Герасимович(математический анализ)

i

j

к

[f( 0 . r W ] = e ‘

— e ~ ‘

V 2 = —V2e~'i + л/2е'| + 2k,

ё

e ~ ‘

0

|[r(/), r(/)]l =

I - ■ л/2е~Ч +

V 2 e 'j +

2 k|

= ф е ' 3' +

2e™ +

4 =

i / V

+

e ~ ‘),

|r(/)|

=

|e‘i — e ~ ' j +

”^ 2 к| =

V e2< + e_2< + 2 =

e'

e -

'.

Следовательно,

в л ю бой точке

/ кривизна

У 2 (е‘ +

О

л/ 2

K = ..

(е' + О

( « Ч О 2

1

(х +

У)2

так

как x(t) =

е(, y{t)

=

е ~ ‘ .

Кривизна

кривой

в

точке t — О К =

— ^-=..

2^/2

З а м е ч а н и е .

Ч асто при

задании

векторной функции

скалярного

аргумента

в качестве параметра t используется так называемый натуральный параметр

I —

длина дуги L. В этом случае формула для вычисления кривизны имеет более простой

внд,

так как

jr(/)|= 1 и вектор

т(1) перпендикулярен к вектору

г([):

/С=

|г(/)|.

•

J

к

:{x(t)y{t) — x(t)y(t)k,

[f(f), f ( f ) ] = x ( t )

y ( t )

0

x ( t )

y ( t )

0

Я _ -

1[*(0 ,

_

\ух — ух\

' ( 0 1 1

(7.8)

|Г(0 1 3

(х 2 + у 2)3/2

y

_

I

d 2y / d x 2\

( 1 +

(dy/dx)2)3' 2

Пример 7.7. Вычислить кривизну кривой

у = 1пх

в точке х =

1.

Р е ш е н и е .

Н аходим у' =

1 /jc , у" =

— Х/х1. На

основании формулы (7.9) кри­

визна кривой у — Inх в л ю бой

ее точке М с

абсциссой х

К =

Л/х2

1*1

(1

+ 1/х2)3' 2

(1 + х 2)3'2 '

Следовательно, при х -

1

имеем

к \

= _ L

=

:a /l

U - i

23*

4

Пример 7.8.

Найти

кривизну в

л ю бой

точке циклоиды

x =

a (t — sin/), у =

= о( 1 — cos t).

Р е ш е н и е .

Имеем:

i

= а ( 1 — cos /),

х =

a sin /,

у = а sin t, у — a cos t,

у х — у х =

— о 2(1 — cos /), i 2

у 2 =

2 о 2(1 — cos t).

Н а основании формулы

(7.9)

получаем

I — а 2(1 — cos f)|

1 1

23/2a 3(l -

cos t)3/2

2 3,2а(\

— cos t) 1/2

4о sin (t/2)

Радиус,

круг и центр кривизны. Проведем

к кривой L нормаль в

точке М(х;

у) и отложим на этой нормали

в сторону вогнутости

кривой отрезок M N = R (рис. 7.15), по величине обратный кривизне

K : R = 1//С- Отрезок M N называется радиусом кривизны , точка N —

центром кривизны, а круг с центром в точке N и радиусом R —

нением у = f(x), то ее радиус

кривизны

находится по формуле

п _

(1 + У ’ У /2

R ~

1.Л

•

R =

Ifl3

\[t 41

что каждой точке М кривой L соответствует

точка N — центр кри­

визны кривой L ' в точке М.

О п р е д е л е н и е

7.8. Множество точек

L '

центров кривизны

линии L называется ее эволютой, а сама линия L по отношению к

своей эволюте называется эвольвентой.

Выведем уравнение эволюты кривой L,

заданной

уравнением

r(t) = xi-\- у]. Пусть

N (l\ "п) — центр кривизны

линии

L в точке М

(рис. 7.16). Тогда для любой точки

М(х; y ) £ L

имеем

ON = ОМ +

+ MN. Обозначим

ON = г(, ОМ =

г, M N = R п°, где

п° — единич­

ный вектор нормали кривой L. Тогда

r, = r +

/?n0.

(7.10)

Запишем

разложения

векторов

Г| и

г

по базису

£ = {i, j): n =

= |i + Tij,

r = x \ - \ - y y

Найдем вектор

n°,

исходя из следующих со­

ображений. Единичный

вектор касательной к кривой L.

