Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Герасимович(математический анализ)

.pdf

Скачиваний:

472

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

5.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3029 30 > Следующая >>>

									Окончание прил. 2
1		2				3					4
20	[ х т(а +	b x " f d x		Интегрирование			заменой перемен				8-9
	(т, п,	р 6 Q)	ной (подстановкой):					1)	если	р £ Z,
			применяется			подстановка х =				где
			s — общий знаменатель дробей m a n ;
			2)	если	— € Z, используется под
			становка а +			bx" — ts, где s — знаме-
			натель		,	р; 3)			m +	1
			натель		дроби	р; 3)		е с л и ------------ (-
			+	р € Z,	применяется				подстановка
				+ 6 =		где	5 — знаменатель
			дроби р

ЛИТЕРАТУРА

1.Бронштейн И. Н., Семяндяев К. А. Справочник по математике для инже неров и учащихся втузов.— М.: Наука, 1986.— 544 с.

2.Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисле

ние.— М.: Наука, 1980.— 432 с.

3.Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике.— М.: Наука, 1977.—

871 с.

4.Дьяконов В. П. Справочник по расчетам на микрокалькуляторах.— М.: Наука,

1986,— 224 с.

5.Ж евняк Р. М., Карпук А. А. Высшая математика: В 5 ч.— Мн.: Выш. шк., 1984— 1988,— Т. 2,— 1985,— 221 с.

6.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.— М.: Наука, 1973.— 831 с.

7.Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: В 2 т.— М.: Высш. шк.,

1981,— Т.1. — 687 с.

8.Никольский С. М. Курс математического анализа: В 2 т.— М.: Наука, 1983.— Т. 1,— 464 с.

9.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление: В 2 т.— М.:

Наука, 1985.— Т.1.— 429 с.

10. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления:

В3 т.— М.: Наука, 1970.— Т.1.— 607 с.

11.Шипачев В. С. Высшая математика.— М.: Высш. шк., 1985.*-368 с.

П РЕД М ЕТНЫ Й УКАЗАТЕЛЬ

Абсолютная

величина

действительного

Действительная

часть

комплексного

числа

см. Модуль

числа

Аксиома

Архимеда

Декартов

квадрат

—

полноты

(непрерывности)

— лист 53

Аксиомы

порядка

Декартово произведение

множеств 11

— сложения действительных чисел 15

Деление

комплексных чисел

—

умножения действительных чисел 15

Диаграммы Эйлера — Венна 9

Аргумент

комплексного числа

Диаметр

разбиения 215

—

основной

107

Дифференциал длины дуги

175

—

промежуточный

38,

107

—

функции

106, 107

Асимптота

графика

функции

149

— — второго порядка 121

— — — вертикальная 149

— — третьего порядка 121

— — — горизонтальная 150

— — «-го порядка 121

— — — двусторонняя 150

Дифференцирование

100

— — — наклонная 149, 150

Дополнение

множества до универсаль

Асимптотика

ного множества 11

Астроида

Дробь рациональная

197

—

неправильная

197

Бесконечно

большие

одного

порядка

—

правильная

197

— — — простейшая 198

роста

Дуга неспрямляемая 255

— малые одного порядка малости 81

—

спрямляемая 255

—

— эквивалентные 82

Вектор-функция

скалярного

аргумен

Интеграл

неопределенный

189

—

несобственный

228

та 167

— — абсолютно сходящ ийся 231

— непрерывная я точке 170

— — второго рода 232

Возведение

комплексного

числа в сте

—

— — расходящ ийся 233

пень 22

—

— — сходящ ийся 233

— — первого рода 229

Геометрический смысл производной 102,

—

— —

расходящийся

228,

229

----------------- —

сходящ ийся

228, 229

103

—

определенный 215

Гипербола

52,

— —

переменным

верхним

преде

Главная

часть

функции

окрестности

лом

223

точки

136

— от дифференциального бинома 213

Главное значение

аргумента комплекс

—

П уассона

214

ного числа

—

Римана см. Интеграл определенный

— — полярного угла 54

—

собственный 228

Годограф

вектор-функции

скалярного

—

эллиптический

второго

рода

214

аргумента

167

— — первого рода 214

Грань верхняя

Интегралы табличные

192

—

— точная

—

Френеля 214

—

нижняя

Интегральное среднее

значение

функ

—

— точная

ции

на отрезке

223

График функции 32

Интегрирование 189

—

— вогнутый

147

—

непосредственное

193

—

— выпуклый

147

—

по частям

196,

227

280

—

подстановкой (заменой переменной)

