dt. Значению a =
	Р е ш е н и е . Сделаем подстановку sin x = t. Тогда				cos x dx = dt. Значению a =
=	л / 6 соответствует	t\ =	sin ( л / 6 ) — 1/ 2 ,	значению	b =	я / 3 — t2 = sin (л/3) =
=	-д/з/2. Применяя формулу		(9.5), имеем
	л /3	V 3 /2 .
	л/6	1/2
	Интегрирование	по	частям в	определенном		интеграле. Пусть

и(х) и v(x) — дифференцируемые на отрезке [а; Ь] функции перемен

ной х. Тогда d(uv) = udv +	vdu. Проинтегрируем обе части послед
него равенства на отрезке	[а; Ь]:
ь	ь	ь
\d(u v) = \ u d v - \-\v d u .			(9.6)
а	а	а
С другой стороны, по формуле Ньютона — Лейбница
	ь
	^ d(tlv) =	U V \|а'
	а

Следовательно,

формула

(9.6)

принимает вид

J udv =

uv\a — J vdu.

(9.7)

Формула

(9.7) называется формулой интегрирования по частям

в определенном интеграле.

Пример

9.5. Вычислить

) х

sin xdx.

Р е ш е н и е .

Применим

формулу

(9.7):

]\и = х, du = d x y

I — — x cos x Iя +

\f cos x dx =

я 4- sin x \Iя= n .

. х sin xdx =

\ d v ~ s \ n x d x y v — — C O S JC

n / 4

Пример

9.6. Вычислить

cos

■dx.

Р е ш е н и е .

Примеияи

формулу

(9.7),

имеем

я / 4

и =

d u =

dx,

я/4

я / 4

■dx '■

= x t g x

— \ tg x d x =

cos

d v =

—

у =

tg x

cos

я/^

I я/^

In COS X

— tg -Г- + In cos —----- In COS 0

- J + l n J ^ = -я^ -ln V 2 » 0 ,9 2 .

227

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3023 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.05.20152.32 Mб8геологическая практика.docx
#
31.05.201529.77 Кб25Геология Канарских островов.docx
#
12.11.2019150.02 Кб5Геометрическая оптика.doc
#
11.11.2019714.75 Кб6геоэкология.doc
#
31.05.2015347.65 Кб29Гера1.doc
#
31.05.20155.61 Mб468Герасимович(математический анализ).pdf
#
23.09.20193.02 Mб63Гидравлика (1-50)-47-49-50.docx
#
06.12.2018255.84 Кб9Гидравлика швед.docx
#
24.04.2019595.63 Кб30Гидравлика, гидромашины и гидропривод Конспект....docx
#
21.12.2018321.47 Кб46гидравлика.docx
#
27.09.2019116.65 Кб21гидрогеология.docx