г '( 0

_

Я + yj _

*

; I

д

j

1г (01

л/х2 + у 2

л/х2 +

у2

~\/х2 +

у 2

Продифференцируем

равенство т2 = 1

по t.

Имеем

2 т — =

0 =^ —

± т

dt

dt

= x(t),

у — y(t),

t £ T ,

является

эвольвентой

по отношению

к

кри­

вой

L ' .

Пример 7.9. Найти кривизну, радиус кривизны, координаты центра кривизны

параболы

у = х 2

в произвольной точке х0. Записать уравнение ее эволюты.

Р е ш е н и е .

Вычислим

последовательно

производные: f'( x о) =

2х0, f"(x0) = 2.

Тогда

(1 +

4*о) 3/2

2

Найдем координаты центра

кривизны

т]) по формулам (7.11):

Так,

например,

в точке

0 (0 ;

0) К =

2,

R =

1/2, 5 =

0,

г] = 1 /2 .

Считая хо =

t,

запишем

параметрические

уравнения эволюты параболы:

И з

первого

уравнения

определяем

t =

— \Jx/4,

из

второго

находим

t 2 =

——„

^ ■ . Следовательно, уравнение эволюты параболы

имеет вид

или,

после преобразований,

Итак, центром кривизны является точка N (0; 1/2).

Следовательно, эволюта параболы у = х 2 — полукубическая парабола. На рис.

7.17

изображены

парабола у = хг, эвольвента,

ее эволюта

и круг кривизны

в точке

Р и с . 7.17

Р и с . 7.18

Например, корни уравнения х 2 +

1 = 0 : x t .2 =

±

не

являются действи­

тельными числами. Оии

принадлеж ат

множеству

комплексных

чисел С.

О п р е д е л е н и е

7.9. Если любому t £ Т с : R поставлено в соот­

функцией действительного аргумента и пишут z = /(/)

или /: Т-*-Е,

где Т с : R; Е с= С. Множество Т называют

областью

определения

комплексной

функции,

а

множество

E =

{ z £ C \z = f(t), t £ T ) —

множеством ее значений.

Так как всякое комплексное число z

может быть

представлено

в виде z = Re z + 1 Im z или z

= x + iy, то комплексную функцию дей­

ствительного

аргумента

записывают

так:

Z = X (t) +

iy ( t) .

(7.12)

Например, z ~ ( t +

2if=*-z =

t2 +

Ati + 4i2=>-z =

t2 — 4 +

Ш . Здесь Re z = x(t) —

= f — 4, Im

z = y{t) =

At.

аргумента z — (t +

2i f

Задание

комплексной функции

действительного

равно­

сильно заданию двух

функций

действительного

аргумента

x(t) — t2 — 4

и

y(t) = At

или заданию векторной функции

r(<) = (t2 — 4)1 +

At\.

х

t с

т <— р \

y = y(t),

или годограф вектор-функции

скалярного

аргумента

г (t) = x(t)l +

+ у Ш

t £ [0; л].

Пример 7.10. Построить кривую г = 2 ё \

Р е ш е н и е . Так как

е" =

cos t — i sin t,

то г = 2 cos t + 1 2

sin t.

Следовательно,

t = 2 , c o s S e [ 0 ; 4 )

1

')

y(t) = 2

sin t,

откуда y(t) > 0 .

_______

Исключив параметр

t из

системы

уравнений, найдем у =

-\jA — х 2, т. е данная

ло Zo = *о + iyo

называется

пределом

ком­

плексной

функции

действительного

аргу-

Р и с. 7.19

мента z =

x(t) +

iy(t) в точке t0, если сущест­

вуют lim x(t) =

х0,

lim y(t) =

у 0, и обозна-

t-*U

/-►/о

t-» l

Р е ш е н и е . Выделяем

действительную и миимую части функции:

z(t) =

At2 + Ati — 1 =>x(t) = At2 —

1, y(t) =

At.

Находим:

lim x(t) =

lim(4<2 — 1) =

3, lim y(t) =

lim At =

4.

Следовательно,

/-► 1

/ - и

/ - и

/ - и

lim z(t) = lim(2< + i f = lim(4<2 — 1) + i

lim At = 3 +

4/.