Многочлены

равные 184

193, 226

Множества равномощные см. Множест

Интерполирование

линейное 155

ва эквивалентные

—

функции

153

—

равные 8

Интерполяция кусочно-линейная 156

—

эквивалентные

Множество 7

—

бесконечное 7

Кардиоида

—

действительных чисел

Касательная к кривой в точке 102

— — — расширенное 18

Композиция функций 38

—

значений функции 30

Координаты

точки

полярные

23,

— комплексных чисел 18, 19

— — — обобщенные 54

— конечное 7

—

упорядоченной

пары

элементов

—

натуральных чисел

Корень многочлена

184

—

неограниченное

—

— простой 185

—

ограниченное 17

— — fe-кратный 185

—

сверху

— степени п из комплексного числа 25

—

снизу

Косинус интегральный 214

—

одноэлементное 7

Коэффициенты многочлена 184

—

основное см. Множество универсаль

Кривая интегральная

189

ное

Кривизна

дуги средняя 176

—

пустое 7

—

кривой

176

—

рациональных

чисел

— линии в точке 177

—

счетное 13

Криволинейная трапеция 216

—

универсальное 9

Криволинейный сектор 251

—

целых чисел

Круг кривизны 179

Модуль

—

комплексного числа 19

Момент

инерции

материальной

точ

Лемниската

Бернулли

ки 267

Линии ортогональные

104

—

статический материальной точки 267

Линия винтовая 174

Мощность множества 8

—

однородная 268

—

прямая 55

Логарифм

интегральный

214

Неравенство

треугольника 22

—

натуральный 68

Нуль многочлена см.

Корень многочле

на

Максимум

функции

абсолютный

142

—

функции 34

—

— локальный 142

М етод касательных см. М етод Ньютона

Область определения

функции 30

—

неопределенных коэффициентов 2 0 1

— — — естественная 31

Ньютона 161

Образ

множества

12, 30

—

параболических трапеций см. Метод

—

элемента

11, 30

Симпсона

Общий

член

последовательности

—

половинного деления

159

Объединение множеств 9

—

секущих — хорд 162

Окрестность

72, 73

—

Симпсона 239

—

проколотая 70, 72

—

средних

прямоугольников 236

Окружность 51, 56

—

трапеций 238

Оператор см. Отображение

—

хорд 159

Определение

конечного

предела функ

—

частных

значений 203

ции

на языке

последовательностей

Механический смысл

производной

101

(по

Гейне)

Минимум

функции

абсолютный

142

— —

на языке «е — 6»

(по Ко

—

— локальный 142

ши)

70, 71

Мнимая часть комплексного числа 18

Остаточный член интерполирования 156

Многочлен

интерполяционный

154

—

— формулы

Тейлора

в форме

Л а

— в комплексной

области с

действи

гранжа 132

тельными коэффициентами

184

— -- — — — Пеано 131

—

степени

п 49

Ось

комплексной

плоскости

действи

—

— —

комплексной

области

184

тельная 19

—

Тейлора

131

— — — мнимая 19

281

Ось полярная 54 Отделение корня 157 Отношение включения 9

—— строгого 9 Отображ ение 1 1

—биективное 1 2

—взаимно однозначное см. О тобр аж е ние биективное

—обратное 1 2

Отображения взаимно обратные 12 Оценки асимптотические 84

Парабола 52, 56 Параметр 50

Параметрическое задание линий на плоскости 51

— — функции 50, 51 П ервообразная 188

Переменная интегрирования 189, 215

—комплексная 184

—независимая 38 Пересечение множеств 10 Период функции 35

—— основной 35 Плоскость комплексная 19

—нормальная к пространственной кри вой 173

Подм нож ество 9

—собственное 9

Подынтегральное выражение 189, 215 П олю с 54 Последовательность бесконечно б ол ь

