Герасимович(математический анализ)

ность (х„) =

^ 1 + - ^

Докажем,

что

она сходится,

и

найдем ее

предел.

Применим формулу бинома Ньютона*

(а +

Р)" = а пР° +

-£-ап- у

+ ^

^

l a n~ Y +

... +

п(п — 1) — (я — f t - H ) a n - k p k

|

|

rt (rt — 1) (rt — 2 ) • - - 1

и оpn

*♦-('+7 ТТ-Г

^

+

-

£

T Y + - ■ + ш

( '

- т т

г ) •••(■ - 7 Т Г >

Следовательно, x n <Cxn+i.

Последовательность ( JC„ )

возрастает

и

ограничена, значит, она

сходится и 2 С

/

1 \ П

Предел

этой последовательности

lim ( 1 4 —

)

< 3 .

называют

числом е :

lim х п = l im( 1 -4- —\

= е .

П-+-оо

п-*- оо \

П /

ности (хп + уп), (хп — Уп),

(х пу п),

(Хп/уп) соответственно (при делении

предполагается, что все

члены

последовательности

у п отличны от

нуля).

Произведение последовательности (хп) и числа- с

можно рассмат­

следовательности

(*/«) =

(с), все

члены

которой равны с. В резуль­

тате получим последовательность (схп).

Теорема

3.4.

Если

последовательности (х„)

и (уп) сходятся и

l im*п =

а,

l imу п =

Ь,

то:

п~*- оо

п-*~оо

lim х п ± lim у п =

а ± Ь\

1)

lim (хп ± у п) =

п-*- оо

п-*- оо

п-+ оо

2 )

lim (схп) — с lim х п =

са\

П—+оо

П-*-оо

3)

lim (хпуп) — lim х п • lim у„ = ab\

П-+ ОО

л-*- оо

п-*- ОО

lim х п

а

4 )

lim — = I l i mу п ф®\

п~*~оо

lim у п

b

►оо

Un

п-*-оо

п-*-оо

Если

lim х п =

lim уп =

0, то

х„ /уп называют

неопределенностью

Л-*-оо

л-*-оо

вида

Аналогично определяются неопределенности вида ^ , 0 • оо,

оо — о о .

Д ля вычисления таких пределов теорема 3.4 неприменима.

Вычисление пределов для неопределенных выражений вида

1 °°, оо

— о о , 0 - оо

называют раскрытием соответствующих неопре­

Пример 3.2. Вычислить

предел

частного двух последовательностей:

х„

_

Зп2 — 7п + 1

у п

2 — 5п — 6 л 2

Р е ш е н и е .

Имеем

неопределенность

вида

ОО

— . Разделив числитель н знаме­

натель на п 2, получим

°°

..

Хп

з - ^ + Л

1

П

П*

lim —

=

l i m ----------------------

— —.

п-*-оо Уп

п->оо

2

5

-

2

п2

п

Пример 3.3. Вычислить предел

разности двух последовательностей:

Хп — Уп = л/п 2 + п — п.

Р е ш е н и е .

Имеем

неопределенность

вида

о о

— о о . Умножив и разделив ее

на выражение -\Jn2 + п +

п,

получим

O

f

2

J

X

ОГ

ха- г х л х0+р

X

Р и с .

3.5

Р и с .

3.4

О п р е д е л е н и е

3.4.

Число

у о

называется пределом

функции

у = f{x) в точке хо (или при х-+.ха), если для любого е >

0 можно

указать

такое

число

6 (e) > 0 , что

при всех х,

удовлетворяющих

условию

0

<

\х — Хо \ <

6 , выполняется

неравенство \ f ( x ) ~ уо\ <

е:

уо =

lim f(x)*&\fе > 0

36 > 0 : \ х

0

< \ х — х 0\ С б=>-|f(д:) — у 0\ с

г.

*—

1

В определении 3.4 используются понятия г-окрестности и проко­

лотой 8-окрестности:

°*{Уо) =

{у =

f{x) 11 f{x) — у о \ С

е},

дб{х0) =

{х | 0 <

\х — х 0\

б),

поэтому

его

с

и

называют

определением

-

на

языке

«е — б» и\кратко

з а

п

и

ы в

а

ю

т

т а

к

Пример 3.6. Доказать,

пользуясь определением предела функции по Коши, что

Р е ш е н и е .

Пусть е >■ 0. Найдем такое

6 = fi(e), чтобы для всех значений *,

отличных

от

1 и

удовлетворяющих

неравенству

1х — 1 | < 8 ,

выполнялось нера-

венство

I

х2 -

1

I

< е.

I

±

----- ------ 2

I

* — 1

X?

( х

Так как

I

1

I

I

I

U — 11 Ч х ф

1, то

для любого

I

--------:2==

I

------- ---

=

х — 1

I

дс— 1

I

е > 0 существует б =

6 (e) (а

именно: 6 = е), такое, что для всех х, удовлетворяющих

условию 0 <

|х —

1 1 <

I х 2 — 1

I

6 , будет выполняться неравенство |

----- 2

| ■< е, откуда

и следует,

что

X2 — 1

2 .

l im --------— =

x~*-l

X

1

левее ее.