/-► l

/-> -1

/-> -1

/ - - l

О п р е д е л е н и е

7.11. Комплексная

функция

действительного

аргумента

z(t) = x(t) +

iy(t) называется непрерывной в точке to,

если

она определена

в

Ob(to) и

lim z(t) = z(to).

(7.13)

Из

равенства

(7.13) следует выполнение равенств:

lim*(<) =

t-^to

= x(to),

lim y(t) =

y{to), что означает непрерывность в точке to функ-

функция

Z '( t) = lim 2{t +

~ -г(<) = (t) + iy'(t).

Д/-*0

Пример 7.12.

Найти

z ’{t),

если

z(t) = t2 + it*,

t f

R.

Р е ш е н и е .

Имеем

z(t) = x(t) + iy(t)**-x(t) =

t ,

y(t) = t*,

*'(<) =

2<, y ' ( t ) = 4 t 3.

Следовательно, z ’(t) = x'(t) + ly'(t) = 2f +

I4t3.

7.6. М Н О ГО ЧЛЕН

В К О М П Л ЕК С Н О Й ОБЛАСТИ

Теорема Безу*. Основная теорема алгебры. Многочленом п-й сте­

пени в комплексной области называются функции

Pn{z) = Оо “I”

П

(7-14)

“I" CI2Z2 -(- ... -(- anZn — 2

CLkZk,

k = 0

где ak, k — 0,

n ,— коэффициенты многочлена (действительные или

комплексные

числа);

z — комплексная

переменная:

z — x - \- iy ,

х, у € R.

многочлен

(7.14)

называют

Если ak — действительные числа,

ная плоскость, т. е. множество С.

Любому числу Zo 6

С соответствует число Pn{zo)- Если Pn(zo) = 0,

то число

zo называют

корнем или

нулем многочлена

P„(z).

П

П

Д ва

многочлена

Pn(z)—

1>akZk

и

Qn(z)— 2 bkz k называются

k=0

k—0

равными,

если выполняются

равенства

а* = bk, k = 0 ,

п, т. е. если

равны их коэффициенты при одинаковых степенях z.

Теорема 7.2 (Б езу). Д л я

того чтобы многочлен Pn{z) имел комп-

* Этьенн Безу ( 1 7 3 0 —

1 7 8 3 ) — французский

математик.

Pn(z) = (z — z 0) P n - i ( z ) ,

(7.15)

где Pa- i ( z ) — многочлен

степени п — 1 .

t> Необходимость.

Пусть

z 0 — корень

многочлена

Pn(z),

тогда

Pn(z0) = 0.

По

формуле Тейлора

для

многочлена

Pn(z) —

П

bk(z — z0)*,

т. е. многочлен Pn{z) представим в

= 2

виде

(7.15).

fe=i

Достаточность.

Если

для

многочлена

P n(z)

справедливо

пред­

ставление

(7.15),

т. е. Р n(z) =

(z — zo)Pn—i (z),

то

при z =

Zo много­

член

P n(zo) = 0,

а

это

означает,

что

zo — корень

многочлена

Pn(z). <

Из теоремы Безу не следует существование корней

многочлена

P n{z).

Вопрос о существовании корня

многочлена Pn{z)

разрешает

Теорема 7.3 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен

Pn(z),

n € N ,

имеет по

крайней

мере

один

комплексный

корень.

Число

z 0

называется

простым

корнем

многочлена

Pn(z), если

многочлен Р п(г) делится на z — z0, но не делится

на (г — z0) . Число

лится на (г — zo) 4

и не делится на (z — zo)k+l, т. е. представим в виде

P n(z) = (z — z 0)kPn-k(z), где

Pn-k(z) не делится на z — z0.

Пример 7.13. Показать, что Z\

=

0

н z2 = — 1

являются

корнями многочлена

Рз(г) = z3 +

2z* +

z,

и определить

нх

кратность.

Р3(г) =

Р е ш е н и е .

Действительно,

Яз(0) = О ^ -zi =

0 — корень

многочлена

=

z3 + 2z2 +

z. Чтобы определить его кратность, разделим Рз(г) на г. Получим Рг{г) —

=

z2 -j- 2z +

1.

Этот

многочлен не

делится на г.