шая 6 6

—— малая 6 6

—монотонная 69

—числовая 63

—расходящ аяся 65

—сходящ аяся 65

Постоянная интегрирования 189 Правила дифференцирования функций

основные 115 интегрирования функций основные 191

Правило дифференцирования алгебра ической суммы функций 108, 109

—— произведения функций 109, 110

—— сложной функции 107

— — частного функций 1 1 0

—интегрирования рациональных д р о бей 203, 204

—Лопиталя 127

—Рунге 241

Правильная фигура 251 Предел вектор-функции 169

—интегрирования верхний 215

—— нижний 215

—замечательный второй 79, 80

—— первый 78, 79

—	числовой последовательности 64
—	функции 73

—— бесконечный 74, 75

—— в точке левый 72

—— — — правый 72

—— комплексной действительного ар гумента 183

Признак вогнутости (выпуклости) гра фика функции достаточный 147

—сравнения несобственных интегра лов второго рода 234

— —	— — — —	предельный	234
— —	— — первого рода 230,		231
— —	— — — —	предельный	231

—существования экстремума доста точный второй 144

—— — — первый 143

—— — — третий 145

—сходимости числовых последова тельностей достаточный 67

—— — — необходимый 66, 67 Произведение последовательностей 69

Производная вектор-функции в точ ке 170

—— — — вторая 172

—логарифмическая 116

—функции в точке 99

—— — — бесконечная слева 100

—— — — — справа 100

—— — — второго порядка 118

—— комплексной действительного ар гумента 184

—— — — конечная слева 100

—— — — — справа 100

—— — — третьего порядка 118

—— — — п-го порядка 118 Производные односторонние 100 Промежуток изоляции корня 157 Прообраз множества 30

—элемента 11, 30

Прямая 51

Радиус кривизны 179

—полярный 23, 54 Радиус-вектор точки 168 Развертка см. Эвольвента

Разность комплексных чисел 21

—множеств 10

—последовательностей 69 Раскрытие неопределенностей 69 Роза трехлепестковая 58

—четырехлепестковая 58

Свойство аддитивности определенного интеграла 2 2 0

—инвариантности формул интегриро вания 191

—— формы дифференциала 108

—линейности определенного интегра ла 2 2 0

—монотонности определенного инте грала 2 2 1

282

Синус интегральный 214 Скачок функции в точке 90 Спираль Архимеда 58

—гиперболическая 59

—логарифмическая 59

—синусоидальная 60 Сплайн 156

—кубический 156

Сумма интегральная Римана 215

—комплексных чисел 2 1

—последовательностей 69 Суперпозиция функций см. Композиция

функций

Теорема Безу 184, 185

—Больцано — Коши 95, 96

—Вейерштрасса 95

—Гаусса 29

—Кантора 97, 98

—Коши 126

—Л агранж а 124

—о конечных приращениях см. Т еоре ма Л агранж а

—— промежуточных значениях 96

—— сравнении функций 78

—основная алгебры 29, 185

—Ролля 123

Теоремы о среднем 122, 123 Точка возврата 143

—возм ож ного экстремума см. Точка критическая

—заострения см. Точка излома

—излома 102

— критическая 143

’

—локального максимума функции 141

—— минимума функции 141

—перегиба 147

—разрыва 89

—— второго рода 90

—— первого рода 90

—— устранимого 90

—стационарная 143

—угловая 143

Точки экстремума функции 142

Угол между кривыми 103

—полярный 23, 54, 174

—смежности 176

Узлы интерполирования 154 Умножение комплексных чисел 22 Универсальная тригонометрическая

подстановка 206 Упорядоченная пара элементов 11 Уравнение эволюты векторное 180 Ускорение 172