хо.

Введем

понятие

левой

и

правой

окрестностей

точки

Л евой

8-окрестностью точки Хо

(обозначается

Ов(хо — 0)) назы ­

вается множество всех х, удовлетворяющих неравенству

0 ^

хо —

— х < б

(рис. 3.6): Ов(хо — 0) =

{х | 0 ^ хо — х <

6 }.

Правой Ь-окрестностью точки

хо

(обозначается

Og(xо +

0))

называется множество

всех

х,

удовлетворяющих

неравенству

0

^

^

х — х0 <

б (см. рис.

3.6): Ов(хо +

0) =

{х 10 <

х — х 0 < 6 ).

Проколотые правая и левая б-окрестности получаются «выкалы­

ванием»

из соответствующих

б-окрестностей точки Хо, например

дь(х0 — 0 ) =

(х 10

<

д:0 —

Приведем определение конечных односторонних пределов функ­

ции в точке х0 на языке

«е — б»,

используя понятие

окрестности.

О п р е д е л е н и е

3.5.

Число

у о

называется

левым

пределом

(левосторонним

пределом

или

пределом

слева)

функции y = f(x)

в

точке Хо, если для любого в >

0 существует б =

б(е) >

0, такое, что

1

Ух 6

Qs(x0 — 0 ) ^ f ( x ) 6

Ое(у0).

f(x) = г/о

def

f\xо —

О б о з н

а ч а ю т

п р е д е л

с л е в а

l i m

и л и

уо =

0 ) .

X~*-XQ — 0

Аналогично определяется правый предел функции f(x) в точке х0.

/ О п р е д е л е н и е

3.6.

Число

Уо

называется

правым

пределом

(правосторонним

пределом

или

пределом

справа)

функции

у =

= f(x) в точке хо, если для любого

в >

0

существует б =

б(е) >

0 ,

такое, что Ух в Оь(х0 + 0)=>f(x) £ Ot (y0).

обозначают

^ Y n n J ( x ) — yo

Предел

справа

функции

в

точке

def

И Л И у о =

Х 0 + 0 ) .

Opjx-o) к0

R

------р . .

-

с

---------------------------

V *

*0

0 р (/+0)

R

О

x0+f R

Р и с . 3.6

lim

f(x ) = lim

f(x) =

lim

f(x).

X -* -X Q

X -* -X O — 0

X-*-Xo + 0

Пример 3.7. Найти

одиостороииие

пределы функции

' W

~ \ x

V х 6 ]2;

оо[

в точке х0 = 2 (рис. 3.7).

Р е ш е н и е .

Вычислим:

f (2 — 0 ) =

lim f ( x ) —

lim

(xs/ 4 ) = l , f(2 +

0) =

lim

f(x) =

lim

x =

2.

дг-<-2 —О

x-t-2 — 0

JC-+2 + 0

X-+2 + 0

Так как одиостороинне

пределы

существуют, ио

f (2 — 0 ) ф

f (2 +

0),

в точке

хо = 2 функция

предела не

имеет.

Конечный

предел

функции

при х->-оо, х->- + оо и х-*— оо.

Д адим определение

конечного

предела

функции

на языке

последо­

вательностей.

О п р е д е л е н и е

3.7.

Число

уо называется

пределом

функции

ность (f(xn)) значений

функции сходится к у 0:

у 0= lim f ( x ) o V ( x n): Hmxn =

oo=>limf(x„) = y 0.

Х-* oo

П-* oo

П-*-oo

О п р е д е л е н и е

3.8. Число уо называется пределом функции

у = f(x) при *-► + оо (*-► — оо), если для любой бесконечно большой

последовательности (х п) значений

аргумента, элементы которой по­

ложительны

(отрицательны), соответствующая последовательность

(]{хп)) значений функции сходится к уо.

Пределы функции у — f(x) при х

+

оо

и х ->—

оо обозначают

соответственно:

у 0 =

lim

f(x)

и у 0 =

lim f(x).

* - ► + 0 0

*-►—оо

Например,

пусть

f(x) =

-^-. Эта функция

имеет

предел при

х - * - ± о о , равный

нулю. Действительно,

если

(х„) — лю бая

бесконечная

последовательность

значений

аргумента,

то

соответствующая

последовательность

значений

функции

(f(x„)) =

/ 1

1

1

\

являетсябескоиечио

малой,т. е.

1

"

= ( — , — , — ,

...)

lim — = 0 .

\ х ,

х2

х3

/

д:—оо х

Можно датьравносильные определенияконечного предела функ­

ции при *-► оо, х->- +

оо или х -*— оо на языке «е — б». Например,

О п р е д е л е н и е

3.9. Число

уо называется

пределом функции

y— f(x ) пРи

+

если

для

любого

е >■ 0

существует положи­

тельное число М, такое, что неравенство

\f(x) — y0\ < е выполняется

д ля всех х, при

которых х > М :

у о = lim Д х ) о ¥ е > 0

ЗА! > 0: Vx > М=>\f(x) — у 0\ <

е.