Следовательно, Z \ = 0

является

простым корнем многочлена Яз(г) =

z 3 +

2 z2 + г.

Аналогично

убеждаемся,

что

г г =

— 1 — корень

данного

многочлена,

так как

Р 3 ( — 1) = 0. Д л я

определения

кратности этого корня

воспользуемся представлением

Рз(г) = z(z2 +

2z + 1) или

P 3 (z) =

z ( z +

I)2. К ак видно,

Рз(г) делится на (z + I)2,

и,

следовательно,

г г =

— 1

является

корнем многочлена Рг(г) кратности 2.

Из основной теоремы

вытекает

С л е д с т в и е .

Многочлен

Р п(г) имеет п

комплексных корней

с

учетом их

кратности, т. е.

Рп(г) = an(z — Z if' (z — z2)n! • • •

(z — zs)n\

степени

„

P n(z) =

а0 + a tz +

... + a nz n =

2 a „ z \

____

л= 0

где ak 6 R; k = 0, n; z 6

С. Д ля такого многочлена справедливы сле­

дующие две теоремы.

Теорема

7.4. Если

P n(z) — многочлен с

действительными коэф­

фициентами,

то

_

_____

Pn(z) =

P n(z),

т. е. если

P n(z) =

А +

iB , Л, В 6 R,

го

Pn(z) =

А — iB.

t> Д ля

комплексных

чисел

справедливы

следующие равенства:

Z\ ± Z2 — Z\ ±

Z2, Z\Z2 =

Z\Z2-

Действительно, если

z \ = x \ - \ - i y \ ,

Z2 =

* 2 +

й/2, то

Z i = * i — iy\,

z 2 = x 2 — iу 2- Поэтому

Z, ± Z2 =

X l — iyi ±

(*2 — /г/2 ) =

* i ±

Л'2

— i (у

i ± i/2) =

Z 1 ±

£ 2 ,

Z)Z2 == (*1

— it/l) ( * 2

— if/2) =

* 1*2 +

f/lf/2 — 1{Х\У2 + X2y\) =

Z1Z2 .

Д ля действительных

чисел

а* =

а*. Следовательно,

п

п

п

____

п

_______

Рп{г) — 2 akzk = 2 0 4 ? = 2 0 4 ? = 2 0 4 ? = Р п(г),

4 = 0

4 = 0

4 = 0

4 = 0

т. е. если

P n(z) — A + г б ,

то P n(z) = A — iB. <

Теорема 7.5. Если

многочлен P n(z)

с действительными

коэффи­

циентами имеет комплексный корень Zo =

а +

ib, то он имеет и сопря­

женный корень zo = а — ib.

t> Пусть Zo =

a -\-ib

— корень

многочлена

Р п{г). Тогда

Pn{zo) —

' A -f- iB = О, А,

В £ R.

Комплексное число равно нулю, если равны нулю его действи­

тельная и мнимая части,

следовательно, /4 =

0, В = 0.

Вычислим

P„(zo),

zo =

a — ib.

Согласно

теореме

7.4,

Pn(zo) —

= A — iB. Учитываем, что А =

О, В =

0. Тогда

P n(zo) =

0, т.

е. zo —

=

о “f- ib :

(z — a — ib) (z — a +

ib) — ((z — a) — ib) ((z — a) +

(z — z0) (z — zo) =

+

ib) = (z -

a )2 +

b2 = z 2 -

2 az + a 2 +

6 2.

Обозначим a 2 + b2 = <7, — 2a = p, тогда (z — a — г7>)(z — a + ib) =

=

z 2 + pz +

q, т. e. получили квадратный трехчлен с действитель­

ными коэффициентами.

Если число zo = а + ib

является корнем кратности k многочлена

Рп(г) с действительными

коэффициентами, то zo = a — ib является

корнем многочлена той ж е кратности

k.

Из всего сказанного следует, что многочлен с действительными

коэффициентами

P n{z) разложим на

множители с действительными

ности,

т. е.

Pn(z) = an(z — ai)k,(z — a 2)**. . .{z — as)k‘{z2 + p xz + q\)m' X ... X

X (z2 + p 2Z + Я2)”\

где k\

k 2 ~Ь ... ~Ь ks “I” 2 /TJi -)- ... -|- 2/71/ = fl.