Условие интегрируемости функций д о статочное 218

—— — необходимое 217

—существования экстремума функции необходимое 142

Условия сущ ествования точек перегиба достаточные 148

Уточнение корня 159

Форма комплексного числа алгебраиче ская 2 1

—— — показательная 26

—— — тригонометрическая 23 Формула замены переменной в неопре

деленном	интеграле 194
— — — —	определенном интеграле
226

—интегрирования по частям в неопре деленном интеграле 196

—— — — — определенном интегра ле 227

—интерполяционная 32

—конечных приращений 125

—Л агранж а 125

—— интерполяционная 155

—М аклорена 132

—М уавра 25

—Ньютона — Лейбница 225

—общ его члена последовательности 63

—парабол см. Ф ормула Симпсона

—Симпсона 241

—средних прямоугольников 237

—Тейлора 129

—— с остаточным членом в форме

	Пеано	131
—	трапеций 239		Л
—	Эйлера 26
Функции		асимптотически равные 82

—взаимно обратные 39

—гиперболические 47

—— обратные 47

—кусочно-постоянные 49

—основные элементарные 49

—тригонометрические 44

—— обратные 44

Функция алгебраическая 50

—бесконечно больш ая 74, 75

— — малая 75, 76, 83

—векторная действительного аргумен та 167

—взаимно однозначная 39

—возрастающ ая 35

—Дирихле 31

—дифференцируемая в точке 104

—— на отрезке 105

—дробно-рациональная 49

—единичная Хевисайда 31

—знака см. Функция сигнум

—интегрируемая на отрезке 215

—— по Риману см. Функция, интегри руемая на отрезке

—иррациональная 50

—квадратичная 41

—комплексная действительного аргу мента 182

283

—— — непрерывная в точке 183 кусочно-непрерывная на отрезке 96

—— числовой прямой 97

k -то порядка малости 83

— — роста 83 линейная 41, 49

логарифмическая 43 монотонная 36

—в широком смысле 36 натурального логарифма 44 невозрастающая 35 неограниченная сверху 37