X—►Ч" оо

Множество {х \ х >

М} =

Og(oo) называют Ь-окрестностью

беско­

нечно удаленной

точки.

что график функции y = f(x)

Геометрически это означает,

будет

находиться

в полосе, ограниченной

прямыми y = yo — е, у = у 0 + е

при любом

х >

М (рис. 3.8).

Бесконечные

пределы функции

при х->-Хо. Рассмотрим случай,

О п р е д е л е н и е

ЗЛО. П р е д е л

ф ункции

y = f ( x ) при

х —>~Хо

назы ­

вается бесконечным, если д ля лю ­

бого положительного числа М су­

ществует

число б >■ О,

такое, что

д ля всех

значений х,

удовлетво­

ряю щ их

неравенству

0 <

| х —

— х01С

б, будет выполняться не­

равенство |/(х)| > М.

Если f(x) стремится к беско­

нечности

при х-*-хо,

то ее

назы-

Р и с. 3.8

вают бесконечно большой ф ункци­

ей и пишут lim /(jc) =

оо:

х-*Хо

lim f(x) — o o o V M >■ О

36 > 0: Vxg 6 б(*о)=>- I Д*)1 > М.

X—►JCo

X—►Хо

Х“►Хо

На рис. 3.9 дана геометрическая

интерпретация бесконечных

пределов

lim f{x) — -}- оо,

l i m f ( x ) =

— оо функции

f(x)

при х-*-х0:

х —►Хо

х—►хо

график

функции f(x)

расположен

в полуплоскости у > М ,

если

l i m f ( x ) = + o o

(рис.

3.9,

а) и в

полуплоскости

у С

— М,

если

Н т /(х ) =

— оо

(рис. 3.9,

б).

X—►Хо

чении U | значения

|f(x)|

также неограниченно возрастают.

О п р е д е л е н и е

3.11.

Предел функции y = f(x)

при х-»- +

оо

(или х —— о о ) называется бесконечным, если для

любого сколь

угодно большого числа М 6

R найдется такое число N > О, что нера­

венство |/(х)| ;> М выполняется для любого х, для которого \х\ >

N:

limf(x) = оо<^УЛ1 >

О З Л Г > 0: V| x| > N=>\f{x)\ > М.

х-*■оо

Геометрическая

интерпретация

бесконечного

предела функции /(.*) =

хэ при |дс| —►оо

(lim x 3 = оо)

даиа на рис. 3.10.

З а м е ч а н и е . Множество {х\х >

N} = Os(o o)

можно формально считать 6 -окрестностью бесконечно

удаленной точки, множество \у\у > М ) = Ое(оо) —

е-окрестностью бесконечно удаленной точки. Тогда

определение бесконечного предела функции при х-+-

-*■ оо можно записать

на языке «е — 6 » (т. е. по

Коши),

используя

понятие окрестности:

lim f a O = o o ^

V e > 0 H6 >

'

0 ;

V * € 0 «(ao)=».

Х- + 0 0

Пример 3.8. Доказать, что

lim л/б — х — оо.

— ОО

Р е ш е н и е .

Чтобы получить

f(x) >

М доста­

точно

принять 6 — х > М 2. Тогда

х < 6

— М г я

Р и с . 3.10

f(x) > М V х 6 ] — оо; 6 — М2[.

для

любого

х £ Оь(х0)

lf(*)l <

е.

О п р е д е л е н и е 3.15. Ф ункция f(x) называется бесконечно малой

при

х —>-Хо,

если для

любой

сходящейся к хо последовательности

Например,

функция

f(x) = s i n x при х - * 0

является бесконечно малой, так

как

lim sin ле =

0. Функция f ( x ) = 1 / х 1 при

х~+ о о

является бесконечно малой,

поскольку

х-*-0

1 / х 2 =

f ( x ) = l / x 1

lim

0.

Функция

при дс->0 — бесконечно большая,

так

как

lim

1 / х 1 =

о о .

*- ► 0

—-— =

-V при х - > 0 — бесконечно большой.

f (X)

X*

пределы, т. е. lim/:(x) =

a, lim g(x) = 6 , то:

Х -* -Х о

Х - > Х о

1 )

lim { f(x) ±g(x )) =

a ± b ;

X -+ X 0

2 )

lim (f(x)g(x)) =

ab\

X —►Хо

3) l Z m - T T { b ¥ - 0)-

В теореме 3.6 пп.

1 ,2 верны для любого конечного числа слагае­

мых и сомножителей, а именно:

1)

lim (fj(лг)± ... ±

f n { x ) ) =

limfi(jc) ± . . . ±

П т/^ х);

Ж—►Хо

Х - + Х ъ

Х -* -Х 0

2 )

lim(/:i(x)-../:n(x ))=

limfi(jc)-” lim/:n(jc).

X-+-X0

X —►Хо

X-*-Xq