—снизу 37

непрерывная в точке 89

—— — слева 89, 90

—— — справа 89, 90

—на множестве 90 неубывающая 35 нечетная 34

неявная 116 обратимая 39 обратная 39 ограниченная 36

—на множестве 36

—сверху 36

—снизу 36 периодическая 34 подынтегральная 189, 215 показательная 43

равномерно-непрерывная 97 разрывная в точке 89 рациональная 49

— целая см. Многочлен степени п сигнум 31 сложная 38

—составная 31

—степенная 42

—строго монотонная 36

—трансцендентная 50

—убывающая 35

—четная 34

—числовая 30

Центр кривизны 179

—масс системы материальных точек 267

Циклоида 53

Частное от деления комплексных чи сел 22

—— — последовательностей 69 Числа комплексные равные 19

—комплексно-сопряженные 19 Число е 68

—иррациональное 14

—комплексное 18

Шаг винтовой линии 174

—разбиения 236

Эвольвента 180 Эволюта 180 Экспонента 43

Экстремумы функции 142 Элементы множества 7 Эллипс 52, 56

О ГЛ А В Л ЕН И Е

П р е д и с л о в и е .....................................................................................................................				3
О с н о в н ы е о б о з н а ч е н и я ..............................................................................................				5
		1. МНОЖЕСТВА		7
1.1. Понятие множества. Логические с и м в о лы ................................................................				7
1.2. Операции над множ ествами..............................................................................................				9
1.3. Отображение множеств. Эквивалентность м н о ж ес т в .........................................				И
1.4. Числовые м н о ж е с т в а .........................................................................................................				13
1.5. Ограниченные множества. Верхние и нижние грани числовых множеств				17
1.6. Множество комплексных ч и с е л ........................................................................................				18
		2.	ЧИ СЛОВЫ Е ФУНКЦИИ
		ОДНОЙ Д ЕЙ С ТВ И ТЕЛ ЬН О Й ПЕРЕМ ЕННОЙ		30
2.1. Понятие функции. Способы з а д а н и я ............................................................................				30
2.2. Основные характеристики поведения функций...........................................................				34
2.3. Сложная функция. Обратная ф у н к ц и я ......................................................................				37
2.4. Основные числовые функции и их гр аф и ки ................................................................				41
2.5. Классификация ф у н к ц и й .................................................................................			. . .	49
2.6. Функции, заданные параметрически и в полярных координатах.......................				50
2.7. Простейшие методы построения графиков функций в декартовой системе
	к о о р д и н а т .................................................................................................................................			61
		3. П Р Е Д Е Л Ы		63
3.1. Числовая последовательность и ее п р е д е л ................................................................				63
3.2. Предел числовой функции............................................................................				70
3.3. Бесконечно малые и бесконечно большиеф у н к ц и и .................................................				75
3.4. Основные теоремы о п р е д е л ах ........................................................................................				76
3.5. Первый и второй замечательные			п р едел ы ................................................................	78
3.6. Свойства бесконечно малых функций. Сравнение асимптотического пове
	дения	ф у н к ц и й .....................................................................................................................		80
3.7. Основные приемы раскрытия неопределенностей.....................................................				84
		4. Н ЕП РЕРЫ ВН Ы Е Ф УНКЦИИ		89
4.1. Непрерывность функции в точке и на множ естве.....................................................				89
4.2. Точки разрыва функции и их классиф икация...........................................................				90
4.3. Действия над непрерывными функциями. Непрерывность основных элемен
	тарных	ф у н к ц и й .....................................................................................................................		93
4.4. Свойства функций, непрерывных			на о т р е зк е ...........................................................	95
4.5. Равномерная непрерывность ф у н к ц и и ......................................................................				97
		5. Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Е ФУНКЦИИ
		ОДНОЙ	ПЕРЕМ ЕННОЙ	99
5.1.	Понятие производной. Механический и геометрический смысл производной			99
5.2.	Дифференцируемость функции. Дифференциал функции...................................			104

285

5.3.	Производная и дифференциал сложной функции. Инвариантность	формы
	дифференциала ...............................................................................................................		107
5.4.	Правила дифференцирования....................................................................................		108
5.5.	Производные и дифференциалы основных элементарных функций	.	.

5.6.Производная обратной функции. Производные и дифференциалы обрат

	ных тригонометрических ф у н к ц и й						113
5.7.	Производные и дифференциалы гиперболических ф ункц ий .........................						114
5.8.	Таблица производных основных элементарных ф у нкц ий ...............................						115
5.9.	Дифференцирование неявных ф ункций ..................................................................						116
5.10. Логарифмическое дифференцирование.				Производная	степенно-показа
	тельной	ф у н к ц и и ...........................................................................................................					116
5.11. Дифференцирование функций, заданных				парам етрически .........................			117
5.12. Производные		высших	п о р я д к о в ..............................................................................				118
5.13. Дифференциалы высших п о р я д к о в ........................................................................							120
5.14. Теоремы		о среднем зн ач ен и и ....................................................................................					122
5.15. Правило Л о п и тал я ...........................................................................................................							127
5.16. Формула		Тейлора» ...........................................................................................................					129
5.17. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных						функций	133
5.18. Приложения		формулы	Т е й л о р а ..............................................................................				136
		6. И ССЛЕДОВА НИЕ ФУНКЦИЙ
		С ПОМОЩ ЬЮ П РО И ЗВО ДН Ы Х					140
6.1. Возрастание и убывание ф ункц ий ..................................................................................							140
6.2. Точки локального экстремума функции. Необходимое и достаточные усло
	вия существования экстремума ф ункции......................................................................						141
6.3. Абсолютные экстремумы функции на о тр езк е ...........................................................							146
6.4. Исследование		функции	на выпуклость	и вогнутость.	Точки	перегиба
	ф у н к ц и и						147
6.5. Асимптоты графика ф у н к ц и и ........................................................................................							149
6.6. Общая схема исследования ф ункции ............................................................................							151
6.7. Интерполирование функций ..............................................................................................							153
6.8. Приближенное		решение	у р а в н ен и й ............................................................................				157
		7. ВЕКТОРНЫ Е И КОМ ПЛЕКСНЫ Е Ф УНКЦИИ
		ДЕЙ СТВ И ТЕЛЬН О ГО АРГУМЕНТА					167
7.1. Векторная функция скалярного аргумента. Г о до гр аф .........................................							167
7.2. Производная вектор-функции действительного аргумента. Геометрический
	и механический ............................................................................смысл производной						169
7.3. Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к пространст
	венной кривой ...........................................................................................................................						173
7.4. Кривизна ...............................................................................................................		к р и в о й					175
7.5. Комплексная функция действительного аргумента и ее дифференцирование							182
7.6. Многочлен ..................................................................................в комплексной области							184
		8. Н Е О П РЕД ЕЛ ЕН Н Ы Й ИНТЕГРАЛ					188
8.1. Первообразная .........................................функции			и неопределенный и н тегр ал				188
8.2. Основные .....................................................свойства неопределенного и н те гр а л а							190
8.3. Таблица основных .........................................правил и формул интегрирования							191
8.4. Основные ..................................................................................методы интегрирования							193
8.5. Рациональные .........................................................................................................		д р о б и					197
8.6. Интегрирование ...............................................простейших рациональных д р о б ей							198
8.7. Интегрирование ......................................................................рациональных д р о б е й						200
8.8. Интегрирование .....................................................тригонометрических вы раж ений						205
8.9. Интегрирование .........................................некоторых иррациональных ф ункций						209
8.10. Интегралы, .............................не выражающиеся через элементарные ф ункции						214
		9. О П РЕ Д Е Л Е Н Н Ы Й ИНТЕГРАЛ					215
9.1. Интегральная ...................................сумма. Понятие определенного и н тегр ал а						215
9.2. Геометрический .......................и физический смысл определенного ин тегр ал а						216

286

9.3.	Условия интегрируемости ф у н к ц и й .............................................................................	217
9.4.	Основные свойства определенного и н те гр а л а ...........................................................	219
9.5.	Определенный интеграл с переменным верхним п р е д е л о м .............................	223
9.6.	Формула Ньютона — Л е й б н и ц а ........................................................................................	224
9.7.	Основные методы вычисления определенного и н т е г р а л а ...................................	225
9.8.	Несобственные интегралы .....................................................................................................	228
9.9.	Приближенные методы вычисления определенных и н те г р а л о в .......................	236
	10. ГЕО М ЕТРИЧЕСКИ Е И МЕХАНИЧЕСКИЕ П Р И Л О Ж ЕН И Я
	О П РЕ Д Е Л Е Н Н О ГО ИНТЕГРАЛА	246
10.1.	Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат 246

10.2.Вычисление площадей плоских фигур в полярной системе координат . . . 251

10.3.	Вычисление	длины дуги к р и в о й ...................................................................................		254
10.4.	Вычисление объемов		пространственных т е л ...........................................................	258
10.5.	Вычисление	работы	переменной с и л ы .......................................................................	262
10.6.	Вычисление работы		электродвигателя переменной м о щ н о с т и ......................	263
10.7.	Вычисление силы давления ж и д к о с т и .......................................................................			264

10.8.Вычисление статических моментов, моментов инерции и координат центра

масс ..........................................................................................................................................	267
П р и л о ж е н и я ........................................................................................................................	273
Л и т е р а т у р а ..............................................................................................................................	279
П р е д м е т н ы й у к а з а т е л ь ..........................................................................................	280

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3029 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.05.20152.32 Mб8геологическая практика.docx
#
31.05.201529.77 Кб25Геология Канарских островов.docx
#
12.11.2019150.02 Кб5Геометрическая оптика.doc
#
11.11.2019714.75 Кб6геоэкология.doc
#
31.05.2015347.65 Кб29Гера1.doc
#
31.05.20155.61 Mб472Герасимович(математический анализ).pdf
#
23.09.20193.02 Mб63Гидравлика (1-50)-47-49-50.docx
#
06.12.2018255.84 Кб9Гидравлика швед.docx
#
24.04.2019595.63 Кб30Гидравлика, гидромашины и гидропривод Конспект....docx
#
21.12.2018321.47 Кб46гидравлика.docx
#
27.09.2019116.65 Кб22гидрогеология.docx